MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem2 30195
Description: Lemma 2 for frgrwopreg 30205. If the set 𝐴 of vertices of degree 𝐾 is not empty in a friendship graph with at least two vertices, then 𝐾 must be greater than 1 . This is only an observation, which is not required for the proof the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 2 ≤ 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem frgrwopreglem2
StepHypRef Expression
1 n0 4346 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
32reqabi 3441 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾))
4 frgrwopreg.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
54vdgfrgrgt2 30180 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
65imp 405 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
7 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = (𝐷𝑥) → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐷𝑥)))
8 frgrwopreg.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
98fveq1i 6897 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)
109breq2i 5157 . . . . . . . . . . 11 (2 ≤ (𝐷𝑥) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
117, 10bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = (𝐷𝑥) → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
1211eqcoms 2733 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑥) = 𝐾 → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
136, 12syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝐷𝑥) = 𝐾 → 2 ≤ 𝐾))
1413exp31 418 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑥𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → ((𝐷𝑥) = 𝐾 → 2 ≤ 𝐾))))
1514com14 96 . . . . . 6 ((𝐷𝑥) = 𝐾 → (𝑥𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾))))
1615impcom 406 . . . . 5 ((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
173, 16sylbi 216 . . . 4 (𝑥𝐴 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
1817exlimiv 1925 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
191, 18sylbi 216 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
20193imp31 1109 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 2 ≤ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  {crab 3418  cdif 3941  c0 4322   class class class wbr 5149  cfv 6549  1c1 11141   < clt 11280  cle 11281  2c2 12300  chash 14325  Vtxcvtx 28881  VtxDegcvtxdg 29351   FriendGraph cfrgr 30140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-xadd 13128  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-s2 14835  df-s3 14836  df-edg 28933  df-uhgr 28943  df-upgr 28967  df-umgr 28968  df-uspgr 29035  df-usgr 29036  df-vtxdg 29352  df-wlks 29485  df-wlkson 29486  df-trls 29578  df-trlson 29579  df-pths 29602  df-spths 29603  df-pthson 29604  df-spthson 29605  df-conngr 30069  df-frgr 30141
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator