Theorem frgrwopreglem2 30383

Description: Lemma 2 for frgrwopreg 30393. If the set 𝐴 of vertices of degree 𝐾 is not empty in a friendship graph with at least two vertices, then 𝐾 must be greater than 1 . This is only an observation, which is not required for the proof the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 2 ≤ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem frgrwopreglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4293	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		frgrwopreg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
3	2	reqabi 3412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑥) = 𝐾))
4		frgrwopreg.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	vdgfrgrgt2 30368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
6	5	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
7		breq2 5089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = (𝐷‘𝑥) → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐷‘𝑥)))
8		frgrwopreg.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
9	8	fveq1i 6841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)
10	9	breq2i 5093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ≤ (𝐷‘𝑥) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
11	7, 10	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = (𝐷‘𝑥) → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
12	11	eqcoms 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
13	6, 12	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 → 2 ≤ 𝐾))
14	13	exp31 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑥 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 → 2 ≤ 𝐾))))
15	14	com14 96	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 → (𝑥 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾))))
16	15	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑥) = 𝐾) → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
17	3, 16	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
18	17	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
19	1, 18	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
20	19	3imp31 1112	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 2 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {crab 3389   ∖ cdif 3886  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  1c1 11039   < clt 11179   ≤ cle 11180  2c2 12236  ♯chash 14292  Vtxcvtx 29065  VtxDegcvtxdg 29534   FriendGraph cfrgr 30328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-xadd 13064  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-edg 29117  df-uhgr 29127  df-upgr 29151  df-umgr 29152  df-uspgr 29219  df-usgr 29220  df-vtxdg 29535  df-wlks 29668  df-wlkson 29669  df-trls 29759  df-trlson 29760  df-pths 29782  df-spths 29783  df-pthson 29784  df-spthson 29785  df-conngr 30257  df-frgr 30329

This theorem is referenced by: (None)