MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem2 29299
Description: Lemma 2 for frgrwopreg 29309. If the set 𝐴 of vertices of degree 𝐾 is not empty in a friendship graph with at least two vertices, then 𝐾 must be greater than 1 . This is only an observation, which is not required for the proof the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
frgrwopreg.a 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 2 ≀ 𝐾)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem frgrwopreglem2
StepHypRef Expression
1 n0 4311 . . 3 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴)
2 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
32reqabi 3432 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾))
4 frgrwopreg.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
54vdgfrgrgt2 29284 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ 2 ≀ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
65imp 408 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 2 ≀ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
7 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = (π·β€˜π‘₯) β†’ (2 ≀ 𝐾 ↔ 2 ≀ (π·β€˜π‘₯)))
8 frgrwopreg.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
98fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . 12 (π·β€˜π‘₯) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)
109breq2i 5118 . . . . . . . . . . 11 (2 ≀ (π·β€˜π‘₯) ↔ 2 ≀ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
117, 10bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = (π·β€˜π‘₯) β†’ (2 ≀ 𝐾 ↔ 2 ≀ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
1211eqcoms 2745 . . . . . . . . 9 ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 β†’ (2 ≀ 𝐾 ↔ 2 ≀ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
136, 12syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 β†’ 2 ≀ 𝐾))
1413exp31 421 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 β†’ 2 ≀ 𝐾))))
1514com14 96 . . . . . 6 ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 2 ≀ 𝐾))))
1615impcom 409 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾) β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 2 ≀ 𝐾)))
173, 16sylbi 216 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 2 ≀ 𝐾)))
1817exlimiv 1934 . . 3 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 2 ≀ 𝐾)))
191, 18sylbi 216 . 2 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 2 ≀ 𝐾)))
20193imp31 1113 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 2 ≀ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3410   βˆ– cdif 3912  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  1c1 11059   < clt 11196   ≀ cle 11197  2c2 12215  β™―chash 14237  Vtxcvtx 27989  VtxDegcvtxdg 28455   FriendGraph cfrgr 29244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-xadd 13041  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-vtxdg 28456  df-wlks 28589  df-wlkson 28590  df-trls 28682  df-trlson 28683  df-pths 28706  df-spths 28707  df-pthson 28708  df-spthson 28709  df-conngr 29173  df-frgr 29245
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator