Theorem frgrwopreglem2 30517

Description: Lemma 2 for frgrwopreg 30527. If the set 𝐴 of vertices of degree 𝐾 is not empty in a friendship graph with at least two vertices, then 𝐾 must be greater than 1 . This is only an observation, which is not required for the proof the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 2 ≤ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem frgrwopreglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4307	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		frgrwopreg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
3	2	reqabi 3439	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑥) = 𝐾))
4		frgrwopreg.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	vdgfrgrgt2 30502	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
6	5	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
7		breq2 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = (𝐷‘𝑥) → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐷‘𝑥)))
8		frgrwopreg.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
9	8	fveq1i 6870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)
10	9	breq2i 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ≤ (𝐷‘𝑥) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
11	7, 10	bitrdi 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = (𝐷‘𝑥) → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
12	11	eqcoms 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
13	6, 12	syl5ibrcom 249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 → 2 ≤ 𝐾))
14	13	exp31 423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑥 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 → 2 ≤ 𝐾))))
15	14	com14 96	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 → (𝑥 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾))))
16	15	impcom 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑥) = 𝐾) → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
17	3, 16	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
18	17	exlimiv 1952	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
19	1, 18	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
20	19	3imp31 1125	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 2 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562  ∃wex 1801   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  {crab 3416   ∖ cdif 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  1c1 11076   < clt 11218   ≤ cle 11219  2c2 12274  ♯chash 14345  Vtxcvtx 29199  VtxDegcvtxdg 29668   FriendGraph cfrgr 30462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-oadd 8443  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-xadd 13117  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529  df-concat 14586  df-s1 14612  df-s2 14863  df-s3 14864  df-edg 29251  df-uhgr 29261  df-upgr 29285  df-umgr 29286  df-uspgr 29353  df-usgr 29354  df-vtxdg 29669  df-wlks 29802  df-wlkson 29803  df-trls 29893  df-trlson 29894  df-pths 29916  df-spths 29917  df-pthson 29918  df-spthson 29919  df-conngr 30391  df-frgr 30463

This theorem is referenced by: (None)