MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem2 27694
Description: Lemma 2 for frgrwopreg 27704. If the set 𝐴 of vertices of degree 𝐾 is not empty in a friendship graph with at least two vertices, then 𝐾 must be greater than 1 . This is only an observation, which is not required for the proof the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 2 ≤ 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem frgrwopreglem2
StepHypRef Expression
1 n0 4160 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
32rabeq2i 3410 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾))
4 frgrwopreg.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
54vdgfrgrgt2 27679 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
65imp 397 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
7 breq2 4877 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = (𝐷𝑥) → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐷𝑥)))
8 frgrwopreg.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
98fveq1i 6434 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)
109breq2i 4881 . . . . . . . . . . 11 (2 ≤ (𝐷𝑥) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
117, 10syl6bb 279 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = (𝐷𝑥) → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
1211eqcoms 2833 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑥) = 𝐾 → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
136, 12syl5ibrcom 239 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝐷𝑥) = 𝐾 → 2 ≤ 𝐾))
1413exp31 412 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑥𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → ((𝐷𝑥) = 𝐾 → 2 ≤ 𝐾))))
1514com14 96 . . . . . 6 ((𝐷𝑥) = 𝐾 → (𝑥𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾))))
1615impcom 398 . . . . 5 ((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
173, 16sylbi 209 . . . 4 (𝑥𝐴 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
1817exlimiv 2031 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
191, 18sylbi 209 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
20193imp31 1145 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 2 ≤ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wex 1880  wcel 2166  wne 2999  {crab 3121  cdif 3795  c0 4144   class class class wbr 4873  cfv 6123  1c1 10253   < clt 10391  cle 10392  2c2 11406  chash 13410  Vtxcvtx 26294  VtxDegcvtxdg 26763   FriendGraph cfrgr 27637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-ifp 1092  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-xadd 12233  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-concat 13631  df-s1 13656  df-s2 13969  df-s3 13970  df-edg 26346  df-uhgr 26356  df-upgr 26380  df-umgr 26381  df-uspgr 26449  df-usgr 26450  df-vtxdg 26764  df-wlks 26897  df-wlkson 26898  df-trls 26993  df-trlson 26994  df-pths 27018  df-spths 27019  df-pthson 27020  df-spthson 27021  df-conngr 27563  df-frgr 27638
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator