Theorem frgrwopreglem2 30675

Description: Lemma 2 for frgrwopreg 30685. If the set 𝐴 of vertices of degree 𝐾 is not empty in a friendship graph with at least two vertices, then 𝐾 must be greater than 1 . This is only an observation, which is not required for the proof the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 2 ≤ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem frgrwopreglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4306	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		frgrwopreg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
3	2	reqabi 3438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑥) = 𝐾))
4		frgrwopreg.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	vdgfrgrgt2 30660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
6	5	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
7		breq2 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = (𝐷‘𝑥) → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐷‘𝑥)))
8		frgrwopreg.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
9	8	fveq1i 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)
10	9	breq2i 5116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ≤ (𝐷‘𝑥) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
11	7, 10	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = (𝐷‘𝑥) → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
12	11	eqcoms 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
13	6, 12	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 → 2 ≤ 𝐾))
14	13	exp31 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑥 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 → 2 ≤ 𝐾))))
15	14	com14 97	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 → (𝑥 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾))))
16	15	impcom 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑥) = 𝐾) → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
17	3, 16	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
18	17	exlimiv 1959	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
19	1, 18	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
20	19	3imp31 1128	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 2 ≤ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {crab 3415   ∖ cdif 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  1c1 11107   < clt 11249   ≤ cle 11250  2c2 12301  ♯chash 14373  Vtxcvtx 29357  VtxDegcvtxdg 29826   FriendGraph cfrgr 30620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1078  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-xadd 13144  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-concat 14615  df-s1 14641  df-s2 14892  df-s3 14893  df-edg 29409  df-uhgr 29419  df-upgr 29443  df-umgr 29444  df-uspgr 29511  df-usgr 29512  df-vtxdg 29827  df-wlks 29960  df-wlkson 29961  df-trls 30051  df-trlson 30052  df-pths 30074  df-spths 30075  df-pthson 30076  df-spthson 30077  df-conngr 30549  df-frgr 30621

This theorem is used by: (None)