MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem2 30110
Description: Lemma 2 for frgrwopreg 30120. If the set 𝐴 of vertices of degree 𝐾 is not empty in a friendship graph with at least two vertices, then 𝐾 must be greater than 1 . This is only an observation, which is not required for the proof the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
frgrwopreg.a 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 2 ≀ 𝐾)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem frgrwopreglem2
StepHypRef Expression
1 n0 4342 . . 3 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴)
2 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
32reqabi 3449 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾))
4 frgrwopreg.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
54vdgfrgrgt2 30095 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ 2 ≀ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
65imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 2 ≀ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
7 breq2 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = (π·β€˜π‘₯) β†’ (2 ≀ 𝐾 ↔ 2 ≀ (π·β€˜π‘₯)))
8 frgrwopreg.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
98fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π·β€˜π‘₯) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)
109breq2i 5150 . . . . . . . . . . 11 (2 ≀ (π·β€˜π‘₯) ↔ 2 ≀ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
117, 10bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = (π·β€˜π‘₯) β†’ (2 ≀ 𝐾 ↔ 2 ≀ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
1211eqcoms 2735 . . . . . . . . 9 ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 β†’ (2 ≀ 𝐾 ↔ 2 ≀ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
136, 12syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 β†’ 2 ≀ 𝐾))
1413exp31 419 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 β†’ 2 ≀ 𝐾))))
1514com14 96 . . . . . 6 ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 2 ≀ 𝐾))))
1615impcom 407 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾) β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 2 ≀ 𝐾)))
173, 16sylbi 216 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 2 ≀ 𝐾)))
1817exlimiv 1926 . . 3 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 2 ≀ 𝐾)))
191, 18sylbi 216 . 2 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 2 ≀ 𝐾)))
20193imp31 1110 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 2 ≀ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  {crab 3427   βˆ– cdif 3941  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  1c1 11131   < clt 11270   ≀ cle 11271  2c2 12289  β™―chash 14313  Vtxcvtx 28796  VtxDegcvtxdg 29266   FriendGraph cfrgr 30055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-xadd 13117  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-s2 14823  df-s3 14824  df-edg 28848  df-uhgr 28858  df-upgr 28882  df-umgr 28883  df-uspgr 28950  df-usgr 28951  df-vtxdg 29267  df-wlks 29400  df-wlkson 29401  df-trls 29493  df-trlson 29494  df-pths 29517  df-spths 29518  df-pthson 29519  df-spthson 29520  df-conngr 29984  df-frgr 30056
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator