MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem2 28104
Description: Lemma 2 for frgrwopreg 28114. If the set 𝐴 of vertices of degree 𝐾 is not empty in a friendship graph with at least two vertices, then 𝐾 must be greater than 1 . This is only an observation, which is not required for the proof the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 2 ≤ 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem frgrwopreglem2
StepHypRef Expression
1 n0 4293 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
32rabeq2i 3473 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾))
4 frgrwopreg.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
54vdgfrgrgt2 28089 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
65imp 410 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
7 breq2 5056 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = (𝐷𝑥) → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐷𝑥)))
8 frgrwopreg.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
98fveq1i 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)
109breq2i 5060 . . . . . . . . . . 11 (2 ≤ (𝐷𝑥) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
117, 10syl6bb 290 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = (𝐷𝑥) → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
1211eqcoms 2832 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑥) = 𝐾 → (2 ≤ 𝐾 ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
136, 12syl5ibrcom 250 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝐷𝑥) = 𝐾 → 2 ≤ 𝐾))
1413exp31 423 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑥𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → ((𝐷𝑥) = 𝐾 → 2 ≤ 𝐾))))
1514com14 96 . . . . . 6 ((𝐷𝑥) = 𝐾 → (𝑥𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾))))
1615impcom 411 . . . . 5 ((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
173, 16sylbi 220 . . . 4 (𝑥𝐴 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
1817exlimiv 1932 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
191, 18sylbi 220 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 2 ≤ 𝐾)))
20193imp31 1109 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 2 ≤ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  {crab 3137  cdif 3916  c0 4276   class class class wbr 5052  cfv 6343  1c1 10536   < clt 10673  cle 10674  2c2 11689  chash 13695  Vtxcvtx 26795  VtxDegcvtxdg 27261   FriendGraph cfrgr 28049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-xadd 12505  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-edg 26847  df-uhgr 26857  df-upgr 26881  df-umgr 26882  df-uspgr 26949  df-usgr 26950  df-vtxdg 27262  df-wlks 27395  df-wlkson 27396  df-trls 27488  df-trlson 27489  df-pths 27511  df-spths 27512  df-pthson 27513  df-spthson 27514  df-conngr 27978  df-frgr 28050
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator