Theorem znval2 21741

Description: Self-referential expression for the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znval2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znval2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩))

Proof of Theorem znval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2		znval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3		znval2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))) = ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znval 21739	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩))
8		znval2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	znle 21740	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))))
10	9	opeq2d 4847	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ = ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩)
11	10	oveq2d 7435	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩) = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘𝑈) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))))⟩))
12	7, 11	eqtr4d 2803	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4489  {csn 4591  ⟨cop 4597  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119   ≤ cle 11263  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ..^cfzo 13703   sSet csts 17249  ndxcnx 17279  lecple 17343   /_s cqus 17585   ~_QG cqg 19236  RSpancrsp 21385  ℤ_ringczring 21650  ℤRHomczrh 21703  ℤ/nℤczn 21706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-addf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-starv 17351  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-unif 17359  df-0g 17520  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-subg 19237  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-cring 20366  df-subrng 20699  df-subrg 20723  df-cnfld 21577  df-zring 21651  df-zn 21710

This theorem is used by:  znbaslem  21742