MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znbaslem 20205
Description: Lemma for znbas 20210. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
znval2.s 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbaslem.e 𝐸 = Slot 𝐾
znbaslem.k 𝐾 ∈ ℕ
znbaslem.l 𝐾 < 10
Assertion
Ref Expression
znbaslem (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸𝑈) = (𝐸𝑌))

Proof of Theorem znbaslem
StepHypRef Expression
1 znval2.s . . . 4 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2 znval2.u . . . 4 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3 znval2.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 eqid 2797 . . . 4 (le‘𝑌) = (le‘𝑌)
51, 2, 3, 4znval2 20204 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
65fveq2d 6413 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸𝑌) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
7 znbaslem.e . . . 4 𝐸 = Slot 𝐾
8 znbaslem.k . . . 4 𝐾 ∈ ℕ
97, 8ndxid 16207 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
108nnrei 11320 . . . . 5 𝐾 ∈ ℝ
11 znbaslem.l . . . . 5 𝐾 < 10
1210, 11ltneii 10438 . . . 4 𝐾10
137, 8ndxarg 16206 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝐾
14 plendx 16365 . . . . 5 (le‘ndx) = 10
1513, 14neeq12i 3035 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝐾10)
1612, 15mpbir 223 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
179, 16setsnid 16237 . 2 (𝐸𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
186, 17syl6reqr 2850 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸𝑈) = (𝐸𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  {csn 4366  cop 4372   class class class wbr 4841  cfv 6099  (class class class)co 6876  0cc0 10222  1c1 10223   < clt 10361  cn 11310  0cn0 11576  cdc 11779  ndxcnx 16178   sSet csts 16179  Slot cslot 16180  lecple 16271   /s cqus 16477   ~QG cqg 17900  RSpancrsp 19491  ringzring 20137  ℤ/nczn 20170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-addf 10301  ax-mulf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-0g 16414  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-subg 17901  df-cmn 18507  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-cring 18863  df-subrg 19093  df-cnfld 20066  df-zring 20138  df-zn 20174
This theorem is referenced by:  znbas2  20206  znadd  20207  znmul  20208
  Copyright terms: Public domain W3C validator