Theorem znbaslem 20687

Description: Lemma for znbas 20692. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbaslem.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
znbaslem.k	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
znbaslem.l	⊢ 𝐾 < ;10

Assertion

Ref	Expression
znbaslem	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Proof of Theorem znbaslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2		znval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3		znval2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (le‘𝑌) = (le‘𝑌)
5	1, 2, 3, 4	znval2 20686	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
6	5	fveq2d 6676	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑌) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
7		znbaslem.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
8		znbaslem.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
9	7, 8	ndxid 16511	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
10	8	nnrei 11649	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
11		znbaslem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐾 < ;10
12	10, 11	ltneii 10755	. . . 4 ⊢ 𝐾 ≠ ;10
13	7, 8	ndxarg 16510	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
14		plendx 16668	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
15	13, 14	neeq12i 3084	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝐾 ≠ ;10)
16	12, 15	mpbir 233	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
17	9, 16	setsnid 16541	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
18	6, 17	syl6reqr 2877	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  {csn 4569  ⟨cop 4575   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   < clt 10677  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ;cdc 12101  ndxcnx 16482   sSet csts 16483  Slot cslot 16484  lecple 16574   /_s cqus 16780   ~_QG cqg 18277  RSpancrsp 19945  ℤ_ringzring 20619  ℤ/nℤczn 20652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-subg 18278  df-cmn 18910  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-subrg 19535  df-cnfld 20548  df-zring 20620  df-zn 20656

This theorem is referenced by:  znbas2  20688  znadd  20689  znmul  20690