Theorem lcm8un 39167

Description: Least common multiple of natural numbers up to 8 equals 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm8un	⊢ (lcm‘(1...8)) = ;;840

Proof of Theorem lcm8un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 11719	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		id 22	. . . 4 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 39159	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (lcm‘(1...8)) = ((lcm‘(1...(8 − 1))) lcm 8))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lcm‘(1...8)) = ((lcm‘(1...(8 − 1))) lcm 8)
5		8m1e7 11757	. . . . . 6 ⊢ (8 − 1) = 7
6	5	oveq2i 7153	. . . . 5 ⊢ (1...(8 − 1)) = (1...7)
7	6	fveq2i 6659	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(8 − 1))) = (lcm‘(1...7))
8	7	oveq1i 7152	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(8 − 1))) lcm 8) = ((lcm‘(1...7)) lcm 8)
9		lcm7un 39166	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...7)) = ;;420
10	9	oveq1i 7152	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...7)) lcm 8) = (;;420 lcm 8)
11	8, 10	eqtri 2844	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...(8 − 1))) lcm 8) = (;;420 lcm 8)
12		420lcm8e840 39149	. 2 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840
13	4, 11, 12	3eqtri 2848	1 ⊢ (lcm‘(1...8)) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  0cc0 10523  1c1 10524   − cmin 10856  ℕcn 11624  2c2 11679  4c4 11681  7c7 11684  8c8 11685  ;cdc 12085  ...cfz 12882   lcm clcm 15915  lcmclcmf 15916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-inf2 9090  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-se 5501  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-rp 12377  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-clim 14830  df-prod 15245  df-dvds 15593  df-gcd 15827  df-lcm 15917  df-lcmf 15918  df-prm 15999

This theorem is referenced by: (None)