Theorem lcm8un 42038

Description: Least common multiple of natural numbers up to 8 equals 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm8un	⊢ (lcm‘(1...8)) = ;;840

Proof of Theorem lcm8un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12340	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		id 22	. . . 4 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 42030	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (lcm‘(1...8)) = ((lcm‘(1...(8 − 1))) lcm 8))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lcm‘(1...8)) = ((lcm‘(1...(8 − 1))) lcm 8)
5		8m1e7 12378	. . . . . 6 ⊢ (8 − 1) = 7
6	5	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (1...(8 − 1)) = (1...7)
7	6	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(8 − 1))) = (lcm‘(1...7))
8	7	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(8 − 1))) lcm 8) = ((lcm‘(1...7)) lcm 8)
9		lcm7un 42037	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...7)) = ;;420
10	9	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...7)) lcm 8) = (;;420 lcm 8)
11	8, 10	eqtri 2759	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...(8 − 1))) lcm 8) = (;;420 lcm 8)
12		420lcm8e840 42029	. 2 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840
13	4, 11, 12	3eqtri 2763	1 ⊢ (lcm‘(1...8)) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   − cmin 11471  ℕcn 12245  2c2 12300  4c4 12302  7c7 12305  8c8 12306  ;cdc 12713  ...cfz 13529   lcm clcm 16612  lcmclcmf 16613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-prod 15925  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-lcm 16614  df-lcmf 16615  df-prm 16696

This theorem is referenced by:  lcmineqlem  42070