Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gpg5gricstgr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gpg5gricstgr3 48046
Description: Each closed neighborhood in a generalized Petersen graph G(N,K) of order 10 (𝑁 = 5), which is either the Petersen graph G(5,2) or the 5-prism G(5,1), is isomorphic to a 3-star. (Contributed by AV, 13-Sep-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
gpg5gricstgr3.g 𝐺 = (5 gPetersenGr 𝐾)
Assertion
Ref Expression
gpg5gricstgr3 ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))

Proof of Theorem gpg5gricstgr3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 5eluz3 12927 . . . 4 5 ∈ (ℤ‘3)
2 2z 12649 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
3 fzval3 13773 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 (1...2) = (1..^(2 + 1))
5 2p1e3 12408 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
65oveq2i 7442 . . . . . . 7 (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
7 ceil5half3 47342 . . . . . . . . 9 (⌈‘(5 / 2)) = 3
87eqcomi 2746 . . . . . . . 8 3 = (⌈‘(5 / 2))
98oveq2i 7442 . . . . . . 7 (1..^3) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
104, 6, 93eqtri 2769 . . . . . 6 (1...2) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
1110eleq2i 2833 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...2) ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
1211biimpi 216 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
13 gpg5gricstgr3.g . . . . 5 𝐺 = (5 gPetersenGr 𝐾)
14 gpgusgra 48012 . . . . 5 ((5 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
1513, 14eqeltrid 2845 . . . 4 ((5 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → 𝐺 ∈ USGraph)
161, 12, 15sylancr 587 . . 3 (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐺 ∈ USGraph)
1716anim1i 615 . 2 ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)))
18 eqidd 2738 . . 3 ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 5 = 5)
1912adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
20 simpr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺))
21 eqid 2737 . . . 4 (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
22 eqid 2737 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23 eqid 2737 . . . 4 (𝐺 NeighbVtx 𝑉) = (𝐺 NeighbVtx 𝑉)
24 eqid 2737 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
2521, 13, 22, 23, 24gpg5nbgr3star 48037 . . 3 ((5 = 5 ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)))
2618, 19, 20, 25syl3anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)))
27 eqid 2737 . . 3 (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉) = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)
28 3nn0 12544 . . 3 3 ∈ ℕ0
29 eqid 2737 . . 3 (StarGr‘3) = (StarGr‘3)
30 eqid 2737 . . 3 (Vtx‘(StarGr‘3)) = (Vtx‘(StarGr‘3))
3122, 23, 27, 28, 29, 30, 24isubgr3stgr 47942 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)))
3217, 26, 31sylc 65 1 ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  wral 3061  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  5c5 12324  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  cceil 13831  chash 14369  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  USGraphcusgr 29166   NeighbVtx cnbgr 29349   ClNeighbVtx cclnbgr 47805   ISubGr cisubgr 47846  𝑔𝑟 cgric 47862  StarGrcstgr 47918   gPetersenGr cgpg 47999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-edgf 29004  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-ushgr 29076  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-subgr 29285  df-nbgr 29350  df-clnbgr 47806  df-isubgr 47847  df-grim 47864  df-gric 47867  df-stgr 47919  df-gpg 48000
This theorem is referenced by:  gpg5grlic  48047
  Copyright terms: Public domain W3C validator