Theorem gpg5gricstgr3 48040

Description: Each closed neighborhood in a generalized Petersen graph G(N,K) of order 10 (𝑁 = 5), which is either the Petersen graph G(5,2) or the 5-prism G(5,1), is isomorphic to a 3-star. (Contributed by AV, 13-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg5gricstgr3.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg5gricstgr3	⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))

Proof of Theorem gpg5gricstgr3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12899	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		2z 12622	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		fzval3 13748	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
5		2p1e3 12380	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6	5	oveq2i 7414	. . . . . . 7 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
7		ceil5half3 47317	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
8	7	eqcomi 2744	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (⌈‘(5 / 2))
9	8	oveq2i 7414	. . . . . . 7 ⊢ (1..^3) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
10	4, 6, 9	3eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
11	10	eleq2i 2826	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
12	11	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
13		gpg5gricstgr3.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 𝐾)
14		gpgusgra 48009	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
15	13, 14	eqeltrid 2838	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → 𝐺 ∈ USGraph)
16	1, 12, 15	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐺 ∈ USGraph)
17	16	anim1i 615	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)))
18		eqidd 2736	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 5 = 5)
19	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
20		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺))
21		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
22		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑉) = (𝐺 NeighbVtx 𝑉)
24		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
25	21, 13, 22, 23, 24	gpg5nbgr3star 48031	. . 3 ⊢ ((5 = 5 ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)))
26	18, 19, 20, 25	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)))
27		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉) = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)
28		3nn0 12517	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
29		eqid 2735	. . 3 ⊢ (StarGr‘3) = (StarGr‘3)
30		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Vtx‘(StarGr‘3)) = (Vtx‘(StarGr‘3))
31	22, 23, 27, 28, 29, 30, 24	isubgr3stgr 47935	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)))
32	17, 26, 31	sylc 65	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  {cpr 4603   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1c1 11128   + caddc 11130   / cdiv 11892  2c2 12293  3c3 12294  5c5 12296  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13522  ..^cfzo 13669  ⌈cceil 13806  ♯chash 14346  Vtxcvtx 28921  Edgcedg 28972  USGraphcusgr 29074   NeighbVtx cnbgr 29257   ClNeighbVtx cclnbgr 47780   ISubGr cisubgr 47821   ≃_𝑔𝑟 cgric 47837  StarGrcstgr 47911   gPetersenGr cgpg 47992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-dju 9913  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-rp 13007  df-ico 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-ceil 13808  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-dvds 16271  df-struct 17164  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-edgf 28914  df-vtx 28923  df-iedg 28924  df-edg 28973  df-uhgr 28983  df-ushgr 28984  df-upgr 29007  df-umgr 29008  df-uspgr 29075  df-usgr 29076  df-subgr 29193  df-nbgr 29258  df-clnbgr 47781  df-isubgr 47822  df-grim 47839  df-gric 47842  df-stgr 47912  df-gpg 47993

This theorem is referenced by:  gpg5grlic  48041