Theorem gpg5gricstgr3 49188

Description: Each closed neighborhood in a generalized Petersen graph G(N,K) of order 10 (𝑁 = 5), which is either the Petersen graph G(5,2) or the 5-prism G(5,1), is isomorphic to a 3-star. (Contributed by AV, 13-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg5gricstgr3.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg5gricstgr3	⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))

Proof of Theorem gpg5gricstgr3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 13010	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		2z 12728	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		fzval3 13869	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
5		2p1e3 12484	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6	5	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
7		ceil5half3 48416	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
8	7	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (⌈‘(5 / 2))
9	8	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ (1..^3) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
10	4, 6, 9	3eqtri 2787	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
11	10	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
12	11	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
13		gpg5gricstgr3.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 𝐾)
14		gpgusgra 49155	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
15	13, 14	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → 𝐺 ∈ USGraph)
16	1, 12, 15	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐺 ∈ USGraph)
17	16	anim1i 627	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)))
18		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 5 = 5)
19	11	birani 509	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
20		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺))
21		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
22		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑉) = (𝐺 NeighbVtx 𝑉)
24		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
25	21, 13, 22, 23, 24	gpg5nbgr3star 49179	. . 3 ⊢ ((5 = 5 ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)))
26	18, 19, 20, 25	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)))
27		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉) = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)
28		3nn0 12624	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
29		eqid 2760	. . 3 ⊢ (StarGr‘3) = (StarGr‘3)
30		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Vtx‘(StarGr‘3)) = (Vtx‘(StarGr‘3))
31	22, 23, 27, 28, 29, 30, 24	isubgr3stgr 49073	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)))
32	17, 26, 31	sylc 66	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  {cpr 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201   + caddc 11203   / cdiv 11973  2c2 12397  3c3 12398  5c5 12400  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788  ⌈cceil 13931  ♯chash 14474  Vtxcvtx 29574  Edgcedg 29625  USGraphcusgr 29730   NeighbVtx cnbgr 29913   ClNeighbVtx cclnbgr 48916   ISubGr cisubgr 48958   ≃_𝑔𝑟 cgric 48974  StarGrcstgr 49049   gPetersenGr cgpg 49138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-ceil 13933  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-edgf 29567  df-vtx 29576  df-iedg 29577  df-edg 29626  df-uhgr 29636  df-ushgr 29637  df-upgr 29660  df-umgr 29661  df-uspgr 29731  df-usgr 29732  df-subgr 29849  df-nbgr 29914  df-clnbgr 48917  df-isubgr 48959  df-grim 48976  df-gric 48979  df-stgr 49050  df-gpg 49139

This theorem is used by:  gpg5grlim  49191  gpg5grlic  49192