Theorem gpg5gricstgr3 48479

Description: Each closed neighborhood in a generalized Petersen graph G(N,K) of order 10 (𝑁 = 5), which is either the Petersen graph G(5,2) or the 5-prism G(5,1), is isomorphic to a 3-star. (Contributed by AV, 13-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg5gricstgr3.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg5gricstgr3	⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))

Proof of Theorem gpg5gricstgr3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12810	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		2z 12537	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		fzval3 13664	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
5		2p1e3 12296	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6	5	oveq2i 7381	. . . . . . 7 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
7		ceil5half3 47729	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
8	7	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (⌈‘(5 / 2))
9	8	oveq2i 7381	. . . . . . 7 ⊢ (1..^3) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
10	4, 6, 9	3eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
11	10	eleq2i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
12	11	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
13		gpg5gricstgr3.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 𝐾)
14		gpgusgra 48446	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
15	13, 14	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → 𝐺 ∈ USGraph)
16	1, 12, 15	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐺 ∈ USGraph)
17	16	anim1i 616	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)))
18		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 5 = 5)
19	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
20		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺))
21		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑉) = (𝐺 NeighbVtx 𝑉)
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
25	21, 13, 22, 23, 24	gpg5nbgr3star 48470	. . 3 ⊢ ((5 = 5 ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)))
26	18, 19, 20, 25	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)))
27		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉) = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)
28		3nn0 12433	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
29		eqid 2737	. . 3 ⊢ (StarGr‘3) = (StarGr‘3)
30		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Vtx‘(StarGr‘3)) = (Vtx‘(StarGr‘3))
31	22, 23, 27, 28, 29, 30, 24	isubgr3stgr 48364	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)))
32	17, 26, 31	sylc 65	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  {cpr 4584   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1c1 11041   + caddc 11043   / cdiv 11808  2c2 12214  3c3 12215  5c5 12217  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765  ...cfz 13437  ..^cfzo 13584  ⌈cceil 13725  ♯chash 14267  Vtxcvtx 29087  Edgcedg 29138  USGraphcusgr 29240   NeighbVtx cnbgr 29423   ClNeighbVtx cclnbgr 48207   ISubGr cisubgr 48249   ≃_𝑔𝑟 cgric 48265  StarGrcstgr 48340   gPetersenGr cgpg 48429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-xnn0 12489  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-rp 12920  df-ico 13281  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-ceil 13727  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-dvds 16194  df-struct 17088  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-edgf 29080  df-vtx 29089  df-iedg 29090  df-edg 29139  df-uhgr 29149  df-ushgr 29150  df-upgr 29173  df-umgr 29174  df-uspgr 29241  df-usgr 29242  df-subgr 29359  df-nbgr 29424  df-clnbgr 48208  df-isubgr 48250  df-grim 48267  df-gric 48270  df-stgr 48341  df-gpg 48430

This theorem is referenced by:  gpg5grlim  48482  gpg5grlic  48483