Theorem gpg5gricstgr3 48403

Description: Each closed neighborhood in a generalized Petersen graph G(N,K) of order 10 (𝑁 = 5), which is either the Petersen graph G(5,2) or the 5-prism G(5,1), is isomorphic to a 3-star. (Contributed by AV, 13-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg5gricstgr3.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg5gricstgr3	⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))

Proof of Theorem gpg5gricstgr3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12800	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		2z 12527	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		fzval3 13654	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
5		2p1e3 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6	5	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
7		ceil5half3 47653	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
8	7	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (⌈‘(5 / 2))
9	8	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ (1..^3) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
10	4, 6, 9	3eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
11	10	eleq2i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
12	11	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
13		gpg5gricstgr3.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 𝐾)
14		gpgusgra 48370	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
15	13, 14	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → 𝐺 ∈ USGraph)
16	1, 12, 15	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐺 ∈ USGraph)
17	16	anim1i 616	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)))
18		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 5 = 5)
19	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
20		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺))
21		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑉) = (𝐺 NeighbVtx 𝑉)
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
25	21, 13, 22, 23, 24	gpg5nbgr3star 48394	. . 3 ⊢ ((5 = 5 ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)))
26	18, 19, 20, 25	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)))
27		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉) = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)
28		3nn0 12423	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
29		eqid 2737	. . 3 ⊢ (StarGr‘3) = (StarGr‘3)
30		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Vtx‘(StarGr‘3)) = (Vtx‘(StarGr‘3))
31	22, 23, 27, 28, 29, 30, 24	isubgr3stgr 48288	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)))
32	17, 26, 31	sylc 65	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  {cpr 4583   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1c1 11031   + caddc 11033   / cdiv 11798  2c2 12204  3c3 12205  5c5 12207  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ...cfz 13427  ..^cfzo 13574  ⌈cceil 13715  ♯chash 14257  Vtxcvtx 29073  Edgcedg 29124  USGraphcusgr 29226   NeighbVtx cnbgr 29409   ClNeighbVtx cclnbgr 48131   ISubGr cisubgr 48173   ≃_𝑔𝑟 cgric 48189  StarGrcstgr 48264   gPetersenGr cgpg 48353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-ico 13271  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-ceil 13717  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-dvds 16184  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-edgf 29066  df-vtx 29075  df-iedg 29076  df-edg 29125  df-uhgr 29135  df-ushgr 29136  df-upgr 29159  df-umgr 29160  df-uspgr 29227  df-usgr 29228  df-subgr 29345  df-nbgr 29410  df-clnbgr 48132  df-isubgr 48174  df-grim 48191  df-gric 48194  df-stgr 48265  df-gpg 48354

This theorem is referenced by:  gpg5grlim  48406  gpg5grlic  48407