Theorem gpg5gricstgr3 48074

Description: Each closed neighborhood in a generalized Petersen graph G(N,K) of order 10 (𝑁 = 5), which is either the Petersen graph G(5,2) or the 5-prism G(5,1), is isomorphic to a 3-star. (Contributed by AV, 13-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpg5gricstgr3.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gpg5gricstgr3	⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))

Proof of Theorem gpg5gricstgr3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12818	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		2z 12541	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		fzval3 13671	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
5		2p1e3 12299	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6	5	oveq2i 7380	. . . . . . 7 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
7		ceil5half3 47334	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
8	7	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (⌈‘(5 / 2))
9	8	oveq2i 7380	. . . . . . 7 ⊢ (1..^3) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
10	4, 6, 9	3eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
11	10	eleq2i 2820	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
12	11	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
13		gpg5gricstgr3.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 𝐾)
14		gpgusgra 48041	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (5 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
15	13, 14	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → 𝐺 ∈ USGraph)
16	1, 12, 15	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐺 ∈ USGraph)
17	16	anim1i 615	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)))
18		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 5 = 5)
19	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
20		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺))
21		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
23		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑉) = (𝐺 NeighbVtx 𝑉)
24		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
25	21, 13, 22, 23, 24	gpg5nbgr3star 48065	. . 3 ⊢ ((5 = 5 ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)))
26	18, 19, 20, 25	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)))
27		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉) = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)
28		3nn0 12436	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
29		eqid 2729	. . 3 ⊢ (StarGr‘3) = (StarGr‘3)
30		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Vtx‘(StarGr‘3)) = (Vtx‘(StarGr‘3))
31	22, 23, 27, 28, 29, 30, 24	isubgr3stgr 47967	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑉)) = 3 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉)∀𝑦 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑉){𝑥, 𝑦} ∉ (Edg‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3)))
32	17, 26, 31	sylc 65	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...2) ∧ 𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ISubGr (𝐺 ClNeighbVtx 𝑉)) ≃𝑔𝑟 (StarGr‘3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  {cpr 4587   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047   / cdiv 11811  2c2 12217  3c3 12218  5c5 12220  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591  ⌈cceil 13729  ♯chash 14271  Vtxcvtx 28976  Edgcedg 29027  USGraphcusgr 29129   NeighbVtx cnbgr 29312   ClNeighbVtx cclnbgr 47812   ISubGr cisubgr 47853   ≃_𝑔𝑟 cgric 47869  StarGrcstgr 47943   gPetersenGr cgpg 48024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-ceil 13731  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-edgf 28969  df-vtx 28978  df-iedg 28979  df-edg 29028  df-uhgr 29038  df-ushgr 29039  df-upgr 29062  df-umgr 29063  df-uspgr 29130  df-usgr 29131  df-subgr 29248  df-nbgr 29313  df-clnbgr 47813  df-isubgr 47854  df-grim 47871  df-gric 47874  df-stgr 47944  df-gpg 48025

This theorem is referenced by:  gpg5grlic  48077