Theorem cgrdegen 35978

Description: Two congruent segments are either both degenerate or both nondegenerate. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cgrdegen	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷)))

Proof of Theorem cgrdegen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4824	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐵, 𝐵⟩)
2	1	breq1d 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
3	2	biimpac 478	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
4		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		cgrid2 35977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐶 = 𝐷))
9	4, 5, 6, 7, 8	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐶 = 𝐷))
10	3, 9	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷))
11	10	expdimp 452	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷))
12		opeq1 4824	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ = ⟨𝐷, 𝐷⟩)
13	12	breq2d 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐷⟩))
14	13	biimpac 478	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐷⟩)
15		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		axcgrid 28861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐷⟩ → 𝐴 = 𝐵))
17	4, 15, 5, 7, 16	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐷⟩ → 𝐴 = 𝐵))
18	14, 17	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐵))
19	18	expdimp 452	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → (𝐶 = 𝐷 → 𝐴 = 𝐵))
20	11, 19	impbid 212	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))
21	20	ex 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  ℕcn 12128  𝔼cee 28833  Cgrccgr 28835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-ee 28836  df-cgr 28838

This theorem is referenced by:  btwndiff  36001  segcon2  36079  outsideofeu  36105