Theorem segcon2 36340

Description: Generalization of axsegcon 29021. This time, we generate an endpoint for a segment on the ray 𝑄𝐴 congruent to 𝐵𝐶 and starting at 𝑄, as opposed to axsegcon 29021, where the segment starts at 𝐴 (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.) Remove unneeded inequality. (Revised by Scott Fenton, 15-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
segcon2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑄   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem segcon2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5082	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝑄 → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ↔ 𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩))
2	1	orbi1d 922	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝑄 → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ↔ (𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
3	2	anbi1d 637	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝑄 → (((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
4	3	rexbidv 3164	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝑄 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
5		simp1 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		simp2 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7	6	ancomd 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)))
8		axsegcon 29021	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))
9	5, 7, 7, 8	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) → ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))
11		simpl1 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpl2l 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simpl3 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
15		axsegcon 29021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
16	11, 12, 13, 14, 15	syl121anc 1383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
18		anass 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))))
19		df-3an 1094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩))
20		simpr1 1201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
21		simpr2r 1240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)
22		simpl1 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
23		simpl2l 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
24		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁))
25		simpl2r 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
26		cgrdegen 36239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ → (𝑄 = 𝑎 ↔ 𝐴 = 𝑄)))
27	22, 23, 24, 25, 23, 26	syl122anc 1387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ → (𝑄 = 𝑎 ↔ 𝐴 = 𝑄)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ → (𝑄 = 𝑎 ↔ 𝐴 = 𝑄)))
29	21, 28	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝑄 = 𝑎 ↔ 𝐴 = 𝑄))
30	29	necon3bid 2979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝑄 ≠ 𝑎 ↔ 𝐴 ≠ 𝑄))
31	20, 30	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 ≠ 𝑎)
32	31	necomd 2990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑎 ≠ 𝑄)
33		simpr2l 1239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩)
34	22, 23, 25, 24, 33	btwncomand 36250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩)
35		simpr3 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)
36		simprr 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
37		btwnconn2 36337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑎 ≠ 𝑄 ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
38	22, 24, 23, 25, 36, 37	syl122anc 1387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑎 ≠ 𝑄 ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → ((𝑎 ≠ 𝑄 ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
40	32, 34, 35, 39	mp3and 1472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩))
41	19, 40	sylan2br 601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩))
42	41	expr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → (𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
43	42	anim1d 617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
44	18, 43	sylanb 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
45	44	an32s 658	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
46	45	reximdva 3153	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
47	17, 46	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
48	47	expr 457	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) → ((𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
49	48	an32s 658	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
50	49	rexlimdva 3141	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) → (∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
51	10, 50	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
52		simp2l 1206	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
53		simp3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
54		axsegcon 29021	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
55	5, 52, 52, 53, 54	syl121anc 1383	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
56		orc 873	. . . . 5 ⊢ (𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ → (𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩))
57	56	anim1i 621	. . . 4 ⊢ ((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
58	57	reximi 3078	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
59	55, 58	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
60	4, 51, 59	pm2.61ne 3020	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064  ⟨cop 4568   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  ℕcn 12172  𝔼cee 28981   Btwn cbtwn 28982  Cgrccgr 28983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647  df-ee 28984  df-btwn 28985  df-cgr 28986  df-ofs 36218  df-colinear 36274  df-ifs 36275  df-cgr3 36276  df-fs 36277

This theorem is referenced by:  seglelin  36351  outsideofeu  36366