Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  segcon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem segcon2 35734
Description: Generalization of axsegcon 28758. This time, we generate an endpoint for a segment on the ray 𝑄𝐴 congruent to 𝐵𝐶 and starting at 𝑄, as opposed to axsegcon 28758, where the segment starts at 𝐴 (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.) Remove unneeded inequality. (Revised by Scott Fenton, 15-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
segcon2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑄   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem segcon2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5155 . . . . 5 (𝐴 = 𝑄 → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ↔ 𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩))
21orbi1d 914 . . . 4 (𝐴 = 𝑄 → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ↔ (𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
32anbi1d 629 . . 3 (𝐴 = 𝑄 → (((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
43rexbidv 3176 . 2 (𝐴 = 𝑄 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
5 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)))
76ancomd 460 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)))
8 axsegcon 28758 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))
95, 7, 7, 8syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))
109adantr 479 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴𝑄) → ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))
11 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁))
13 simpl2l 1223 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
14 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
15 axsegcon 28758 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
1611, 12, 13, 14, 15syl121anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
1716adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
18 anass 467 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))))
19 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) ↔ ((𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩))
20 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝐴𝑄)
21 simpr2r 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)
22 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
23 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
24 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁))
25 simpl2r 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
26 cgrdegen 35633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ → (𝑄 = 𝑎𝐴 = 𝑄)))
2722, 23, 24, 25, 23, 26syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ → (𝑄 = 𝑎𝐴 = 𝑄)))
2827adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ → (𝑄 = 𝑎𝐴 = 𝑄)))
2921, 28mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝑄 = 𝑎𝐴 = 𝑄))
3029necon3bid 2982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝑄𝑎𝐴𝑄))
3120, 30mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄𝑎)
3231necomd 2993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑎𝑄)
33 simpr2l 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩)
3422, 23, 25, 24, 33btwncomand 35644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩)
35 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)
36 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
37 btwnconn2 35731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑎𝑄𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
3822, 24, 23, 25, 36, 37syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑎𝑄𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
3938adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → ((𝑎𝑄𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
4032, 34, 35, 39mp3and 1460 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩))
4119, 40sylan2br 593 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩))
4241expr 455 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → (𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
4342anim1d 609 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
4418, 43sylanb 579 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
4544an32s 650 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
4645reximdva 3165 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
4717, 46mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
4847expr 455 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐴𝑄) → ((𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
4948an32s 650 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴𝑄) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
5049rexlimdva 3152 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴𝑄) → (∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
5110, 50mpd 15 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴𝑄) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
52 simp2l 1196 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
53 simp3 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
54 axsegcon 28758 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
555, 52, 52, 53, 54syl121anc 1372 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
56 orc 865 . . . . 5 (𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ → (𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩))
5756anim1i 613 . . . 4 ((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
5857reximi 3081 . . 3 (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
5955, 58syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
604, 51, 59pm2.61ne 3024 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wrex 3067  cop 4638   class class class wbr 5152  cfv 6553  cn 12250  𝔼cee 28719   Btwn cbtwn 28720  Cgrccgr 28721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-ee 28722  df-btwn 28723  df-cgr 28724  df-ofs 35612  df-colinear 35668  df-ifs 35669  df-cgr3 35670  df-fs 35671
This theorem is referenced by:  seglelin  35745  outsideofeu  35760
  Copyright terms: Public domain W3C validator