Theorem segcon2 34690

Description: Generalization of axsegcon 27876. This time, we generate an endpoint for a segment on the ray 𝑄𝐴 congruent to 𝐵𝐶 and starting at 𝑄, as opposed to axsegcon 27876, where the segment starts at 𝐴 (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.) Remove unneeded inequality. (Revised by Scott Fenton, 15-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
segcon2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑄   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem segcon2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5108	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝑄 → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ↔ 𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩))
2	1	orbi1d 915	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝑄 → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ↔ (𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
3	2	anbi1d 630	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝑄 → (((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
4	3	rexbidv 3175	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝑄 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
5		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7	6	ancomd 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)))
8		axsegcon 27876	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))
9	5, 7, 7, 8	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) → ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))
11		simpl1 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpl2l 1226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simpl3 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
15		axsegcon 27876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
16	11, 12, 13, 14, 15	syl121anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
18		anass 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))))
19		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩))
20		simpr1 1194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
21		simpr2r 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)
22		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
23		simpl2l 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
24		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁))
25		simpl2r 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
26		cgrdegen 34589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ → (𝑄 = 𝑎 ↔ 𝐴 = 𝑄)))
27	22, 23, 24, 25, 23, 26	syl122anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ → (𝑄 = 𝑎 ↔ 𝐴 = 𝑄)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ → (𝑄 = 𝑎 ↔ 𝐴 = 𝑄)))
29	21, 28	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝑄 = 𝑎 ↔ 𝐴 = 𝑄))
30	29	necon3bid 2988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝑄 ≠ 𝑎 ↔ 𝐴 ≠ 𝑄))
31	20, 30	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 ≠ 𝑎)
32	31	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑎 ≠ 𝑄)
33		simpr2l 1232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩)
34	22, 23, 25, 24, 33	btwncomand 34600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩)
35		simpr3 1196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)
36		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
37		btwnconn2 34687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑎 ≠ 𝑄 ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
38	22, 24, 23, 25, 36, 37	syl122anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑎 ≠ 𝑄 ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → ((𝑎 ≠ 𝑄 ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
40	32, 34, 35, 39	mp3and 1464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩))
41	19, 40	sylan2br 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩))
42	41	expr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → (𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
43	42	anim1d 611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
44	18, 43	sylanb 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
45	44	an32s 650	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
46	45	reximdva 3165	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
47	17, 46	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
48	47	expr 457	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) → ((𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
49	48	an32s 650	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
50	49	rexlimdva 3152	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) → (∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
51	10, 50	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
52		simp2l 1199	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
53		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
54		axsegcon 27876	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
55	5, 52, 52, 53, 54	syl121anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
56		orc 865	. . . . 5 ⊢ (𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ → (𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩))
57	56	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
58	57	reximi 3087	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
59	55, 58	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
60	4, 51, 59	pm2.61ne 3030	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073  ⟨cop 4592   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  ℕcn 12153  𝔼cee 27837   Btwn cbtwn 27838  Cgrccgr 27839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-ee 27840  df-btwn 27841  df-cgr 27842  df-ofs 34568  df-colinear 34624  df-ifs 34625  df-cgr3 34626  df-fs 34627

This theorem is referenced by:  seglelin  34701  outsideofeu  34716