Theorem segcon2 34334

Description: Generalization of axsegcon 27198. This time, we generate an endpoint for a segment on the ray 𝑄𝐴 congruent to 𝐵𝐶 and starting at 𝑄, as opposed to axsegcon 27198, where the segment starts at 𝐴 (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.) Remove unneeded inequality. (Revised by Scott Fenton, 15-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
segcon2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑄   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem segcon2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5073	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝑄 → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ↔ 𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩))
2	1	orbi1d 913	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝑄 → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ↔ (𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
3	2	anbi1d 629	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝑄 → (((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
4	3	rexbidv 3225	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝑄 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
5		simp1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		simp2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7	6	ancomd 461	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)))
8		axsegcon 27198	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))
9	5, 7, 7, 8	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) → ∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))
11		simpl1 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpl2l 1224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simpl3 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
15		axsegcon 27198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
16	11, 12, 13, 14, 15	syl121anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
18		anass 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))))
19		df-3an 1087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩))
20		simpr1 1192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝐴 ≠ 𝑄)
21		simpr2r 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)
22		simpl1 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
23		simpl2l 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
24		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁))
25		simpl2r 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
26		cgrdegen 34233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ → (𝑄 = 𝑎 ↔ 𝐴 = 𝑄)))
27	22, 23, 24, 25, 23, 26	syl122anc 1377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ → (𝑄 = 𝑎 ↔ 𝐴 = 𝑄)))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ → (𝑄 = 𝑎 ↔ 𝐴 = 𝑄)))
29	21, 28	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝑄 = 𝑎 ↔ 𝐴 = 𝑄))
30	29	necon3bid 2987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝑄 ≠ 𝑎 ↔ 𝐴 ≠ 𝑄))
31	20, 30	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 ≠ 𝑎)
32	31	necomd 2998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑎 ≠ 𝑄)
33		simpr2l 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩)
34	22, 23, 25, 24, 33	btwncomand 34244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩)
35		simpr3 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)
36		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
37		btwnconn2 34331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑎 ≠ 𝑄 ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
38	22, 24, 23, 25, 36, 37	syl122anc 1377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑎 ≠ 𝑄 ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → ((𝑎 ≠ 𝑄 ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝐴⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
40	32, 34, 35, 39	mp3and 1462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩))
41	19, 40	sylan2br 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩))
42	41	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → (𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩)))
43	42	anim1d 610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
44	18, 43	sylanb 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
45	44	an32s 648	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
46	45	reximdva 3202	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑎, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
47	17, 46	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑄 ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
48	47	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) → ((𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
49	48	an32s 648	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) ∧ 𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
50	49	rexlimdva 3212	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) → (∃𝑎 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝐴, 𝑎⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑎⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
51	10, 50	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 ≠ 𝑄) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
52		simp2l 1197	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
53		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
54		axsegcon 27198	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
55	5, 52, 52, 53, 54	syl121anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
56		orc 863	. . . . 5 ⊢ (𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ → (𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩))
57	56	anim1i 614	. . . 4 ⊢ ((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
58	57	reximi 3174	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
59	55, 58	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑄 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
60	4, 51, 59	pm2.61ne 3029	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐴 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝐴⟩) ∧ ⟨𝑄, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  ℕcn 11903  𝔼cee 27159   Btwn cbtwn 27160  Cgrccgr 27161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-ee 27162  df-btwn 27163  df-cgr 27164  df-ofs 34212  df-colinear 34268  df-ifs 34269  df-cgr3 34270  df-fs 34271

This theorem is referenced by:  seglelin  34345  outsideofeu  34360