Theorem outsideofeu 33113

Description: Given a nondegenerate ray, there is a unique point congruent to the segment 𝐵𝐶 lying on the ray 𝐴𝑅. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Scott Fenton, 23-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
outsideofeu	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Proof of Theorem outsideofeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		segcon2 33087	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
2	1	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
3		simpl1 1171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simpl2l 1206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simpl2r 1207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		broutsideof2 33104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl13anc 1352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
9	8	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
10		simp3 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
11		simpllr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
12	11	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
13		simprlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
14		simp2l 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
15	14	anim1i 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)))
16		simpl3 1173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
17		cgrdegen 32986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝐵 = 𝐶)))
18	3, 15, 16, 17	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝐵 = 𝐶)))
19	18	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝐵 = 𝐶)))
20	13, 19	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝐵 = 𝐶))
21	20	necon3bid 3011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝐴 ≠ 𝑥 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
22	12, 21	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝐴 ≠ 𝑥)
23	22	necomd 3022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝑥 ≠ 𝐴)
24		simplll 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) → 𝑅 ≠ 𝐴)
25	24	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝑅 ≠ 𝐴)
26		simprr 760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
27	23, 25, 26	3jca 1108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)))
28	27	expr 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
29	10, 28	impbid2 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)))
30	9, 29	bitrd 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)))
31		orcom 856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) ↔ (𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩))
32	30, 31	syl6bb 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)))
33	32	expr 449	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩))))
34	33	pm5.32rd 570	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
35	34	an32s 639	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
36	35	rexbidva 3241	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
37	2, 36	mpbird 249	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
38		simpl1 1171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
39		simpl2l 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40		simpl2r 1207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
41		simpl3l 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
42	39, 40, 41	3jca 1108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
43		simpl3r 1209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
44		simprl 758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
45		simprr 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
46	43, 44, 45	3jca 1108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)))
47	38, 42, 46	3jca 1108	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))))
48		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
49		outsideofeq 33112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦))
50	49	imp 398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑥 = 𝑦)
51	47, 48, 50	syl2an 586	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))) → 𝑥 = 𝑦)
52	51	an4s 647	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))) → 𝑥 = 𝑦)
53	52	exp32 413	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦)))
54	53	ralrimivv 3140	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦))
55		opeq1 4678	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝑥, 𝑅⟩ = ⟨𝑦, 𝑅⟩)
56	55	breq2d 4942	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ 𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩))
57		opeq2 4679	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝐴, 𝑥⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
58	57	breq1d 4940	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
59	56, 58	anbi12d 621	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
60	59	reu4 3636	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦)))
61	37, 54, 60	sylanbrc 575	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
62	61	ex 405	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ∀wral 3088  ∃wrex 3089  ∃!wreu 3090  ⟨cop 4448   class class class wbr 4930  ‘cfv 6190  ℕcn 11441  𝔼cee 26380   Btwn cbtwn 26381  Cgrccgr 26382  OutsideOfcoutsideof 33101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-ico 12563  df-icc 12564  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-clim 14709  df-sum 14907  df-ee 26383  df-btwn 26384  df-cgr 26385  df-ofs 32965  df-colinear 33021  df-ifs 33022  df-cgr3 33023  df-fs 33024  df-outsideof 33102

This theorem is referenced by: (None)