Theorem outsideofeu 36719

Description: Given a nondegenerate ray, there is a unique point congruent to the segment 𝐵𝐶 lying on the ray 𝐴𝑅. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Scott Fenton, 23-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
outsideofeu	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Proof of Theorem outsideofeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		segcon2 36693	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
3		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simpl2l 1245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simpl2r 1246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		broutsideof2 36710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
10		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
11		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
13		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
14		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
15	14	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)))
16		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
17		cgrdegen 36592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝐵 = 𝐶)))
18	3, 15, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝐵 = 𝐶)))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝐵 = 𝐶)))
20	13, 19	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝐵 = 𝐶))
21	20	necon3bid 3001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝐴 ≠ 𝑥 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
22	12, 21	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝐴 ≠ 𝑥)
23	22	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝑥 ≠ 𝐴)
24		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) → 𝑅 ≠ 𝐴)
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝑅 ≠ 𝐴)
26		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
27	23, 25, 26	3jca 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)))
28	27	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
29	10, 28	impbid2 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)))
30	9, 29	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)))
31		orcom 884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) ↔ (𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩))
32	30, 31	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)))
33	32	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩))))
34	33	pm5.32rd 589	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
35	34	an32s 665	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
36	35	rexbidva 3186	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
37	2, 36	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
38		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
39		simpl2l 1245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40		simpl2r 1246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
41		simpl3l 1247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
42	39, 40, 41	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
43		simpl3r 1248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
44		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
45		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
46	43, 44, 45	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)))
47	38, 42, 46	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))))
48		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
49		outsideofeq 36718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦))
50	49	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑥 = 𝑦)
51	47, 48, 50	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))) → 𝑥 = 𝑦)
52	51	an4s 673	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))) → 𝑥 = 𝑦)
53	52	exp32 426	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦)))
54	53	ralrimivv 3205	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦))
55		opeq1 4836	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝑥, 𝑅⟩ = ⟨𝑦, 𝑅⟩)
56	55	breq2d 5119	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ 𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩))
57		opeq2 4837	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝐴, 𝑥⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
58	57	breq1d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
59	56, 58	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
60	59	reu4 3692	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦)))
61	37, 54, 60	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
62	61	ex 418	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ∃!wreu 3365  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ℕcn 12261  𝔼cee 29352   Btwn cbtwn 29353  Cgrccgr 29354  OutsideOfcoutsideof 36707

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-ee 29355  df-btwn 29356  df-cgr 29357  df-ofs 36571  df-colinear 36627  df-ifs 36628  df-cgr3 36629  df-fs 36630  df-outsideof 36708

This theorem is used by: (None)