Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  outsideofeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem outsideofeu 33706
 Description: Given a nondegenerate ray, there is a unique point congruent to the segment 𝐵𝐶 lying on the ray 𝐴𝑅. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Scott Fenton, 23-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
outsideofeu ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅𝐴𝐵𝐶) → ∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Proof of Theorem outsideofeu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 segcon2 33680 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
21adantr 484 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅𝐴𝐵𝐶)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
3 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
6 simpl2r 1224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
7 broutsideof2 33697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥𝐴𝑅𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
83, 4, 5, 6, 7syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥𝐴𝑅𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
98adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥𝐴𝑅𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
10 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑅𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
11 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) → 𝐵𝐶)
1211adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝐵𝐶)
13 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
14 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
1514anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)))
16 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
17 cgrdegen 33579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 = 𝑥𝐵 = 𝐶)))
183, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 = 𝑥𝐵 = 𝐶)))
1918adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 = 𝑥𝐵 = 𝐶)))
2013, 19mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝐴 = 𝑥𝐵 = 𝐶))
2120necon3bid 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝐴𝑥𝐵𝐶))
2212, 21mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝐴𝑥)
2322necomd 3045 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝑥𝐴)
24 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) → 𝑅𝐴)
2524adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝑅𝐴)
26 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
2723, 25, 263jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝑥𝐴𝑅𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)))
2827expr 460 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) → (𝑥𝐴𝑅𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
2910, 28impbid2 229 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝑥𝐴𝑅𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)))
309, 29bitrd 282 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)))
31 orcom 867 . . . . . . . . 9 ((𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) ↔ (𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩))
3230, 31syl6bb 290 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)))
3332expr 460 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑅𝐴𝐵𝐶)) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩))))
3433pm5.32rd 581 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑅𝐴𝐵𝐶)) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
3534an32s 651 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅𝐴𝐵𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
3635rexbidva 3258 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅𝐴𝐵𝐶)) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
372, 36mpbird 260 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅𝐴𝐵𝐶)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
38 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
39 simpl2l 1223 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40 simpl2r 1224 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
41 simpl3l 1225 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
4239, 40, 413jca 1125 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
43 simpl3r 1226 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
44 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
45 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
4643, 44, 453jca 1125 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4738, 42, 463jca 1125 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))))
48 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
49 outsideofeq 33705 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦))
5049imp 410 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑥 = 𝑦)
5147, 48, 50syl2an 598 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅𝐴𝐵𝐶) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))) → 𝑥 = 𝑦)
5251an4s 659 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅𝐴𝐵𝐶)) ∧ ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))) → 𝑥 = 𝑦)
5352exp32 424 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅𝐴𝐵𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦)))
5453ralrimivv 3158 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅𝐴𝐵𝐶)) → ∀𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦))
55 opeq1 4766 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝑥, 𝑅⟩ = ⟨𝑦, 𝑅⟩)
5655breq2d 5045 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ 𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩))
57 opeq2 4768 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝐴, 𝑥⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
5857breq1d 5043 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
5956, 58anbi12d 633 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
6059reu4 3673 . . 3 (∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦)))
6137, 54, 60sylanbrc 586 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅𝐴𝐵𝐶)) → ∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
6261ex 416 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅𝐴𝐵𝐶) → ∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  ∃!wreu 3111  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  ℕcn 11629  𝔼cee 26686   Btwn cbtwn 26687  Cgrccgr 26688  OutsideOfcoutsideof 33694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-ee 26689  df-btwn 26690  df-cgr 26691  df-ofs 33558  df-colinear 33614  df-ifs 33615  df-cgr3 33616  df-fs 33617  df-outsideof 33695 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator