Theorem outsideofeu 36119

Description: Given a nondegenerate ray, there is a unique point congruent to the segment 𝐵𝐶 lying on the ray 𝐴𝑅. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Scott Fenton, 23-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
outsideofeu	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Proof of Theorem outsideofeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		segcon2 36093	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
3		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simpl2l 1227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simpl2r 1228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		broutsideof2 36110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
10		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
11		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
13		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
14		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
15	14	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)))
16		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
17		cgrdegen 35992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝐵 = 𝐶)))
18	3, 15, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝐵 = 𝐶)))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝐵 = 𝐶)))
20	13, 19	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝐵 = 𝐶))
21	20	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝐴 ≠ 𝑥 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
22	12, 21	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝐴 ≠ 𝑥)
23	22	necomd 2980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝑥 ≠ 𝐴)
24		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) → 𝑅 ≠ 𝐴)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → 𝑅 ≠ 𝐴)
26		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))
27	23, 25, 26	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)))
28	27	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩))))
29	10, 28	impbid2 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝑅 ≠ 𝐴 ∧ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)) ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)))
30	9, 29	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩)))
31		orcom 870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩ ∨ 𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩) ↔ (𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩))
32	30, 31	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩)))
33	32	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ (𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩))))
34	33	pm5.32rd 578	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
35	34	an32s 652	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
36	35	rexbidva 3155	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝑅 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝑅⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
37	2, 36	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
38		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
39		simpl2l 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40		simpl2r 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
41		simpl3l 1229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
42	39, 40, 41	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
43		simpl3r 1230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
44		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
45		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
46	43, 44, 45	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)))
47	38, 42, 46	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))))
48		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
49		outsideofeq 36118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦))
50	49	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑥 = 𝑦)
51	47, 48, 50	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))) → 𝑥 = 𝑦)
52	51	an4s 660	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))) → 𝑥 = 𝑦)
53	52	exp32 420	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦)))
54	53	ralrimivv 3178	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦))
55		opeq1 4837	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝑥, 𝑅⟩ = ⟨𝑦, 𝑅⟩)
56	55	breq2d 5119	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ↔ 𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩))
57		opeq2 4838	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝐴, 𝑥⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
58	57	breq1d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
59	56, 58	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
60	59	reu4 3702	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(((𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (𝐴OutsideOf⟨𝑦, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑥 = 𝑦)))
61	37, 54, 60	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
62	61	ex 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑅 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ∃!𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴OutsideOf⟨𝑥, 𝑅⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3352  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ℕcn 12186  𝔼cee 28815   Btwn cbtwn 28816  Cgrccgr 28817  OutsideOfcoutsideof 36107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-ee 28818  df-btwn 28819  df-cgr 28820  df-ofs 35971  df-colinear 36027  df-ifs 36028  df-cgr3 36029  df-fs 36030  df-outsideof 36108

This theorem is referenced by: (None)