Theorem cgrextendand 36000

Description: Deduction form of cgrextend 35999. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrextendand.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrextendand.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
cgrextendand.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
cgrextendand.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩)
cgrextendand.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrextendand	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)

Proof of Theorem cgrextendand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrextendand.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
2		cgrextendand.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
4		cgrextendand.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩)
5		cgrextendand.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
6	4, 5	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
7		cgrextendand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		cgrextendand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		cgrextendand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		cgrextendand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		cgrextendand.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		cgrextendand.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		cgrextendand.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		cgrextend 35999	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
15	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	syl133anc 1395	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
16	15	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
17	3, 6, 16	mp2and 699	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4579   class class class wbr 5088  ‘cfv 6476  ℕcn 12116  𝔼cee 28820   Btwn cbtwn 28821  Cgrccgr 28822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-inf2 9525  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-sup 9320  df-oi 9390  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-rp 12882  df-ico 13242  df-icc 13243  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-seq 13897  df-exp 13957  df-hash 14226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15382  df-sum 15581  df-ee 28823  df-btwn 28824  df-cgr 28825  df-ofs 35974

This theorem is referenced by:  cgrxfr  36046  btwnconn1lem1  36078  btwnconn1lem2  36079  btwnconn1lem3  36080  btwnconn1lem8  36085  btwnconn1lem10  36087