Theorem cgrextendand 32435

Description: Deduction form of cgrextend 32434. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrextendand.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrextendand.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
cgrextendand.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
cgrextendand.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩)
cgrextendand.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrextendand	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)

Proof of Theorem cgrextendand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrextendand.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
2		cgrextendand.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
3	1, 2	jca 503	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
4		cgrextendand.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩)
5		cgrextendand.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
6	4, 5	jca 503	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
7		cgrextendand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		cgrextendand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		cgrextendand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		cgrextendand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		cgrextendand.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		cgrextendand.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		cgrextendand.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		cgrextend 32434	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
15	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	syl133anc 1505	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
16	15	adantr 468	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
17	3, 6, 16	mp2and 682	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 2156  ⟨cop 4374   class class class wbr 4842  ‘cfv 6099  ℕcn 11303  𝔼cee 25980   Btwn cbtwn 25981  Cgrccgr 25982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-inf2 8783  ax-cnex 10275  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296  ax-pre-sup 10297

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-se 5269  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-om 7294  df-1st 7396  df-2nd 7397  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-1o 7794  df-oadd 7798  df-er 7977  df-map 8092  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-fin 8194  df-sup 8585  df-oi 8652  df-card 9046  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-div 10968  df-nn 11304  df-2 11362  df-3 11363  df-n0 11558  df-z 11642  df-uz 11903  df-rp 12045  df-ico 12397  df-icc 12398  df-fz 12548  df-fzo 12688  df-seq 13023  df-exp 13082  df-hash 13336  df-cj 14060  df-re 14061  df-im 14062  df-sqrt 14196  df-abs 14197  df-clim 14440  df-sum 14638  df-ee 25983  df-btwn 25984  df-cgr 25985  df-ofs 32409

This theorem is referenced by:  cgrxfr  32481  btwnconn1lem1  32513  btwnconn1lem2  32514  btwnconn1lem3  32515  btwnconn1lem8  32520  btwnconn1lem10  32522