Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrextendand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgrextendand 35528
Description: Deduction form of cgrextend 35527. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cgrextendand.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cgrextendand.2 (𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.4 (𝜑𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.5 (𝜑𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.6 (𝜑𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.8 ((𝜑𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
cgrextendand.9 ((𝜑𝜓) → 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
cgrextendand.10 ((𝜑𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩)
cgrextendand.11 ((𝜑𝜓) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
Assertion
Ref Expression
cgrextendand ((𝜑𝜓) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)

Proof of Theorem cgrextendand
StepHypRef Expression
1 cgrextendand.8 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
2 cgrextendand.9 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
31, 2jca 511 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
4 cgrextendand.10 . . 3 ((𝜑𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩)
5 cgrextendand.11 . . 3 ((𝜑𝜓) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
64, 5jca 511 . 2 ((𝜑𝜓) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
7 cgrextendand.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 cgrextendand.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 cgrextendand.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
10 cgrextendand.4 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
11 cgrextendand.5 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
12 cgrextendand.6 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
13 cgrextendand.7 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
14 cgrextend 35527 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
157, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14syl133anc 1391 . . 3 (𝜑 → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
1615adantr 480 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
173, 6, 16mp2and 698 1 ((𝜑𝜓) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2099  cop 4630   class class class wbr 5142  cfv 6542  cn 12228  𝔼cee 28673   Btwn cbtwn 28674  Cgrccgr 28675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-ee 28676  df-btwn 28677  df-cgr 28678  df-ofs 35502
This theorem is referenced by:  cgrxfr  35574  btwnconn1lem1  35606  btwnconn1lem2  35607  btwnconn1lem3  35608  btwnconn1lem8  35613  btwnconn1lem10  35615
  Copyright terms: Public domain W3C validator