Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrextendand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgrextendand 35991
Description: Deduction form of cgrextend 35990. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cgrextendand.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cgrextendand.2 (𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.4 (𝜑𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.5 (𝜑𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.6 (𝜑𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.8 ((𝜑𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
cgrextendand.9 ((𝜑𝜓) → 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
cgrextendand.10 ((𝜑𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩)
cgrextendand.11 ((𝜑𝜓) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
Assertion
Ref Expression
cgrextendand ((𝜑𝜓) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)

Proof of Theorem cgrextendand
StepHypRef Expression
1 cgrextendand.8 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
2 cgrextendand.9 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
31, 2jca 511 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
4 cgrextendand.10 . . 3 ((𝜑𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩)
5 cgrextendand.11 . . 3 ((𝜑𝜓) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
64, 5jca 511 . 2 ((𝜑𝜓) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
7 cgrextendand.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 cgrextendand.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 cgrextendand.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
10 cgrextendand.4 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
11 cgrextendand.5 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
12 cgrextendand.6 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
13 cgrextendand.7 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
14 cgrextend 35990 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
157, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14syl133anc 1392 . . 3 (𝜑 → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
1615adantr 480 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
173, 6, 16mp2and 699 1 ((𝜑𝜓) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  cop 4637   class class class wbr 5148  cfv 6563  cn 12264  𝔼cee 28918   Btwn cbtwn 28919  Cgrccgr 28920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-ee 28921  df-btwn 28922  df-cgr 28923  df-ofs 35965
This theorem is referenced by:  cgrxfr  36037  btwnconn1lem1  36069  btwnconn1lem2  36070  btwnconn1lem3  36071  btwnconn1lem8  36076  btwnconn1lem10  36078
  Copyright terms: Public domain W3C validator