Theorem cgrextendand 36952

Description: Deduction form of cgrextend 36951. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrextendand.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrextendand.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrextendand.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
cgrextendand.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
cgrextendand.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩)
cgrextendand.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrextendand	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)

Proof of Theorem cgrextendand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrextendand.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
2		cgrextendand.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
4		cgrextendand.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩)
5		cgrextendand.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
6	4, 5	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩))
7		cgrextendand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		cgrextendand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		cgrextendand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		cgrextendand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		cgrextendand.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		cgrextendand.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		cgrextendand.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		cgrextend 36951	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
15	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	syl133anc 1421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
16	15	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩))
17	3, 6, 16	mp2and 712	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  ℕcn 12362  𝔼cee 29495   Btwn cbtwn 29496  Cgrccgr 29497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-ee 29498  df-btwn 29499  df-cgr 29500  df-ofs 36926

This theorem is used by:  cgrxfr  36998  btwnconn1lem1  37030  btwnconn1lem2  37031  btwnconn1lem3  37032  btwnconn1lem8  37037  btwnconn1lem10  37039