Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrxfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgrxfr 33630
Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Scott Fenton, 4-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
cgrxfr ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝐵,𝑒   𝐶,𝑒   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝑁

Proof of Theorem cgrxfr
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simpl3r 1226 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
3 simpl3l 1225 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
4 btwndiff 33602 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → ∃𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))
6 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁))
8 simpl3l 1225 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 simpl21 1248 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
10 simpl22 1249 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
11 axsegcon 26725 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
126, 7, 8, 9, 10, 11syl122anc 1376 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
1312adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
14 anass 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))))
15 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
16 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁))
17 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
18 simpl22 1249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
19 simpl23 1250 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
20 axsegcon 26725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
23 anass 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))))
24 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)))
2524anbi2i 625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))))
2623, 25bitr4i 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))))
27 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐷𝑔)
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷𝑔)
2928necomd 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑔𝐷)
30 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
31 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁))
32 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
33 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
34 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))
35 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩)
3635ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩)
37 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩)
3830, 31, 32, 33, 34, 36, 37btwnexchand 33601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩)
39 simpl21 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40 simpl22 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
41 simpl23 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
4230, 31, 32, 33, 34, 36, 37btwnexch3and 33596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑓⟩)
43 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
4443ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
45 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
47 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
4830, 32, 33, 34, 39, 40, 41, 42, 44, 46, 47cgrextendand 33584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)
4938, 48jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
50 simpl3r 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
51 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩)
5251ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩)
5330, 32, 50, 31, 52btwncomand 33590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩)
54 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
5554ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
5630, 39, 41, 32, 50, 55cgrcomand 33566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)
5753, 56jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
5829, 49, 573jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑔𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)))
5958ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑔𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))))
60 segconeq 33585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑔𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)) → 𝑓 = 𝐹))
6130, 32, 39, 41, 31, 34, 50, 60syl133anc 1390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑔𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)) → 𝑓 = 𝐹))
6259, 61syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑓 = 𝐹))
6362imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑓 = 𝐹)
64 opeq2 4768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝐹 → ⟨𝑔, 𝑓⟩ = ⟨𝑔, 𝐹⟩)
6564breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝐹 → (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ↔ 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩))
66 opeq2 4768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝐹 → ⟨𝑒, 𝑓⟩ = ⟨𝑒, 𝐹⟩)
6766breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝐹 → (⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
6865, 67anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
6968biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = 𝐹 ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
70 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩)
71 btwnexch3 33595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
7230, 31, 32, 33, 50, 71syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
7335, 70, 72syl2ani 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
7473imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
75 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
7675adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
7730, 32, 33, 39, 40, 76cgrcomand 33566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩)
7854ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
79 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
8030, 33, 50, 40, 41, 79cgrcomand 33566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)
81 brcgr3 33621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)))
8230, 39, 40, 41, 32, 33, 50, 81syl133anc 1390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)))
8382adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)))
8477, 78, 80, 83mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)
8574, 84jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
8685expr 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
8769, 86syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑓 = 𝐹 ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
8887expcomd 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑓 = 𝐹 → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))))
8988impr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑓 = 𝐹 → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9063, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
9190expr 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9226, 91sylanb 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9392an32s 651 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9493rexlimdva 3246 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9522, 94mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
9695expr 460 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9714, 96sylanb 584 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9897an32s 651 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9998reximdva 3236 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))) → (∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
10013, 99mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
101100expr 460 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
102101an32s 651 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
103102rexlimdva 3246 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → (∃𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
1045, 103mpd 15 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
105104ex 416 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110  cop 4534   class class class wbr 5033  cfv 6328  cn 11629  𝔼cee 26686   Btwn cbtwn 26687  Cgrccgr 26688  Cgr3ccgr3 33611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-ee 26689  df-btwn 26690  df-cgr 26691  df-ofs 33558  df-cgr3 33616
This theorem is referenced by:  btwnxfr  33631  lineext  33651  seglecgr12im  33685  segletr  33689
  Copyright terms: Public domain W3C validator