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Theorem cgrxfr 35560
Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Scott Fenton, 4-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
cgrxfr ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝐵,𝑒   𝐶,𝑒   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝑁

Proof of Theorem cgrxfr
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simpl3r 1226 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
3 simpl3l 1225 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
4 btwndiff 35532 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → ∃𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))
6 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁))
8 simpl3l 1225 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 simpl21 1248 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
10 simpl22 1249 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
11 axsegcon 28689 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
126, 7, 8, 9, 10, 11syl122anc 1376 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
14 anass 468 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))))
15 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
16 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁))
17 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
18 simpl22 1249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
19 simpl23 1250 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
20 axsegcon 28689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
23 anass 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))))
24 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)))
2524anbi2i 622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))))
2623, 25bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))))
27 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐷𝑔)
2827ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷𝑔)
2928necomd 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑔𝐷)
30 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
31 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁))
32 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
33 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
34 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))
35 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩)
3635ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩)
37 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩)
3830, 31, 32, 33, 34, 36, 37btwnexchand 35531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩)
39 simpl21 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40 simpl22 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
41 simpl23 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
4230, 31, 32, 33, 34, 36, 37btwnexch3and 35526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑓⟩)
43 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
4443ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
45 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
4645ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
47 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
4830, 32, 33, 34, 39, 40, 41, 42, 44, 46, 47cgrextendand 35514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)
4938, 48jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
50 simpl3r 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
51 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩)
5251ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩)
5330, 32, 50, 31, 52btwncomand 35520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩)
54 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
5554ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
5630, 39, 41, 32, 50, 55cgrcomand 35496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)
5753, 56jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
5829, 49, 573jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑔𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)))
5958ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑔𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))))
60 segconeq 35515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑔𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)) → 𝑓 = 𝐹))
6130, 32, 39, 41, 31, 34, 50, 60syl133anc 1390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑔𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)) → 𝑓 = 𝐹))
6259, 61syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑓 = 𝐹))
6362imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑓 = 𝐹)
64 opeq2 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝐹 → ⟨𝑔, 𝑓⟩ = ⟨𝑔, 𝐹⟩)
6564breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝐹 → (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ↔ 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩))
66 opeq2 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝐹 → ⟨𝑒, 𝑓⟩ = ⟨𝑒, 𝐹⟩)
6766breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝐹 → (⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
6865, 67anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
6968biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = 𝐹 ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
70 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩)
71 btwnexch3 35525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
7230, 31, 32, 33, 50, 71syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
7335, 70, 72syl2ani 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
7473imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
75 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
7730, 32, 33, 39, 40, 76cgrcomand 35496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩)
7854ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
79 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
8030, 33, 50, 40, 41, 79cgrcomand 35496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)
81 brcgr3 35551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)))
8230, 39, 40, 41, 32, 33, 50, 81syl133anc 1390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)))
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)))
8477, 78, 80, 83mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)
8574, 84jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
8685expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
8769, 86syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑓 = 𝐹 ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
8887expcomd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑓 = 𝐹 → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))))
8988impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑓 = 𝐹 → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9063, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
9190expr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9226, 91sylanb 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9392an32s 649 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9493rexlimdva 3149 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9522, 94mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
9695expr 456 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9714, 96sylanb 580 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9897an32s 649 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
9998reximdva 3162 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))) → (∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
10013, 99mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
101100expr 456 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
102101an32s 649 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
103102rexlimdva 3149 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → (∃𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷𝑔) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
1045, 103mpd 15 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
105104ex 412 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wrex 3064  cop 4629   class class class wbr 5141  cfv 6536  cn 12213  𝔼cee 28650   Btwn cbtwn 28651  Cgrccgr 28652  Cgr3ccgr3 35541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-ee 28653  df-btwn 28654  df-cgr 28655  df-ofs 35488  df-cgr3 35546
This theorem is referenced by:  btwnxfr  35561  lineext  35581  seglecgr12im  35615  segletr  35619
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