Theorem cgrxfr 36410

Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Scott Fenton, 4-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cgrxfr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝐵,𝑒   𝐶,𝑒   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝑁

Proof of Theorem cgrxfr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1206	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simpl3r 1244	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simpl3l 1243	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		btwndiff 36382	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → ∃𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))
6		simpl1 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		simpl3l 1243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		simpl21 1266	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		simpl22 1267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		axsegcon 29130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	syl122anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
13	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
14		anass 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))))
15		simpl1 1206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
16		simprl 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simprr 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
18		simpl22 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
19		simpl23 1268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
20		axsegcon 29130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
21	15, 16, 17, 18, 19, 20	syl122anc 1400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
22	21	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
23		anass 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))))
24		df-3an 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)))
25	24	anbi2i 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))))
26	23, 25	bitr4i 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))))
27		simplrr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐷 ≠ 𝑔)
28	27	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 ≠ 𝑔)
29	28	necomd 3014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑔 ≠ 𝐷)
30		simpl1 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
31		simpr1 1209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁))
32		simpl3l 1243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
33		simpr2 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
34		simpr3 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))
35		simprl 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩)
36	35	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩)
37		simprrl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩)
38	30, 31, 32, 33, 34, 36, 37	btwnexchand 36381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩)
39		simpl21 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40		simpl22 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
41		simpl23 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
42	30, 31, 32, 33, 34, 36, 37	btwnexch3and 36376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑓⟩)
43		simplll 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
44	43	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
45		simprr 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
46	45	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
47		simprrr 791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
48	30, 32, 33, 34, 39, 40, 41, 42, 44, 46, 47	cgrextendand 36364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)
49	38, 48	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
50		simpl3r 1244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
51		simplrl 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩)
52	51	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩)
53	30, 32, 50, 31, 52	btwncomand 36370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩)
54		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
55	54	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
56	30, 39, 41, 32, 50, 55	cgrcomand 36346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)
57	53, 56	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
58	29, 49, 57	3jca 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑔 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)))
59	58	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑔 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))))
60		segconeq 36365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑔 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)) → 𝑓 = 𝐹))
61	30, 32, 39, 41, 31, 34, 50, 60	syl133anc 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑔 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)) → 𝑓 = 𝐹))
62	59, 61	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑓 = 𝐹))
63	62	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑓 = 𝐹)
64		opeq2 4834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ⟨𝑔, 𝑓⟩ = ⟨𝑔, 𝐹⟩)
65	64	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ↔ 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩))
66		opeq2 4834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ⟨𝑒, 𝑓⟩ = ⟨𝑒, 𝐹⟩)
67	66	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
68	65, 67	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
69	68	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
70		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩)
71		btwnexch3 36375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
72	30, 31, 32, 33, 50, 71	syl122anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
73	35, 70, 72	syl2ani 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
74	73	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
75		simplrr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
76	75	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
77	30, 32, 33, 39, 40, 76	cgrcomand 36346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩)
78	54	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
79		simprrr 791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
80	30, 33, 50, 40, 41, 79	cgrcomand 36346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)
81		brcgr3 36401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)))
82	30, 39, 40, 41, 32, 33, 50, 81	syl133anc 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)))
83	82	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)))
84	77, 78, 80, 83	mpbir3and 1357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)
85	74, 84	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
86	85	expr 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
87	69, 86	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑓 = 𝐹 ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
88	87	expcomd 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑓 = 𝐹 → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))))
89	88	impr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑓 = 𝐹 → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
90	63, 89	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
91	90	expr 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
92	26, 91	sylanb 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
93	92	an32s 662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
94	93	rexlimdva 3165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
95	22, 94	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
96	95	expr 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
97	14, 96	sylanb 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
98	97	an32s 662	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
99	98	reximdva 3177	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))) → (∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
100	13, 99	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
101	100	expr 460	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
102	101	an32s 662	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
103	102	rexlimdva 3165	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → (∃𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
104	5, 103	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
105	104	ex 416	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∃wrex 3088  ⟨cop 4590   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  ℕcn 12212  𝔼cee 29090   Btwn cbtwn 29091  Cgrccgr 29092  Cgr3ccgr3 36391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-sum 15716  df-ee 29093  df-btwn 29094  df-cgr 29095  df-ofs 36338  df-cgr3 36396

This theorem is referenced by:  btwnxfr  36411  lineext  36431  seglecgr12im  36465  segletr  36469