Theorem cgrxfr 36237

Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Scott Fenton, 4-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cgrxfr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝐵,𝑒   𝐶,𝑒   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝑁

Proof of Theorem cgrxfr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simpl3r 1231	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simpl3l 1230	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		btwndiff 36209	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → ∃𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))
6		simpl1 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		simpl3l 1230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		simpl21 1253	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		simpl22 1254	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		axsegcon 28996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	syl122anc 1382	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))
14		anass 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))))
15		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
16		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
18		simpl22 1254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
19		simpl23 1255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
20		axsegcon 28996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
21	15, 16, 17, 18, 19, 20	syl122anc 1382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
23		anass 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))))
24		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)))
25	24	anbi2i 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))))
26	23, 25	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))))
27		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐷 ≠ 𝑔)
28	27	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 ≠ 𝑔)
29	28	necomd 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑔 ≠ 𝐷)
30		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
31		simpr1 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁))
32		simpl3l 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
33		simpr2 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
34		simpr3 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))
35		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩)
36	35	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩)
37		simprrl 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩)
38	30, 31, 32, 33, 34, 36, 37	btwnexchand 36208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩)
39		simpl21 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40		simpl22 1254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
41		simpl23 1255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
42	30, 31, 32, 33, 34, 36, 37	btwnexch3and 36203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑓⟩)
43		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
44	43	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
45		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
46	45	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
47		simprrr 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
48	30, 32, 33, 34, 39, 40, 41, 42, 44, 46, 47	cgrextendand 36191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)
49	38, 48	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
50		simpl3r 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
51		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → 𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩)
52	51	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩)
53	30, 32, 50, 31, 52	btwncomand 36197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩)
54		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
55	54	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
56	30, 39, 41, 32, 50, 55	cgrcomand 36173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)
57	53, 56	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
58	29, 49, 57	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑔 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)))
59	58	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑔 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))))
60		segconeq 36192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑔 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)) → 𝑓 = 𝐹))
61	30, 32, 39, 41, 31, 34, 50, 60	syl133anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑔 ≠ 𝐷 ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑓⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝐹⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)) → 𝑓 = 𝐹))
62	59, 61	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑓 = 𝐹))
63	62	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑓 = 𝐹)
64		opeq2 4817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ⟨𝑔, 𝑓⟩ = ⟨𝑔, 𝐹⟩)
65	64	breq2d 5097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ↔ 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩))
66		opeq2 4817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ⟨𝑒, 𝑓⟩ = ⟨𝑒, 𝐹⟩)
67	66	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
68	65, 67	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)))
69	68	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))
70		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩)
71		btwnexch3 36202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
72	30, 31, 32, 33, 50, 71	syl122anc 1382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
73	35, 70, 72	syl2ani 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩))
74	73	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩)
75		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)
77	30, 32, 33, 39, 40, 76	cgrcomand 36173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩)
78	54	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)
79		simprrr 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)
80	30, 33, 50, 40, 41, 79	cgrcomand 36173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)
81		brcgr3 36228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)))
82	30, 39, 40, 41, 32, 33, 50, 81	syl133anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)))
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝑒, 𝐹⟩)))
84	77, 78, 80, 83	mpbir3and 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)
85	74, 84	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
86	85	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝐹⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
87	69, 86	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑓 = 𝐹 ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
88	87	expcomd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑓 = 𝐹 → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))))
89	88	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑓 = 𝐹 → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
90	63, 89	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩))) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
91	90	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
92	26, 91	sylanb 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
93	92	an32s 653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
94	93	rexlimdva 3138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝑒, 𝑓⟩Cgr⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
95	22, 94	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩))) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
96	95	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
97	14, 96	sylanb 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
98	97	an32s 653	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
99	98	reximdva 3150	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))) → (∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝑔, 𝑒⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑒⟩Cgr⟨𝐴, 𝐵⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
100	13, 99	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
101	100	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
102	101	an32s 653	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) ∧ 𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
103	102	rexlimdva 3138	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → (∃𝑔 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐷 Btwn ⟨𝐹, 𝑔⟩ ∧ 𝐷 ≠ 𝑔) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))
104	5, 103	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩)) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩))
105	104	ex 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐷, 𝐹⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝐹⟩ ∧ ⟨𝐴, ⟨𝐵, 𝐶⟩⟩Cgr3⟨𝐷, ⟨𝑒, 𝐹⟩⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  ℕcn 12174  𝔼cee 28956   Btwn cbtwn 28957  Cgrccgr 28958  Cgr3ccgr3 36218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-ee 28959  df-btwn 28960  df-cgr 28961  df-ofs 36165  df-cgr3 36223

This theorem is referenced by:  btwnxfr  36238  lineext  36258  seglecgr12im  36292  segletr  36296