Theorem mdsl1i 32407

Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsl.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdsl1i	⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdsl1i

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
2		sseq1 3948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
3	1, 2	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
4		sseq1 3948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
5		oveq1 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∨ℋ 𝐴) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴))
6	5	ineq1d 4160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
7		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
8	6, 7	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
9	4, 8	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
10	3, 9	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
11	10	rspccv 3562	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
12		impexp 450	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) ↔ (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
13		impexp 450	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
14	12, 13	bitr2i 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))) ↔ ((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
15		inss2 4179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
16		mdsl.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
17		mdsl.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
18	16, 17	chincli 31546	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
19		chlub 31595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
20	18, 17, 19	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
21	20	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
22	15, 21	mpan2i 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
23	17, 16	chub2i 31556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
24		sstr 3931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
25	23, 24	mpan2 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
26	22, 25	syl6 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
27		chub2 31594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
28	18, 27	mpan 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
29	26, 28	jctild 525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
30		chjcl 31443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ )
31	18, 30	mpan2 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ )
32	29, 31	jctild 525	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
33	32, 22	jcad 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵)))
34		chjass 31619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
35	18, 16, 34	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
36	18, 16	chjcomi 31554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
37	16, 17	chabs1i 31604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐴
38	36, 37	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴
39	38	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ 𝐴)
40	35, 39	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = (𝑦 ∨ℋ 𝐴))
41	40	ineq1d 4160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
42		chjass 31619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
43	18, 18, 42	mp3an23 1456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
44	18	chjidmi 31607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐴 ∩ 𝐵)
45	44	oveq2i 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
46	43, 45	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
47	41, 46	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
48	47	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
49	33, 48	imim12d 81	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
50	14, 49	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))) → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
51	11, 50	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
52	51	ralrimiv 3129	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) → ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
53		mdbr 32380	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
54	16, 17, 53	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
55	52, 54	sylibr 234	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)
56		mdbr 32380	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
57	16, 17, 56	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
58		ax-1 6	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
59	58	ralimi 3075	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
60	57, 59	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
61	55, 60	impbii 209	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360   C_ℋ cch 31015   ∨_ℋ chj 31019   𝑀_ℋ cmd 31052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hvcom 31087  ax-hvass 31088  ax-hv0cl 31089  ax-hvaddid 31090  ax-hfvmul 31091  ax-hvmulid 31092  ax-hvmulass 31093  ax-hvdistr1 31094  ax-hvdistr2 31095  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his1 31168  ax-his2 31169  ax-his3 31170  ax-his4 31171  ax-hcompl 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-lm 23204  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cfil 25232  df-cau 25233  df-cmet 25234  df-grpo 30579  df-gid 30580  df-ginv 30581  df-gdiv 30582  df-ablo 30631  df-vc 30645  df-nv 30678  df-va 30681  df-ba 30682  df-sm 30683  df-0v 30684  df-vs 30685  df-nmcv 30686  df-ims 30687  df-dip 30787  df-ssp 30808  df-ph 30899  df-cbn 30949  df-hnorm 31054  df-hba 31055  df-hvsub 31057  df-hlim 31058  df-hcau 31059  df-sh 31293  df-ch 31307  df-oc 31338  df-ch0 31339  df-shs 31394  df-chj 31396  df-md 32366

This theorem is referenced by:  mdsl2i  32408  cvmdi  32410