Theorem mdsl1i 32969

Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsl.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdsl1i	⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdsl1i

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
2		sseq1 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
3	1, 2	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
4		sseq1 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
5		oveq1 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∨ℋ 𝐴) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴))
6	5	ineq1d 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
7		oveq1 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
8	6, 7	eqeq12d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
9	4, 8	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
10	3, 9	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
11	10	rspccv 3577	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
12		impexp 456	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) ↔ (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
13		impexp 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
14	12, 13	bitr2i 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))) ↔ ((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
15		inss2 4137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
16		mdsl.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
17		mdsl.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
18	16, 17	chincli 32108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
19		chlub 32157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
20	18, 17, 19	mp3an23 1483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
21	20	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
22	15, 21	mpan2i 710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
23	17, 16	chub2i 32118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
24		sstr 3921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
25	23, 24	mpan2 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
26	22, 25	syl6 36	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
27		chub2 32156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
28	18, 27	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
29	26, 28	jctild 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
30		chjcl 32005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ )
31	18, 30	mpan2 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ )
32	29, 31	jctild 535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
33	32, 22	jcad 522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵)))
34		chjass 32181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
35	18, 16, 34	mp3an23 1483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
36	18, 16	chjcomi 32116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
37	16, 17	chabs1i 32166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐴
38	36, 37	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴
39	38	oveq2i 7460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ 𝐴)
40	35, 39	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = (𝑦 ∨ℋ 𝐴))
41	40	ineq1d 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
42		chjass 32181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
43	18, 18, 42	mp3an23 1483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
44	18	chjidmi 32169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐴 ∩ 𝐵)
45	44	oveq2i 7460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
46	43, 45	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
47	41, 46	eqeq12d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
48	47	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
49	33, 48	imim12d 82	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
50	14, 49	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))) → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
51	11, 50	syl5com 32	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
52	51	ralrimiv 3157	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) → ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
53		mdbr 32942	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
54	16, 17, 53	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
55	52, 54	sylibr 237	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)
56		mdbr 32942	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
57	16, 17, 56	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
58		ax-1 6	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
59	58	ralimi 3103	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
60	57, 59	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
61	55, 60	impbii 212	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106  (class class class)co 7449   C_ℋ cch 31577   ∨_ℋ chj 31581   𝑀_ℋ cmd 31614

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cc 10550  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316  ax-mulf 11317  ax-hilex 31647  ax-hfvadd 31648  ax-hvcom 31649  ax-hvass 31650  ax-hv0cl 31651  ax-hvaddid 31652  ax-hfvmul 31653  ax-hvmulid 31654  ax-hvmulass 31655  ax-hvdistr1 31656  ax-hvdistr2 31657  ax-hvmul0 31658  ax-hfi 31727  ax-his1 31730  ax-his2 31731  ax-his3 31732  ax-his4 31733  ax-hcompl 31850

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-oadd 8516  df-omul 8517  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-acn 10058  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ioo 13518  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-pt 17656  df-prds 17659  df-xrs 17715  df-qtop 17720  df-imas 17721  df-xps 17723  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-submnd 19020  df-mulg 19319  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-fbas 21717  df-fg 21718  df-cnfld 21721  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-cld 23381  df-ntr 23382  df-cls 23383  df-nei 23460  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-lm 23591  df-haus 23677  df-tx 23925  df-hmeo 24118  df-fil 24209  df-fm 24301  df-flim 24302  df-flf 24303  df-xms 24683  df-ms 24684  df-tms 24685  df-cfil 25620  df-cau 25621  df-cmet 25622  df-grpo 31141  df-gid 31142  df-ginv 31143  df-gdiv 31144  df-ablo 31193  df-vc 31207  df-nv 31240  df-va 31243  df-ba 31244  df-sm 31245  df-0v 31246  df-vs 31247  df-nmcv 31248  df-ims 31249  df-dip 31349  df-ssp 31370  df-ph 31461  df-cbn 31511  df-hnorm 31616  df-hba 31617  df-hvsub 31619  df-hlim 31620  df-hcau 31621  df-sh 31855  df-ch 31869  df-oc 31900  df-ch0 31901  df-shs 31956  df-chj 31958  df-md 32928

This theorem is used by:  mdsl2i  32970  cvmdi  32972