HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsl1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsl1i 32340
Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsl.1 𝐴C
mdsl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
mdsl1i (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdsl1i
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 4010 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵))))
2 sseq1 4009 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
31, 2anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))))
4 sseq1 4009 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
5 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (𝑥 𝐴) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴))
65ineq1d 4219 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵))
7 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)))
86, 7eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))
94, 8imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → ((𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)))))
103, 9imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))))
1110rspccv 3619 . . . . 5 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C → (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))))
12 impexp 450 . . . . . . 7 (((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))) ↔ (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)))))
13 impexp 450 . . . . . . 7 ((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)))) ↔ ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C → (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))))
1412, 13bitr2i 276 . . . . . 6 (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C → (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))) ↔ ((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))
15 inss2 4238 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
16 mdsl.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴C
17 mdsl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵C
1816, 17chincli 31479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵) ∈ C
19 chlub 31528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C𝐵C ) → ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
2018, 17, 19mp3an23 1455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦C → ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
2120biimpd 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦C → ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
2215, 21mpan2i 697 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → (𝑦𝐵 → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
2317, 16chub2i 31489 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
24 sstr 3992 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))
2523, 24mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))
2622, 25syl6 35 . . . . . . . . . 10 (𝑦C → (𝑦𝐵 → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
27 chub2 31527 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∈ C𝑦C ) → (𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)))
2818, 27mpan 690 . . . . . . . . . 10 (𝑦C → (𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)))
2926, 28jctild 525 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (𝑦𝐵 → ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))))
30 chjcl 31376 . . . . . . . . . 10 ((𝑦C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ) → (𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C )
3118, 30mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C )
3229, 31jctild 525 . . . . . . . 8 (𝑦C → (𝑦𝐵 → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)))))
3332, 22jcad 512 . . . . . . 7 (𝑦C → (𝑦𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵)))
34 chjass 31552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C𝐴C ) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) = (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴)))
3518, 16, 34mp3an23 1455 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) = (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴)))
3618, 16chjcomi 31487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴𝐵))
3716, 17chabs1i 31537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 (𝐴𝐵)) = 𝐴
3836, 37eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐴
3938oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴)) = (𝑦 𝐴)
4035, 39eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑦C → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) = (𝑦 𝐴))
4140ineq1d 4219 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵))
42 chjass 31552 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
4318, 18, 42mp3an23 1455 . . . . . . . . . 10 (𝑦C → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
4418chjidmi 31540 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵)
4544oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵))) = (𝑦 (𝐴𝐵))
4643, 45eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑦C → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝑦 (𝐴𝐵)))
4741, 46eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 (𝑦C → ((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
4847biimpd 229 . . . . . . 7 (𝑦C → ((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
4933, 48imim12d 81 . . . . . 6 (𝑦C → (((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
5014, 49biimtrid 242 . . . . 5 (𝑦C → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C → (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))) → (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
5111, 50syl5com 31 . . . 4 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) → (𝑦C → (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
5251ralrimiv 3145 . . 3 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) → ∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
53 mdbr 32313 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
5416, 17, 53mp2an 692 . . 3 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
5552, 54sylibr 234 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) → 𝐴 𝑀 𝐵)
56 mdbr 32313 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
5716, 17, 56mp2an 692 . . 3 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
58 ax-1 6 . . . 4 ((𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
5958ralimi 3083 . . 3 (∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) → ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6057, 59sylbi 217 . 2 (𝐴 𝑀 𝐵 → ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6155, 60impbii 209 1 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431   C cch 30948   chj 30952   𝑀 cmd 30985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-chj 31329  df-md 32299
This theorem is referenced by:  mdsl2i  32341  cvmdi  32343
  Copyright terms: Public domain W3C validator