HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsl1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsl1i 31326
Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsl.1 𝐴C
mdsl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
mdsl1i (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdsl1i
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3973 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵))))
2 sseq1 3972 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
31, 2anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))))
4 sseq1 3972 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
5 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (𝑥 𝐴) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴))
65ineq1d 4176 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵))
7 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)))
86, 7eqeq12d 2747 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))
94, 8imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → ((𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)))))
103, 9imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))))
1110rspccv 3579 . . . . 5 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C → (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))))
12 impexp 451 . . . . . . 7 (((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))) ↔ (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)))))
13 impexp 451 . . . . . . 7 ((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)))) ↔ ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C → (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))))
1412, 13bitr2i 275 . . . . . 6 (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C → (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))) ↔ ((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))
15 inss2 4194 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
16 mdsl.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴C
17 mdsl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵C
1816, 17chincli 30465 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵) ∈ C
19 chlub 30514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C𝐵C ) → ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
2018, 17, 19mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦C → ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
2120biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦C → ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
2215, 21mpan2i 695 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → (𝑦𝐵 → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
2317, 16chub2i 30475 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
24 sstr 3955 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))
2523, 24mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))
2622, 25syl6 35 . . . . . . . . . 10 (𝑦C → (𝑦𝐵 → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
27 chub2 30513 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∈ C𝑦C ) → (𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)))
2818, 27mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝑦C → (𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)))
2926, 28jctild 526 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (𝑦𝐵 → ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))))
30 chjcl 30362 . . . . . . . . . 10 ((𝑦C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ) → (𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C )
3118, 30mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C )
3229, 31jctild 526 . . . . . . . 8 (𝑦C → (𝑦𝐵 → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)))))
3332, 22jcad 513 . . . . . . 7 (𝑦C → (𝑦𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵)))
34 chjass 30538 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C𝐴C ) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) = (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴)))
3518, 16, 34mp3an23 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) = (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴)))
3618, 16chjcomi 30473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴𝐵))
3716, 17chabs1i 30523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 (𝐴𝐵)) = 𝐴
3836, 37eqtri 2759 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐴
3938oveq2i 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴)) = (𝑦 𝐴)
4035, 39eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (𝑦C → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) = (𝑦 𝐴))
4140ineq1d 4176 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵))
42 chjass 30538 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
4318, 18, 42mp3an23 1453 . . . . . . . . . 10 (𝑦C → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
4418chjidmi 30526 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵)
4544oveq2i 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵))) = (𝑦 (𝐴𝐵))
4643, 45eqtrdi 2787 . . . . . . . . 9 (𝑦C → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝑦 (𝐴𝐵)))
4741, 46eqeq12d 2747 . . . . . . . 8 (𝑦C → ((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
4847biimpd 228 . . . . . . 7 (𝑦C → ((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
4933, 48imim12d 81 . . . . . 6 (𝑦C → (((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
5014, 49biimtrid 241 . . . . 5 (𝑦C → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C → (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))) → (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
5111, 50syl5com 31 . . . 4 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) → (𝑦C → (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
5251ralrimiv 3138 . . 3 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) → ∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
53 mdbr 31299 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
5416, 17, 53mp2an 690 . . 3 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
5552, 54sylibr 233 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) → 𝐴 𝑀 𝐵)
56 mdbr 31299 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
5716, 17, 56mp2an 690 . . 3 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
58 ax-1 6 . . . 4 ((𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
5958ralimi 3082 . . 3 (∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) → ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6057, 59sylbi 216 . 2 (𝐴 𝑀 𝐵 → ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6155, 60impbii 208 1 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  cin 3912  wss 3913   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362   C cch 29934   chj 29938   𝑀 cmd 29971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cc 10380  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140  ax-hilex 30004  ax-hfvadd 30005  ax-hvcom 30006  ax-hvass 30007  ax-hv0cl 30008  ax-hvaddid 30009  ax-hfvmul 30010  ax-hvmulid 30011  ax-hvmulass 30012  ax-hvdistr1 30013  ax-hvdistr2 30014  ax-hvmul0 30015  ax-hfi 30084  ax-his1 30087  ax-his2 30088  ax-his3 30089  ax-his4 30090  ax-hcompl 30207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-acn 9887  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-lm 22617  df-haus 22703  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cfil 24656  df-cau 24657  df-cmet 24658  df-grpo 29498  df-gid 29499  df-ginv 29500  df-gdiv 29501  df-ablo 29550  df-vc 29564  df-nv 29597  df-va 29600  df-ba 29601  df-sm 29602  df-0v 29603  df-vs 29604  df-nmcv 29605  df-ims 29606  df-dip 29706  df-ssp 29727  df-ph 29818  df-cbn 29868  df-hnorm 29973  df-hba 29974  df-hvsub 29976  df-hlim 29977  df-hcau 29978  df-sh 30212  df-ch 30226  df-oc 30257  df-ch0 30258  df-shs 30313  df-chj 30315  df-md 31285
This theorem is referenced by:  mdsl2i  31327  cvmdi  31329
  Copyright terms: Public domain W3C validator