Theorem goeqi 32755

Description: Godowski's equation, shown here as a variant equivalent to Equation SF of [Godowski] p. 730. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
goeq.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
goeq.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
goeq.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
goeq.4	⊢ 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
goeq.5	⊢ 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))
goeq.6	⊢ 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))
goeq.7	⊢ 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
goeqi	⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐷

Proof of Theorem goeqi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		goeq.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
2		goeq.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3	2	choccli 31789	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
4		goeq.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
5	2, 4	chincli 31942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
6	3, 5	chjcli 31939	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ
7	1, 6	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
8		goeq.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))
9	4	choccli 31789	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
10		goeq.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
11	4, 10	chincli 31942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ
12	9, 11	chjcli 31939	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ
13	8, 12	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
14	7, 13	chincli 31942	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ Cℋ
15		goeq.6	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))
16	10	choccli 31789	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐶) ∈ Cℋ
17	10, 2	chincli 31942	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ
18	16, 17	chjcli 31939	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴)) ∈ Cℋ
19	15, 18	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
20	14, 19	chincli 31942	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
21		goeq.7	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
22	4, 2	chincli 31942	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ
23	9, 22	chjcli 31939	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)) ∈ Cℋ
24	21, 23	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
25	20, 24	stri 32739	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ States ((𝑓‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) = 1 → (𝑓‘𝐷) = 1) → ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐷)
26		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))
27		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))
28	2, 4, 10, 1, 8, 15, 21, 26, 27	golem2 32754	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) = 1 → (𝑓‘𝐷) = 1))
29	25, 28	mprg 3082	1 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐷

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1c1 11126   C_ℋ cch 31411  ⊥cort 31412   ∨_ℋ chj 31415  Statescst 31444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cc 10438  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205  ax-hilex 31481  ax-hfvadd 31482  ax-hvcom 31483  ax-hvass 31484  ax-hv0cl 31485  ax-hvaddid 31486  ax-hfvmul 31487  ax-hvmulid 31488  ax-hvmulass 31489  ax-hvdistr1 31490  ax-hvdistr2 31491  ax-hvmul0 31492  ax-hfi 31561  ax-his1 31564  ax-his2 31565  ax-his3 31566  ax-his4 31567  ax-hcompl 31684

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-omul 8461  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-acn 9948  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-lm 23455  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cfil 25484  df-cau 25485  df-cmet 25486  df-grpo 30975  df-gid 30976  df-ginv 30977  df-gdiv 30978  df-ablo 31027  df-vc 31041  df-nv 31074  df-va 31077  df-ba 31078  df-sm 31079  df-0v 31080  df-vs 31081  df-nmcv 31082  df-ims 31083  df-dip 31183  df-ssp 31204  df-ph 31295  df-cbn 31345  df-hnorm 31450  df-hba 31451  df-hvsub 31453  df-hlim 31454  df-hcau 31455  df-sh 31689  df-ch 31703  df-oc 31734  df-ch0 31735  df-shs 31790  df-chj 31792  df-pjh 31877  df-st 32693

This theorem is used by: (None)