Theorem goeqi 32255

Description: Godowski's equation, shown here as a variant equivalent to Equation SF of [Godowski] p. 730. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
goeq.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
goeq.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
goeq.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
goeq.4	⊢ 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
goeq.5	⊢ 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))
goeq.6	⊢ 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))
goeq.7	⊢ 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
goeqi	⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐷

Proof of Theorem goeqi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		goeq.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
2		goeq.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3	2	choccli 31289	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
4		goeq.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
5	2, 4	chincli 31442	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
6	3, 5	chjcli 31439	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ
7	1, 6	eqeltri 2829	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
8		goeq.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))
9	4	choccli 31289	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
10		goeq.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
11	4, 10	chincli 31442	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ
12	9, 11	chjcli 31439	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ
13	8, 12	eqeltri 2829	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
14	7, 13	chincli 31442	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ Cℋ
15		goeq.6	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))
16	10	choccli 31289	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐶) ∈ Cℋ
17	10, 2	chincli 31442	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ
18	16, 17	chjcli 31439	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴)) ∈ Cℋ
19	15, 18	eqeltri 2829	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
20	14, 19	chincli 31442	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
21		goeq.7	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
22	4, 2	chincli 31442	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ
23	9, 22	chjcli 31439	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)) ∈ Cℋ
24	21, 23	eqeltri 2829	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
25	20, 24	stri 32239	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ States ((𝑓‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) = 1 → (𝑓‘𝐷) = 1) → ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐷)
26		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))
27		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))
28	2, 4, 10, 1, 8, 15, 21, 26, 27	golem2 32254	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) = 1 → (𝑓‘𝐷) = 1))
29	25, 28	mprg 3054	1 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐷

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  1c1 11014   C_ℋ cch 30911  ⊥cort 30912   ∨_ℋ chj 30915  Statescst 30944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cc 10333  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092  ax-mulf 11093  ax-hilex 30981  ax-hfvadd 30982  ax-hvcom 30983  ax-hvass 30984  ax-hv0cl 30985  ax-hvaddid 30986  ax-hfvmul 30987  ax-hvmulid 30988  ax-hvmulass 30989  ax-hvdistr1 30990  ax-hvdistr2 30991  ax-hvmul0 30992  ax-hfi 31061  ax-his1 31064  ax-his2 31065  ax-his3 31066  ax-his4 31067  ax-hcompl 31184

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-acn 9842  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-lm 23145  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cfil 25183  df-cau 25184  df-cmet 25185  df-grpo 30475  df-gid 30476  df-ginv 30477  df-gdiv 30478  df-ablo 30527  df-vc 30541  df-nv 30574  df-va 30577  df-ba 30578  df-sm 30579  df-0v 30580  df-vs 30581  df-nmcv 30582  df-ims 30583  df-dip 30683  df-ssp 30704  df-ph 30795  df-cbn 30845  df-hnorm 30950  df-hba 30951  df-hvsub 30953  df-hlim 30954  df-hcau 30955  df-sh 31189  df-ch 31203  df-oc 31234  df-ch0 31235  df-shs 31290  df-chj 31292  df-pjh 31377  df-st 32193

This theorem is referenced by: (None)