Theorem pjcmul1i 32683

Description: A necessary and sufficient condition for the product of two projectors to be a projector is that the projectors commute. Part 1 of Theorem 1 of [AkhiezerGlazman] p. 65. (Contributed by NM, 3-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjcmul1i	⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) ∈ ran projℎ)

Proof of Theorem pjcmul1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjclem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjclem4 32681	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
4		pjmfn 32197	. . . 4 ⊢ projℎ Fn Cℋ
5	1, 2	chincli 31942	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
6		fnfvelrn 7076	. . . 4 ⊢ ((projℎ Fn Cℋ ∧ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ Cℋ ) → (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) ∈ ran projℎ)
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . 3 ⊢ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) ∈ ran projℎ
8	3, 7	eqeltrdi 2870	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) ∈ ran projℎ)
9		pjadj2 32669	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) ∈ ran projℎ → (adjℎ‘((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))
10	1	pjbdlni 32631	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐺) ∈ BndLinOp
11	2	pjbdlni 32631	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐻) ∈ BndLinOp
12	10, 11	adjcoi 32582	. . . 4 ⊢ (adjℎ‘((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))) = ((adjℎ‘(projℎ‘𝐻)) ∘ (adjℎ‘(projℎ‘𝐺)))
13		pjadj3 32670	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (adjℎ‘(projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐻))
14	2, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (adjℎ‘(projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐻)
15		pjadj3 32670	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Cℋ → (adjℎ‘(projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
16	1, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (adjℎ‘(projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺)
17	14, 16	coeq12i 5847	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘(projℎ‘𝐻)) ∘ (adjℎ‘(projℎ‘𝐺))) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))
18	12, 17	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (adjℎ‘((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))
19	9, 18	eqtr3di 2812	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) ∈ ran projℎ → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))
20	8, 19	impbii 212	1 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) ∈ ran projℎ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901  ran crn 5660   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537   C_ℋ cch 31411  proj_ℎcpjh 31419  adj_ℎcado 31437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-dc 10451  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207  ax-hilex 31481  ax-hfvadd 31482  ax-hvcom 31483  ax-hvass 31484  ax-hv0cl 31485  ax-hvaddid 31486  ax-hfvmul 31487  ax-hvmulid 31488  ax-hvmulass 31489  ax-hvdistr1 31490  ax-hvdistr2 31491  ax-hvmul0 31492  ax-hfi 31561  ax-his1 31564  ax-his2 31565  ax-his3 31566  ax-his4 31567  ax-hcompl 31684

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-mulg 19195  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-psmet 21581  df-xmet 21582  df-met 21583  df-bl 21584  df-mopn 21585  df-fbas 21586  df-fg 21587  df-cnfld 21590  df-top 23123  df-topon 23140  df-topsp 23162  df-bases 23175  df-cld 23248  df-ntr 23249  df-cls 23250  df-nei 23327  df-cn 23456  df-cnp 23457  df-lm 23458  df-t1 23543  df-haus 23544  df-cmp 23616  df-tx 23792  df-hmeo 23985  df-fil 24076  df-fm 24168  df-flim 24169  df-flf 24170  df-fcls 24171  df-xms 24550  df-ms 24551  df-tms 24552  df-cncf 25110  df-cfil 25487  df-cau 25488  df-cmet 25489  df-grpo 30975  df-gid 30976  df-ginv 30977  df-gdiv 30978  df-ablo 31027  df-vc 31041  df-nv 31074  df-va 31077  df-ba 31078  df-sm 31079  df-0v 31080  df-vs 31081  df-nmcv 31082  df-ims 31083  df-dip 31183  df-ssp 31204  df-lno 31226  df-nmoo 31227  df-blo 31228  df-0o 31229  df-ph 31295  df-cbn 31345  df-hlo 31368  df-hnorm 31450  df-hba 31451  df-hvsub 31453  df-hlim 31454  df-hcau 31455  df-sh 31689  df-ch 31703  df-oc 31734  df-ch0 31735  df-shs 31790  df-pjh 31877  df-h0op 32230  df-iop 32231  df-nmop 32321  df-cnop 32322  df-lnop 32323  df-bdop 32324  df-unop 32325  df-hmop 32326  df-nmfn 32327  df-nlfn 32328  df-cnfn 32329  df-lnfn 32330  df-adjh 32331

This theorem is used by:  pjcmul2i  32684