Theorem pjcmul1i 32737

Description: A necessary and sufficient condition for the product of two projectors to be a projector is that the projectors commute. Part 1 of Theorem 1 of [AkhiezerGlazman] p. 65. (Contributed by NM, 3-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjcmul1i	⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) ∈ ran projℎ)

Proof of Theorem pjcmul1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjclem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjclem4 32735	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
4		pjmfn 32251	. . . 4 ⊢ projℎ Fn Cℋ
5	1, 2	chincli 31996	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
6		fnfvelrn 7068	. . . 4 ⊢ ((projℎ Fn Cℋ ∧ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ Cℋ ) → (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) ∈ ran projℎ)
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . 3 ⊢ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) ∈ ran projℎ
8	3, 7	eqeltrdi 2868	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) ∈ ran projℎ)
9		pjadj2 32723	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) ∈ ran projℎ → (adjℎ‘((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))
10	1	pjbdlni 32685	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐺) ∈ BndLinOp
11	2	pjbdlni 32685	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐻) ∈ BndLinOp
12	10, 11	adjcoi 32636	. . . 4 ⊢ (adjℎ‘((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))) = ((adjℎ‘(projℎ‘𝐻)) ∘ (adjℎ‘(projℎ‘𝐺)))
13		pjadj3 32724	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (adjℎ‘(projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐻))
14	2, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (adjℎ‘(projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘𝐻)
15		pjadj3 32724	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Cℋ → (adjℎ‘(projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
16	1, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (adjℎ‘(projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺)
17	14, 16	coeq12i 5837	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘(projℎ‘𝐻)) ∘ (adjℎ‘(projℎ‘𝐺))) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))
18	12, 17	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (adjℎ‘((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))
19	9, 18	eqtr3di 2810	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) ∈ ran projℎ → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))
20	8, 19	impbii 212	1 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) ∈ ran projℎ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3897  ran crn 5648   ∘ ccom 5651   Fn wfn 6522  ‘cfv 6527   C_ℋ cch 31465  proj_ℎcpjh 31473  adj_ℎcado 31491

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cc 10485  ax-dc 10496  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250  ax-addf 11251  ax-mulf 11252  ax-hilex 31535  ax-hfvadd 31536  ax-hvcom 31537  ax-hvass 31538  ax-hv0cl 31539  ax-hvaddid 31540  ax-hfvmul 31541  ax-hvmulid 31542  ax-hvmulass 31543  ax-hvdistr1 31544  ax-hvdistr2 31545  ax-hvmul0 31546  ax-hfi 31615  ax-his1 31618  ax-his2 31619  ax-his3 31620  ax-his4 31621  ax-hcompl 31738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9992  df-acn 9995  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-xneg 13211  df-xadd 13212  df-xmul 13213  df-ioo 13450  df-ico 13452  df-icc 13453  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-seq 14114  df-exp 14174  df-hash 14443  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-clim 15623  df-rlim 15624  df-sum 15822  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-hom 17414  df-cco 17415  df-rest 17555  df-topn 17556  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-topgen 17576  df-pt 17577  df-prds 17580  df-xrs 17636  df-qtop 17641  df-imas 17642  df-xps 17644  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-mulg 19240  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-psmet 21632  df-xmet 21633  df-met 21634  df-bl 21635  df-mopn 21636  df-fbas 21637  df-fg 21638  df-cnfld 21641  df-top 23174  df-topon 23191  df-topsp 23213  df-bases 23226  df-cld 23299  df-ntr 23300  df-cls 23301  df-nei 23378  df-cn 23507  df-cnp 23508  df-lm 23509  df-t1 23594  df-haus 23595  df-cmp 23667  df-tx 23843  df-hmeo 24036  df-fil 24127  df-fm 24219  df-flim 24220  df-flf 24221  df-fcls 24222  df-xms 24601  df-ms 24602  df-tms 24603  df-cncf 25161  df-cfil 25538  df-cau 25539  df-cmet 25540  df-grpo 31029  df-gid 31030  df-ginv 31031  df-gdiv 31032  df-ablo 31081  df-vc 31095  df-nv 31128  df-va 31131  df-ba 31132  df-sm 31133  df-0v 31134  df-vs 31135  df-nmcv 31136  df-ims 31137  df-dip 31237  df-ssp 31258  df-lno 31280  df-nmoo 31281  df-blo 31282  df-0o 31283  df-ph 31349  df-cbn 31399  df-hlo 31422  df-hnorm 31504  df-hba 31505  df-hvsub 31507  df-hlim 31508  df-hcau 31509  df-sh 31743  df-ch 31757  df-oc 31788  df-ch0 31789  df-shs 31844  df-pjh 31931  df-h0op 32284  df-iop 32285  df-nmop 32375  df-cnop 32376  df-lnop 32377  df-bdop 32378  df-unop 32379  df-hmop 32380  df-nmfn 32381  df-nlfn 32382  df-cnfn 32383  df-lnfn 32384  df-adjh 32385

This theorem is used by:  pjcmul2i  32738