HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjssdif1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjssdif1i 31159
Description: A necessary and sufficient condition for the difference between two projectors to be a projector. Part 1 of Theorem 29.3 of [Halmos] p. 48 (shortened with pjssposi 31156). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 ๐บ โˆˆ Cโ„‹
pjco.2 ๐ป โˆˆ Cโ„‹
Assertion
Ref Expression
pjssdif1i (๐บ โŠ† ๐ป โ†” ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆˆ ran projโ„Ž)

Proof of Theorem pjssdif1i
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjco.1 . . 3 ๐บ โˆˆ Cโ„‹
2 pjco.2 . . 3 ๐ป โˆˆ Cโ„‹
31, 2pjssdif2i 31158 . 2 (๐บ โŠ† ๐ป โ†” ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) = (projโ„Žโ€˜(๐ป โˆฉ (โŠฅโ€˜๐บ))))
4 pjmfn 30699 . . . . 5 projโ„Ž Fn Cโ„‹
51choccli 30291 . . . . . 6 (โŠฅโ€˜๐บ) โˆˆ Cโ„‹
62, 5chincli 30444 . . . . 5 (๐ป โˆฉ (โŠฅโ€˜๐บ)) โˆˆ Cโ„‹
7 fnfvelrn 7036 . . . . 5 ((projโ„Ž Fn Cโ„‹ โˆง (๐ป โˆฉ (โŠฅโ€˜๐บ)) โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ (projโ„Žโ€˜(๐ป โˆฉ (โŠฅโ€˜๐บ))) โˆˆ ran projโ„Ž)
84, 6, 7mp2an 691 . . . 4 (projโ„Žโ€˜(๐ป โˆฉ (โŠฅโ€˜๐บ))) โˆˆ ran projโ„Ž
9 eleq1 2826 . . . 4 (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) = (projโ„Žโ€˜(๐ป โˆฉ (โŠฅโ€˜๐บ))) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆˆ ran projโ„Ž โ†” (projโ„Žโ€˜(๐ป โˆฉ (โŠฅโ€˜๐บ))) โˆˆ ran projโ„Ž))
108, 9mpbiri 258 . . 3 (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) = (projโ„Žโ€˜(๐ป โˆฉ (โŠฅโ€˜๐บ))) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆˆ ran projโ„Ž)
11 fvelrnb 6908 . . . . . 6 (projโ„Ž Fn Cโ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆˆ ran projโ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ (projโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))))
124, 11ax-mp 5 . . . . 5 (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆˆ ran projโ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ (projโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)))
13 pjige0 30675 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ 0 โ‰ค (((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ))
1413adantlr 714 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆง (projโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ 0 โ‰ค (((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ))
15 fveq1 6846 . . . . . . . . . . 11 ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ฆ) = (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฆ))
1615oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ))
1716breq2d 5122 . . . . . . . . 9 ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โ†’ (0 โ‰ค (((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” 0 โ‰ค ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ)))
1817ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆง (projโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (0 โ‰ค (((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” 0 โ‰ค ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ)))
1914, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆง (projโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ 0 โ‰ค ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ))
2019ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆง (projโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ))
2120rexlimiva 3145 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ (projโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ))
2212, 21sylbi 216 . . . 4 (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆˆ ran projโ„Ž โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ))
231, 2pjssposi 31156 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ๐บ โŠ† ๐ป)
2423, 3bitri 275 . . . 4 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฆ) ยทih ๐‘ฆ) โ†” ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) = (projโ„Žโ€˜(๐ป โˆฉ (โŠฅโ€˜๐บ))))
2522, 24sylib 217 . . 3 (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆˆ ran projโ„Ž โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) = (projโ„Žโ€˜(๐ป โˆฉ (โŠฅโ€˜๐บ))))
2610, 25impbii 208 . 2 (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) = (projโ„Žโ€˜(๐ป โˆฉ (โŠฅโ€˜๐บ))) โ†” ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆˆ ran projโ„Ž)
273, 26bitri 275 1 (๐บ โŠ† ๐ป โ†” ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ’op (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆˆ ran projโ„Ž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074   โˆฉ cin 3914   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  ran crn 5639   Fn wfn 6496  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058   โ‰ค cle 11197   โ„‹chba 29903   ยทih csp 29906   Cโ„‹ cch 29913  โŠฅcort 29914  projโ„Žcpjh 29921   โˆ’op chod 29924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-shs 30292  df-pjh 30379  df-hodif 30716
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator