Theorem pjssdif1i 32267

Description: A necessary and sufficient condition for the difference between two projectors to be a projector. Part 1 of Theorem 29.3 of [Halmos] p. 48 (shortened with pjssposi 32264). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjssdif1i	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ)

Proof of Theorem pjssdif1i

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.1	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjco.2	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjssdif2i 32266	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
4		pjmfn 31807	. . . . 5 ⊢ projℎ Fn Cℋ
5	1	choccli 31399	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
6	2, 5	chincli 31552	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ∈ Cℋ
7		fnfvelrn 7030	. . . . 5 ⊢ ((projℎ Fn Cℋ ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ∈ Cℋ ) → (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∈ ran projℎ)
8	4, 6, 7	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∈ ran projℎ
9		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ ↔ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∈ ran projℎ))
10	8, 9	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ)
11		fvelrnb 6898	. . . . . 6 ⊢ (projℎ Fn Cℋ → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ ↔ ∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ ↔ ∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)))
13		pjige0 31783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦))
14	13	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦))
15		fveq1 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑦) = (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦))
16	15	oveq1d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) → (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦) = ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
17	16	breq2d 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) → (0 ≤ (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦) ↔ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦)))
18	17	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦) ↔ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦)))
19	14, 18	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
20	19	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))) → ∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
21	20	rexlimiva 3131	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) → ∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
22	12, 21	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ → ∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
23	1, 2	pjssposi 32264	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)
24	23, 3	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦) ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
25	22, 24	sylib 218	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ → ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
26	10, 25	impbii 209	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ)
27	3, 26	bitri 275	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ran crn 5629   Fn wfn 6491  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  0cc0 11035   ≤ cle 11177   ℋchba 31011   ·_ih csp 31014   C_ℋ cch 31021  ⊥cort 31022  proj_ℎcpjh 31029   −_op chod 31032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-inf2 9559  ax-cc 10354  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113  ax-addf 11114  ax-mulf 11115  ax-hilex 31091  ax-hfvadd 31092  ax-hvcom 31093  ax-hvass 31094  ax-hv0cl 31095  ax-hvaddid 31096  ax-hfvmul 31097  ax-hvmulid 31098  ax-hvmulass 31099  ax-hvdistr1 31100  ax-hvdistr2 31101  ax-hvmul0 31102  ax-hfi 31171  ax-his1 31174  ax-his2 31175  ax-his3 31176  ax-his4 31177  ax-hcompl 31294

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9860  df-acn 9863  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-q 12896  df-rp 12940  df-xneg 13060  df-xadd 13061  df-xmul 13062  df-ioo 13299  df-ico 13301  df-icc 13302  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-fl 13748  df-seq 13961  df-exp 14021  df-hash 14290  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-sqrt 15194  df-abs 15195  df-clim 15447  df-rlim 15448  df-sum 15646  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-starv 17232  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-ip 17235  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-unif 17240  df-hom 17241  df-cco 17242  df-rest 17382  df-topn 17383  df-0g 17401  df-gsum 17402  df-topgen 17403  df-pt 17404  df-prds 17407  df-xrs 17463  df-qtop 17468  df-imas 17469  df-xps 17471  df-mre 17545  df-mrc 17546  df-acs 17548  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18749  df-mulg 19041  df-cntz 19289  df-cmn 19754  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-cnfld 21351  df-top 22875  df-topon 22892  df-topsp 22914  df-bases 22927  df-cld 23000  df-ntr 23001  df-cls 23002  df-nei 23079  df-cn 23208  df-cnp 23209  df-lm 23210  df-haus 23296  df-tx 23543  df-hmeo 23736  df-fil 23827  df-fm 23919  df-flim 23920  df-flf 23921  df-xms 24301  df-ms 24302  df-tms 24303  df-cfil 25238  df-cau 25239  df-cmet 25240  df-grpo 30585  df-gid 30586  df-ginv 30587  df-gdiv 30588  df-ablo 30637  df-vc 30651  df-nv 30684  df-va 30687  df-ba 30688  df-sm 30689  df-0v 30690  df-vs 30691  df-nmcv 30692  df-ims 30693  df-dip 30793  df-ssp 30814  df-ph 30905  df-cbn 30955  df-hnorm 31060  df-hba 31061  df-hvsub 31063  df-hlim 31064  df-hcau 31065  df-sh 31299  df-ch 31313  df-oc 31344  df-ch0 31345  df-shs 31400  df-pjh 31487  df-hodif 31824

This theorem is referenced by: (None)