Theorem pjssdif1i 32313

Description: A necessary and sufficient condition for the difference between two projectors to be a projector. Part 1 of Theorem 29.3 of [Halmos] p. 48 (shortened with pjssposi 32310). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjssdif1i	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ)

Proof of Theorem pjssdif1i

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.1	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjco.2	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjssdif2i 32312	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
4		pjmfn 31853	. . . . 5 ⊢ projℎ Fn Cℋ
5	1	choccli 31445	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
6	2, 5	chincli 31598	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ∈ Cℋ
7		fnfvelrn 7046	. . . . 5 ⊢ ((projℎ Fn Cℋ ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ∈ Cℋ ) → (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∈ ran projℎ)
8	4, 6, 7	mp2an 700	. . . 4 ⊢ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∈ ran projℎ
9		eleq1 2840	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ ↔ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∈ ran projℎ))
10	8, 9	mpbiri 260	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ)
11		fvelrnb 6912	. . . . . 6 ⊢ (projℎ Fn Cℋ → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ ↔ ∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ ↔ ∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)))
13		pjige0 31829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦))
14	13	adantlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦))
15		fveq1 6851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑦) = (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦))
16	15	oveq1d 7396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) → (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦) = ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
17	16	breq2d 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) → (0 ≤ (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦) ↔ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦)))
18	17	ad2antlr 735	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦) ↔ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦)))
19	14, 18	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
20	19	ralrimiva 3144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))) → ∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
21	20	rexlimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) → ∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
22	12, 21	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ → ∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
23	1, 2	pjssposi 32310	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)
24	23, 3	bitri 277	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦) ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
25	22, 24	sylib 220	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ → ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
26	10, 25	impbii 211	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ)
27	3, 26	bitri 277	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∀wral 3066  ∃wrex 3076   ∩ cin 3894   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5090  ran crn 5637   Fn wfn 6501  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  0cc0 11059   ≤ cle 11203   ℋchba 31057   ·_ih csp 31060   C_ℋ cch 31067  ⊥cort 31068  proj_ℎcpjh 31075   −_op chod 31078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582  ax-cc 10378  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139  ax-hilex 31137  ax-hfvadd 31138  ax-hvcom 31139  ax-hvass 31140  ax-hv0cl 31141  ax-hvaddid 31142  ax-hfvmul 31143  ax-hvmulid 31144  ax-hvmulass 31145  ax-hvdistr1 31146  ax-hvdistr2 31147  ax-hvmul0 31148  ax-hfi 31217  ax-his1 31220  ax-his2 31221  ax-his3 31222  ax-his4 31223  ax-hcompl 31340

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-oadd 8425  df-omul 8426  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9444  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-xneg 13100  df-xadd 13101  df-xmul 13102  df-ioo 13339  df-ico 13341  df-icc 13342  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-fl 13788  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14330  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-clim 15487  df-rlim 15488  df-sum 15686  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17504  df-qtop 17509  df-imas 17510  df-xps 17512  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-submnd 18790  df-mulg 19082  df-cntz 19329  df-cmn 19794  df-psmet 21385  df-xmet 21386  df-met 21387  df-bl 21388  df-mopn 21389  df-fbas 21390  df-fg 21391  df-cnfld 21394  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22975  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-lm 23258  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24349  df-ms 24350  df-tms 24351  df-cfil 25286  df-cau 25287  df-cmet 25288  df-grpo 30631  df-gid 30632  df-ginv 30633  df-gdiv 30634  df-ablo 30683  df-vc 30697  df-nv 30730  df-va 30733  df-ba 30734  df-sm 30735  df-0v 30736  df-vs 30737  df-nmcv 30738  df-ims 30739  df-dip 30839  df-ssp 30860  df-ph 30951  df-cbn 31001  df-hnorm 31106  df-hba 31107  df-hvsub 31109  df-hlim 31110  df-hcau 31111  df-sh 31345  df-ch 31359  df-oc 31390  df-ch0 31391  df-shs 31446  df-pjh 31533  df-hodif 31870

This theorem is referenced by: (None)