Theorem pjssdif1i 32231

Description: A necessary and sufficient condition for the difference between two projectors to be a projector. Part 1 of Theorem 29.3 of [Halmos] p. 48 (shortened with pjssposi 32228). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjssdif1i	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ)

Proof of Theorem pjssdif1i

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.1	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjco.2	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjssdif2i 32230	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
4		pjmfn 31771	. . . . 5 ⊢ projℎ Fn Cℋ
5	1	choccli 31363	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
6	2, 5	chincli 31516	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ∈ Cℋ
7		fnfvelrn 7025	. . . . 5 ⊢ ((projℎ Fn Cℋ ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ∈ Cℋ ) → (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∈ ran projℎ)
8	4, 6, 7	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∈ ran projℎ
9		eleq1 2823	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ ↔ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∈ ran projℎ))
10	8, 9	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ)
11		fvelrnb 6893	. . . . . 6 ⊢ (projℎ Fn Cℋ → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ ↔ ∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ ↔ ∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)))
13		pjige0 31747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦))
14	13	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦))
15		fveq1 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑦) = (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦))
16	15	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) → (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦) = ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
17	16	breq2d 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) → (0 ≤ (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦) ↔ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦)))
18	17	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (0 ≤ (((projℎ‘𝑥)‘𝑦) ·ih 𝑦) ↔ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦)))
19	14, 18	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
20	19	ralrimiva 3127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))) → ∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
21	20	rexlimiva 3128	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) → ∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
22	12, 21	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ → ∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦))
23	1, 2	pjssposi 32228	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)
24	23, 3	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑦) ·ih 𝑦) ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
25	22, 24	sylib 218	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ → ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
26	10, 25	impbii 209	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ)
27	3, 26	bitri 275	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) ∈ ran projℎ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5097  ran crn 5624   Fn wfn 6486  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028   ≤ cle 11169   ℋchba 30975   ·_ih csp 30978   C_ℋ cch 30985  ⊥cort 30986  proj_ℎcpjh 30993   −_op chod 30996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cc 10347  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108  ax-hilex 31055  ax-hfvadd 31056  ax-hvcom 31057  ax-hvass 31058  ax-hv0cl 31059  ax-hvaddid 31060  ax-hfvmul 31061  ax-hvmulid 31062  ax-hvmulass 31063  ax-hvdistr1 31064  ax-hvdistr2 31065  ax-hvmul0 31066  ax-hfi 31135  ax-his1 31138  ax-his2 31139  ax-his3 31140  ax-his4 31141  ax-hcompl 31258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-acn 9856  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-lm 23175  df-haus 23261  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cfil 25213  df-cau 25214  df-cmet 25215  df-grpo 30549  df-gid 30550  df-ginv 30551  df-gdiv 30552  df-ablo 30601  df-vc 30615  df-nv 30648  df-va 30651  df-ba 30652  df-sm 30653  df-0v 30654  df-vs 30655  df-nmcv 30656  df-ims 30657  df-dip 30757  df-ssp 30778  df-ph 30869  df-cbn 30919  df-hnorm 31024  df-hba 31025  df-hvsub 31027  df-hlim 31028  df-hcau 31029  df-sh 31263  df-ch 31277  df-oc 31308  df-ch0 31309  df-shs 31364  df-pjh 31451  df-hodif 31788

This theorem is referenced by: (None)