Theorem jpi 32480

Description: The function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a Jauch-Piron state. Remark in [Mayet] p. 370. (See strlem3a 32462 for the proof that 𝑆 is a state.) (Contributed by NM, 8-Apr-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
jp.1	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
jp.2	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
jp.3	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
jpi	⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (((𝑆‘𝐴) = 1 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) ↔ (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢)   𝐵(𝑢)   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem jpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3921	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵))
2		jp.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
3		jp.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
4	2, 3	jplem2 32479	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↔ (𝑆‘𝐴) = 1))
5		jp.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
6	2, 5	jplem2 32479	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑢 ∈ 𝐵 ↔ (𝑆‘𝐵) = 1))
7	4, 6	anbi12d 641	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑆‘𝐴) = 1 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1)))
8	1, 7	bitrid 285	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑢 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ((𝑆‘𝐴) = 1 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1)))
9	3, 5	chincli 31670	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
10	2, 9	jplem2 32479	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑢 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 1))
11	8, 10	bitr3d 283	1 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (((𝑆‘𝐴) = 1 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) ↔ (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904   ↦ cmpt 5182  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1c1 11085  2c2 12282  ↑cexp 14084   ℋchba 31129  norm_ℎcno 31133   C_ℋ cch 31139  proj_ℎcpjh 31147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594  ax-cc 10403  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162  ax-addf 11163  ax-mulf 11164  ax-hilex 31209  ax-hfvadd 31210  ax-hvcom 31211  ax-hvass 31212  ax-hv0cl 31213  ax-hvaddid 31214  ax-hfvmul 31215  ax-hvmulid 31216  ax-hvmulass 31217  ax-hvdistr1 31218  ax-hvdistr2 31219  ax-hvmul0 31220  ax-hfi 31289  ax-his1 31292  ax-his2 31293  ax-his3 31294  ax-his4 31295  ax-hcompl 31412

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9456  df-card 9909  df-acn 9912  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13812  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-hom 17320  df-cco 17321  df-rest 17461  df-topn 17462  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-topgen 17482  df-pt 17483  df-prds 17486  df-xrs 17542  df-qtop 17547  df-imas 17548  df-xps 17550  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-submnd 18828  df-mulg 19120  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-met 21425  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-fbas 21428  df-fg 21429  df-cnfld 21432  df-top 22961  df-topon 22978  df-topsp 23000  df-bases 23013  df-cld 23086  df-ntr 23087  df-cls 23088  df-nei 23165  df-cn 23294  df-cnp 23295  df-lm 23296  df-haus 23382  df-tx 23629  df-hmeo 23822  df-fil 23913  df-fm 24005  df-flim 24006  df-flf 24007  df-xms 24387  df-ms 24388  df-tms 24389  df-cfil 25324  df-cau 25325  df-cmet 25326  df-grpo 30703  df-gid 30704  df-ginv 30705  df-gdiv 30706  df-ablo 30755  df-vc 30769  df-nv 30802  df-va 30805  df-ba 30806  df-sm 30807  df-0v 30808  df-vs 30809  df-nmcv 30810  df-ims 30811  df-dip 30911  df-ssp 30932  df-ph 31023  df-cbn 31073  df-hnorm 31178  df-hba 31179  df-hvsub 31181  df-hlim 31182  df-hcau 31183  df-sh 31417  df-ch 31431  df-oc 31462  df-ch0 31463  df-shs 31518  df-pjh 31605

This theorem is referenced by: (None)