HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cvmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmdi 29660
Description: The covering property implies the modular pair property. Lemma 7.5.1 of [MaedaMaeda] p. 31. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsl.1 𝐴C
mdsl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
cvmdi ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 𝑀 𝐵)

Proof of Theorem cvmdi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 460 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵)))
2 mdsl.2 . . . . . . . . . 10 𝐵C
3 mdsl.1 . . . . . . . . . 10 𝐴C
42, 3chub2i 28806 . . . . . . . . 9 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
5 sstr 3771 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
64, 5mpan2 682 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
76pm4.71ri 556 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵))
87anbi2i 616 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵)))
91, 8bitr4i 269 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵))
103, 2chincli 28796 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ∈ C
11 cvnbtwn4 29625 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ C𝐵C𝑥C ) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 = (𝐴𝐵) ∨ 𝑥 = 𝐵))))
1210, 2, 11mp3an12 1575 . . . . . . 7 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 = (𝐴𝐵) ∨ 𝑥 = 𝐵))))
1312impcom 396 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝑥C ) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 = (𝐴𝐵) ∨ 𝑥 = 𝐵)))
1410, 3chjcomi 28804 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴𝐵))
153, 2chabs1i 28854 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 (𝐴𝐵)) = 𝐴
1614, 15eqtri 2787 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐴
1716ineq1i 3974 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵)
1810chjidmi 28857 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵)
1917, 18eqtr4i 2790 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵))
20 oveq1 6853 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴𝐵) → (𝑥 𝐴) = ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴))
2120ineq1d 3977 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵))
22 oveq1 6853 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵)))
2319, 21, 223eqtr4a 2825 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐴𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
24 incom 3969 . . . . . . . . 9 ((𝐵 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴))
252, 3chabs2i 28855 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵
262, 3chabs1i 28854 . . . . . . . . . 10 (𝐵 (𝐵𝐴)) = 𝐵
27 incom 3969 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
2827oveq2i 6857 . . . . . . . . . 10 (𝐵 (𝐵𝐴)) = (𝐵 (𝐴𝐵))
2925, 26, 283eqtr2i 2793 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴)) = (𝐵 (𝐴𝐵))
3024, 29eqtri 2787 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 (𝐴𝐵))
31 oveq1 6853 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 𝐴) = (𝐵 𝐴))
3231ineq1d 3977 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐵 𝐴) ∩ 𝐵))
33 oveq1 6853 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 (𝐴𝐵)) = (𝐵 (𝐴𝐵)))
3430, 32, 333eqtr4a 2825 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
3523, 34jaoi 883 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝐴𝐵) ∨ 𝑥 = 𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
3613, 35syl6 35 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝑥C ) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
379, 36syl5bi 233 . . . 4 (((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝑥C ) → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
3837exp4b 421 . . 3 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (𝑥C → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))))
3938ralrimiv 3112 . 2 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
403, 2mdsl1i 29657 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀 𝐵)
4139, 40sylib 209 1 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 𝑀 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  cin 3733  wss 3734   class class class wbr 4811  (class class class)co 6846   C cch 28263   chj 28267   ccv 28298   𝑀 cmd 28300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cc 9514  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273  ax-hilex 28333  ax-hfvadd 28334  ax-hvcom 28335  ax-hvass 28336  ax-hv0cl 28337  ax-hvaddid 28338  ax-hfvmul 28339  ax-hvmulid 28340  ax-hvmulass 28341  ax-hvdistr1 28342  ax-hvdistr2 28343  ax-hvmul0 28344  ax-hfi 28413  ax-his1 28416  ax-his2 28417  ax-his3 28418  ax-his4 28419  ax-hcompl 28536
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-omul 7773  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-acn 9023  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-mulg 17822  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-fbas 20030  df-fg 20031  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-lm 21327  df-haus 21413  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-fil 21943  df-fm 22035  df-flim 22036  df-flf 22037  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-cfil 23346  df-cau 23347  df-cmet 23348  df-grpo 27825  df-gid 27826  df-ginv 27827  df-gdiv 27828  df-ablo 27877  df-vc 27891  df-nv 27924  df-va 27927  df-ba 27928  df-sm 27929  df-0v 27930  df-vs 27931  df-nmcv 27932  df-ims 27933  df-dip 28033  df-ssp 28054  df-ph 28145  df-cbn 28196  df-hnorm 28302  df-hba 28303  df-hvsub 28305  df-hlim 28306  df-hcau 28307  df-sh 28541  df-ch 28555  df-oc 28586  df-ch0 28587  df-shs 28644  df-chj 28646  df-cv 29615  df-md 29616
This theorem is referenced by:  cvmd  29672
  Copyright terms: Public domain W3C validator