Theorem cvmdi 32260

Description: The covering property implies the modular pair property. Lemma 7.5.1 of [MaedaMaeda] p. 31. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsl.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
cvmdi	⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)

Proof of Theorem cvmdi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 468	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
2		mdsl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3		mdsl.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
4	2, 3	chub2i 31406	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
5		sstr 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
6	4, 5	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
7	6	pm4.71ri 560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
8	7	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
9	1, 8	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
10	3, 2	chincli 31396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
11		cvnbtwn4 32225	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∨ 𝑥 = 𝐵))))
12	10, 2, 11	mp3an12 1453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∨ 𝑥 = 𝐵))))
13	12	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∨ 𝑥 = 𝐵)))
14	10, 3	chjcomi 31404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
15	3, 2	chabs1i 31454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐴
16	14, 15	eqtri 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴
17	16	ineq1i 4182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)
18	10	chjidmi 31457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐴 ∩ 𝐵)
19	17, 18	eqtr4i 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
20		oveq1 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ 𝐴) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
21	20	ineq1d 4185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
22		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
23	19, 21, 22	3eqtr4a 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
24		incom 4175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
25	2, 3	chabs2i 31455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐵
26	2, 3	chabs1i 31454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)) = 𝐵
27		incom 4175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
28	27	oveq2i 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)) = (𝐵 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
29	25, 26, 28	3eqtr2i 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = (𝐵 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
30	24, 29	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
31		oveq1 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∨ℋ 𝐴) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
32	31	ineq1d 4185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
33		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐵 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
34	30, 32, 33	3eqtr4a 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
35	23, 34	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∨ 𝑥 = 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
36	13, 35	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
37	9, 36	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
38	37	exp4b 430	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → (𝑥 ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
39	38	ralrimiv 3125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
40	3, 2	mdsl1i 32257	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)
41	39, 40	sylib 218	1 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390   C_ℋ cch 30865   ∨_ℋ chj 30869   ⋖_ℋ ccv 30900   𝑀_ℋ cmd 30902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021  ax-hcompl 31138

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-lm 23123  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cfil 25162  df-cau 25163  df-cmet 25164  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-dip 30637  df-ssp 30658  df-ph 30749  df-cbn 30799  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-hcau 30909  df-sh 31143  df-ch 31157  df-oc 31188  df-ch0 31189  df-shs 31244  df-chj 31246  df-cv 32215  df-md 32216

This theorem is referenced by:  cvmd  32272