HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cvmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmdi 30271
Description: The covering property implies the modular pair property. Lemma 7.5.1 of [MaedaMaeda] p. 31. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsl.1 𝐴C
mdsl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
cvmdi ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 𝑀 𝐵)

Proof of Theorem cvmdi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 472 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵)))
2 mdsl.2 . . . . . . . . . 10 𝐵C
3 mdsl.1 . . . . . . . . . 10 𝐴C
42, 3chub2i 29417 . . . . . . . . 9 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
5 sstr 3895 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
64, 5mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
76pm4.71ri 564 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵))
87anbi2i 626 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵)))
91, 8bitr4i 281 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵))
103, 2chincli 29407 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ∈ C
11 cvnbtwn4 30236 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ C𝐵C𝑥C ) → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 = (𝐴𝐵) ∨ 𝑥 = 𝐵))))
1210, 2, 11mp3an12 1452 . . . . . . 7 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 = (𝐴𝐵) ∨ 𝑥 = 𝐵))))
1312impcom 411 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝑥C ) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 = (𝐴𝐵) ∨ 𝑥 = 𝐵)))
1410, 3chjcomi 29415 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴𝐵))
153, 2chabs1i 29465 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 (𝐴𝐵)) = 𝐴
1614, 15eqtri 2762 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐴
1716ineq1i 4109 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵)
1810chjidmi 29468 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵)
1917, 18eqtr4i 2765 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵))
20 oveq1 7189 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴𝐵) → (𝑥 𝐴) = ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴))
2120ineq1d 4112 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵))
22 oveq1 7189 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵)))
2319, 21, 223eqtr4a 2800 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐴𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
24 incom 4101 . . . . . . . . 9 ((𝐵 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴))
252, 3chabs2i 29466 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵
262, 3chabs1i 29465 . . . . . . . . . 10 (𝐵 (𝐵𝐴)) = 𝐵
27 incom 4101 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
2827oveq2i 7193 . . . . . . . . . 10 (𝐵 (𝐵𝐴)) = (𝐵 (𝐴𝐵))
2925, 26, 283eqtr2i 2768 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴)) = (𝐵 (𝐴𝐵))
3024, 29eqtri 2762 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 (𝐴𝐵))
31 oveq1 7189 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 𝐴) = (𝐵 𝐴))
3231ineq1d 4112 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐵 𝐴) ∩ 𝐵))
33 oveq1 7189 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 (𝐴𝐵)) = (𝐵 (𝐴𝐵)))
3430, 32, 333eqtr4a 2800 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
3523, 34jaoi 856 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝐴𝐵) ∨ 𝑥 = 𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
3613, 35syl6 35 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝑥C ) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
379, 36syl5bi 245 . . . 4 (((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝑥C ) → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
3837exp4b 434 . . 3 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → (𝑥C → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))))
3938ralrimiv 3096 . 2 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵 → ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
403, 2mdsl1i 30268 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀 𝐵)
4139, 40sylib 221 1 ((𝐴𝐵) ⋖ 𝐵𝐴 𝑀 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  cin 3852  wss 3853   class class class wbr 5040  (class class class)co 7182   C cch 28876   chj 28880   ccv 28911   𝑀 cmd 28913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cc 9947  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705  ax-addf 10706  ax-mulf 10707  ax-hilex 28946  ax-hfvadd 28947  ax-hvcom 28948  ax-hvass 28949  ax-hv0cl 28950  ax-hvaddid 28951  ax-hfvmul 28952  ax-hvmulid 28953  ax-hvmulass 28954  ax-hvdistr1 28955  ax-hvdistr2 28956  ax-hvmul0 28957  ax-hfi 29026  ax-his1 29029  ax-his2 29030  ax-his3 29031  ax-his4 29032  ax-hcompl 29149
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-supp 7869  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-oadd 8147  df-omul 8148  df-er 8332  df-map 8451  df-pm 8452  df-ixp 8520  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fsupp 8919  df-fi 8960  df-sup 8991  df-inf 8992  df-oi 9059  df-card 9453  df-acn 9456  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-xneg 12602  df-xadd 12603  df-xmul 12604  df-ioo 12837  df-ico 12839  df-icc 12840  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-fl 13265  df-seq 13473  df-exp 13534  df-hash 13795  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-clim 14947  df-rlim 14948  df-sum 15148  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-starv 16695  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-ip 16698  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-unif 16703  df-hom 16704  df-cco 16705  df-rest 16811  df-topn 16812  df-0g 16830  df-gsum 16831  df-topgen 16832  df-pt 16833  df-prds 16836  df-xrs 16890  df-qtop 16895  df-imas 16896  df-xps 16898  df-mre 16972  df-mrc 16973  df-acs 16975  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-submnd 18085  df-mulg 18355  df-cntz 18577  df-cmn 19038  df-psmet 20221  df-xmet 20222  df-met 20223  df-bl 20224  df-mopn 20225  df-fbas 20226  df-fg 20227  df-cnfld 20230  df-top 21657  df-topon 21674  df-topsp 21696  df-bases 21709  df-cld 21782  df-ntr 21783  df-cls 21784  df-nei 21861  df-cn 21990  df-cnp 21991  df-lm 21992  df-haus 22078  df-tx 22325  df-hmeo 22518  df-fil 22609  df-fm 22701  df-flim 22702  df-flf 22703  df-xms 23085  df-ms 23086  df-tms 23087  df-cfil 24019  df-cau 24020  df-cmet 24021  df-grpo 28440  df-gid 28441  df-ginv 28442  df-gdiv 28443  df-ablo 28492  df-vc 28506  df-nv 28539  df-va 28542  df-ba 28543  df-sm 28544  df-0v 28545  df-vs 28546  df-nmcv 28547  df-ims 28548  df-dip 28648  df-ssp 28669  df-ph 28760  df-cbn 28810  df-hnorm 28915  df-hba 28916  df-hvsub 28918  df-hlim 28919  df-hcau 28920  df-sh 29154  df-ch 29168  df-oc 29199  df-ch0 29200  df-shs 29255  df-chj 29257  df-cv 30226  df-md 30227
This theorem is referenced by:  cvmd  30283
  Copyright terms: Public domain W3C validator