Theorem pjoml3i 29159

Description: Variation of orthomodular law. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjoml2.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
pjoml2.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjoml3i	⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem pjoml3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjoml2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	choccli 28880	. . 3 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
3		pjoml2.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	choccli 28880	. . 3 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
5	2, 4	pjoml2i 29158	. 2 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∨ℋ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘𝐵))
6	3, 1	chsscon3i 29034	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝐵))
7		eqcom 2787	. . 3 ⊢ ((⊥‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (⊥‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))))
8	2	choccli 28880	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ
9	8, 4	chincli 29033	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ
10	1, 9	chdmj2i 29055	. . . . 5 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝐴 ∩ (⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))))
11	2, 3	chdmm4i 29053	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵)
12	11	ineq2i 4076	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵))
13	10, 12	eqtri 2804	. . . 4 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵))
14	13	eqeq1i 2785	. . 3 ⊢ ((⊥‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))) = 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵)
15	2, 9	chjcli 29030	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) ∈ Cℋ
16	3, 15	chcon2i 29037	. . 3 ⊢ (𝐵 = (⊥‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵)))) ↔ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘𝐵))
17	7, 14, 16	3bitr3i 293	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵 ↔ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∩ (⊥‘𝐵))) = (⊥‘𝐵))
18	5, 6, 17	3imtr4i 284	1 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ∩ cin 3830   ⊆ wss 3831  ‘cfv 6193  (class class class)co 6982   C_ℋ cch 28500  ⊥cort 28501   ∨_ℋ chj 28504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-inf2 8904  ax-cc 9661  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419  ax-addf 10420  ax-mulf 10421  ax-hilex 28570  ax-hfvadd 28571  ax-hvcom 28572  ax-hvass 28573  ax-hv0cl 28574  ax-hvaddid 28575  ax-hfvmul 28576  ax-hvmulid 28577  ax-hvmulass 28578  ax-hvdistr1 28579  ax-hvdistr2 28580  ax-hvmul0 28581  ax-hfi 28650  ax-his1 28653  ax-his2 28654  ax-his3 28655  ax-his4 28656  ax-hcompl 28773

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-iin 4800  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-se 5371  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-of 7233  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-supp 7640  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-2o 7912  df-oadd 7915  df-omul 7916  df-er 8095  df-map 8214  df-pm 8215  df-ixp 8266  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-fsupp 8635  df-fi 8676  df-sup 8707  df-inf 8708  df-oi 8775  df-card 9168  df-acn 9171  df-cda 9394  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-4 11511  df-5 11512  df-6 11513  df-7 11514  df-8 11515  df-9 11516  df-n0 11714  df-z 11800  df-dec 11918  df-uz 12065  df-q 12169  df-rp 12211  df-xneg 12330  df-xadd 12331  df-xmul 12332  df-ioo 12564  df-ico 12566  df-icc 12567  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-fl 12983  df-seq 13191  df-exp 13251  df-hash 13512  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462  df-clim 14712  df-rlim 14713  df-sum 14910  df-struct 16347  df-ndx 16348  df-slot 16349  df-base 16351  df-sets 16352  df-ress 16353  df-plusg 16440  df-mulr 16441  df-starv 16442  df-sca 16443  df-vsca 16444  df-ip 16445  df-tset 16446  df-ple 16447  df-ds 16449  df-unif 16450  df-hom 16451  df-cco 16452  df-rest 16558  df-topn 16559  df-0g 16577  df-gsum 16578  df-topgen 16579  df-pt 16580  df-prds 16583  df-xrs 16637  df-qtop 16642  df-imas 16643  df-xps 16645  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-mulg 18024  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-fbas 20259  df-fg 20260  df-cnfld 20263  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-ntr 21347  df-cls 21348  df-nei 21425  df-cn 21554  df-cnp 21555  df-lm 21556  df-haus 21642  df-tx 21889  df-hmeo 22082  df-fil 22173  df-fm 22265  df-flim 22266  df-flf 22267  df-xms 22648  df-ms 22649  df-tms 22650  df-cfil 23576  df-cau 23577  df-cmet 23578  df-grpo 28062  df-gid 28063  df-ginv 28064  df-gdiv 28065  df-ablo 28114  df-vc 28128  df-nv 28161  df-va 28164  df-ba 28165  df-sm 28166  df-0v 28167  df-vs 28168  df-nmcv 28169  df-ims 28170  df-dip 28270  df-ssp 28291  df-ph 28382  df-cbn 28433  df-hnorm 28539  df-hba 28540  df-hvsub 28542  df-hlim 28543  df-hcau 28544  df-sh 28778  df-ch 28792  df-oc 28823  df-ch0 28824  df-shs 28881  df-chj 28883

This theorem is referenced by:  pjoml3  29185