Theorem osumcor2i 31731

Description: Corollary of osumi 31729, showing it holds under the weaker hypothesis that 𝐴 and 𝐵 commute. (Contributed by NM, 6-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osum.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
osum.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
osumcor2i	⊢ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Proof of Theorem osumcor2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		osum.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		osum.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	cmcm2i 31680	. . . . 5 ⊢ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐵))
4	2	choccli 31394	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
5	1, 4	cmbr4i 31688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘𝐵))
6	3, 5	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘𝐵))
7	1	choccli 31394	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
8	7, 4	chjcli 31544	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ
9	1, 8	chincli 31547	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ Cℋ
10	9, 2	osumi 31729	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) +ℋ 𝐵) = ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∨ℋ 𝐵))
11	7, 4	chjcomi 31555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴))
12	11	ineq2i 4171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴)))
13	12	oveq1i 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∨ℋ 𝐵) = ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵)
14	4, 7	chjcli 31544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ
15	1, 14	chincli 31547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∈ Cℋ
16	15, 2	chjcomi 31555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴))) ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴))))
17	13, 16	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴))))
18	2, 1	pjoml4i 31674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∨ℋ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴)))) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴)
19	2, 1	chjcomi 31555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
20	18, 19	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∨ℋ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐴)))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
21	17, 20	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∨ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
22	21	eqeq2i 2750	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) +ℋ 𝐵) = ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
23		inss1 4191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ⊆ 𝐴
24	9	chshii 31314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ Sℋ
25	1	chshii 31314	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
26	2	chshii 31314	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
27	24, 25, 26	shlessi 31464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
28	23, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
29		sseq1 3961	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
30	28, 29	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
31	22, 30	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) +ℋ 𝐵) = ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
32	10, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
33	6, 32	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
34	1, 2	chsleji 31545	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
35	33, 34	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
36		eqss 3951	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
37	35, 36	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   C_ℋ cch 31016  ⊥cort 31017   +_ℋ cph 31018   ∨_ℋ chj 31020   𝐶_ℋ ccm 31023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087  ax-hvcom 31088  ax-hvass 31089  ax-hv0cl 31090  ax-hvaddid 31091  ax-hfvmul 31092  ax-hvmulid 31093  ax-hvmulass 31094  ax-hvdistr1 31095  ax-hvdistr2 31096  ax-hvmul0 31097  ax-hfi 31166  ax-his1 31169  ax-his2 31170  ax-his3 31171  ax-his4 31172  ax-hcompl 31289

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-lm 23185  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cfil 25223  df-cau 25224  df-cmet 25225  df-grpo 30580  df-gid 30581  df-ginv 30582  df-gdiv 30583  df-ablo 30632  df-vc 30646  df-nv 30679  df-va 30682  df-ba 30683  df-sm 30684  df-0v 30685  df-vs 30686  df-nmcv 30687  df-ims 30688  df-dip 30788  df-ssp 30809  df-ph 30900  df-cbn 30950  df-hnorm 31055  df-hba 31056  df-hvsub 31058  df-hlim 31059  df-hcau 31060  df-sh 31294  df-ch 31308  df-oc 31339  df-ch0 31340  df-shs 31395  df-chj 31397  df-pjh 31482  df-cm 31670

This theorem is referenced by:  cmmdi  32503