Theorem mdsl2bi 30260

Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsl.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdsl2bi	⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdsl2bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdsl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		mdsl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	mdsl2i 30259	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
4	1, 2	chincli 29397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
5		inss1 4119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
6		chlej2 29448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
7	5, 6	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
8	4, 1, 7	mp3an12 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
9	8	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
10		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
11		inss2 4120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
12	10, 11	jctir 524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵))
13		chlub 29446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
14	4, 2, 13	mp3an23 1454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
15	14	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
16	12, 15	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵)
17	9, 16	ssind 4123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
18	17	biantrud 535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
19		eqss 3892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
20	18, 19	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
21	20	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
22	21	adantld 494	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
23	22	pm5.74d 276	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) ↔ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
24	23	ralbiia 3079	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
25	3, 24	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053   ∩ cin 3842   ⊆ wss 3843   class class class wbr 5030  (class class class)co 7172   C_ℋ cch 28866   ∨_ℋ chj 28870   𝑀_ℋ cmd 28903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-inf2 9179  ax-cc 9937  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695  ax-addf 10696  ax-mulf 10697  ax-hilex 28936  ax-hfvadd 28937  ax-hvcom 28938  ax-hvass 28939  ax-hv0cl 28940  ax-hvaddid 28941  ax-hfvmul 28942  ax-hvmulid 28943  ax-hvmulass 28944  ax-hvdistr1 28945  ax-hvdistr2 28946  ax-hvmul0 28947  ax-hfi 29016  ax-his1 29019  ax-his2 29020  ax-his3 29021  ax-his4 29022  ax-hcompl 29139

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-supp 7859  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-oadd 8137  df-omul 8138  df-er 8322  df-map 8441  df-pm 8442  df-ixp 8510  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-fsupp 8909  df-fi 8950  df-sup 8981  df-inf 8982  df-oi 9049  df-card 9443  df-acn 9446  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-dec 12182  df-uz 12327  df-q 12433  df-rp 12475  df-xneg 12592  df-xadd 12593  df-xmul 12594  df-ioo 12827  df-ico 12829  df-icc 12830  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-fl 13255  df-seq 13463  df-exp 13524  df-hash 13785  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-clim 14937  df-rlim 14938  df-sum 15138  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-starv 16685  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-ip 16688  df-tset 16689  df-ple 16690  df-ds 16692  df-unif 16693  df-hom 16694  df-cco 16695  df-rest 16801  df-topn 16802  df-0g 16820  df-gsum 16821  df-topgen 16822  df-pt 16823  df-prds 16826  df-xrs 16880  df-qtop 16885  df-imas 16886  df-xps 16888  df-mre 16962  df-mrc 16963  df-acs 16965  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-submnd 18075  df-mulg 18345  df-cntz 18567  df-cmn 19028  df-psmet 20211  df-xmet 20212  df-met 20213  df-bl 20214  df-mopn 20215  df-fbas 20216  df-fg 20217  df-cnfld 20220  df-top 21647  df-topon 21664  df-topsp 21686  df-bases 21699  df-cld 21772  df-ntr 21773  df-cls 21774  df-nei 21851  df-cn 21980  df-cnp 21981  df-lm 21982  df-haus 22068  df-tx 22315  df-hmeo 22508  df-fil 22599  df-fm 22691  df-flim 22692  df-flf 22693  df-xms 23075  df-ms 23076  df-tms 23077  df-cfil 24009  df-cau 24010  df-cmet 24011  df-grpo 28430  df-gid 28431  df-ginv 28432  df-gdiv 28433  df-ablo 28482  df-vc 28496  df-nv 28529  df-va 28532  df-ba 28533  df-sm 28534  df-0v 28535  df-vs 28536  df-nmcv 28537  df-ims 28538  df-dip 28638  df-ssp 28659  df-ph 28750  df-cbn 28800  df-hnorm 28905  df-hba 28906  df-hvsub 28908  df-hlim 28909  df-hcau 28910  df-sh 29144  df-ch 29158  df-oc 29189  df-ch0 29190  df-shs 29245  df-chj 29247  df-md 30217

This theorem is referenced by:  csmdsymi  30271