Theorem mdsl2bi 29787

Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsl.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdsl2bi	⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdsl2bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdsl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		mdsl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	mdsl2i 29786	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
4	1, 2	chincli 28924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
5		inss1 4131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
6		chlej2 28975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
7	5, 6	mpan2 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
8	4, 1, 7	mp3an12 1443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
9	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
10		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
11		inss2 4132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
12	10, 11	jctir 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵))
13		chlub 28973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
14	4, 2, 13	mp3an23 1445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
16	12, 15	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵)
17	9, 16	ssind 4135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
18	17	biantrud 532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
19		eqss 3910	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
20	18, 19	syl6bbr 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
21	20	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
22	21	adantld 491	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
23	22	pm5.74d 274	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) ↔ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
24	23	ralbiia 3133	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
25	3, 24	bitri 276	1 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107   ∩ cin 3864   ⊆ wss 3865   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023   C_ℋ cch 28393   ∨_ℋ chj 28397   𝑀_ℋ cmd 28430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cc 9710  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470  ax-hilex 28463  ax-hfvadd 28464  ax-hvcom 28465  ax-hvass 28466  ax-hv0cl 28467  ax-hvaddid 28468  ax-hfvmul 28469  ax-hvmulid 28470  ax-hvmulass 28471  ax-hvdistr1 28472  ax-hvdistr2 28473  ax-hvmul0 28474  ax-hfi 28543  ax-his1 28546  ax-his2 28547  ax-his3 28548  ax-his4 28549  ax-hcompl 28666

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-omul 7965  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-acn 9224  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-lm 21525  df-haus 21611  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cfil 23545  df-cau 23546  df-cmet 23547  df-grpo 27957  df-gid 27958  df-ginv 27959  df-gdiv 27960  df-ablo 28009  df-vc 28023  df-nv 28056  df-va 28059  df-ba 28060  df-sm 28061  df-0v 28062  df-vs 28063  df-nmcv 28064  df-ims 28065  df-dip 28165  df-ssp 28186  df-ph 28277  df-cbn 28327  df-hnorm 28432  df-hba 28433  df-hvsub 28435  df-hlim 28436  df-hcau 28437  df-sh 28671  df-ch 28685  df-oc 28716  df-ch0 28717  df-shs 28772  df-chj 28774  df-md 29744

This theorem is referenced by:  csmdsymi  29798