Theorem pjci 32130

Description: Two subspaces commute iff their projections commute. Lemma 4 of [Kalmbach] p. 67. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjci	⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Proof of Theorem pjci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjclem1.2	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjclem2 32126	. 2 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))
4	1, 2	pjclem4 32129	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
5	1, 2	pjclem3 32127	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)))
6	2	choccli 31237	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
7	1, 6	pjclem4 32129	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
9	4, 8	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
10		df-iop 31679	. . . . . . . 8 ⊢ Iop = (projℎ‘ ℋ)
11	10	coeq2i 5859	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ Iop ) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ))
12	1	pjfi 31634	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
13	12	hoid1i 31719	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ Iop ) = (projℎ‘𝐺)
14	11, 13	eqtr3i 2756	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = (projℎ‘𝐺)
15	2	pjtoi 32109	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = (projℎ‘ ℋ)
16	15	coeq2i 5859	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ))
17	2	pjfi 31634	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
18	6	pjfi 31634	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘(⊥‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
19	1, 17, 18	pjsdii 32085	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻)))) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))))
20	16, 19	eqtr3i 2756	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))))
21	14, 20	eqtr3i 2756	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐺) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))))
22		inss2 4228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
23	1	choccli 31237	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
24	2, 23	chub2i 31400	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
25	22, 24	sstri 3988	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
26	1, 2	chdmm3i 31409	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) = ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
27	25, 26	sseqtrri 4016	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
28	1, 2	chincli 31390	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
29	1, 6	chincli 31390	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ Cℋ
30	28, 29	pjscji 32100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
31	27, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
32	9, 21, 31	3eqtr4g 2791	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → (projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
33	28, 29	chjcli 31387	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) ∈ Cℋ
34	1, 33	pj11i 31641	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
35	32, 34	sylib 217	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
36	1, 2	cmbri 31520	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
37	35, 36	sylibr 233	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → 𝐺 𝐶ℋ 𝐻)
38	3, 37	impbii 208	1 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3945   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5145   ∘ ccom 5678  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416   ℋchba 30849   C_ℋ cch 30859  ⊥cort 30860   ∨_ℋ chj 30863   𝐶_ℋ ccm 30866  proj_ℎcpjh 30867   +_op chos 30868   I_op chio 30874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cc 10469  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229  ax-hilex 30929  ax-hfvadd 30930  ax-hvcom 30931  ax-hvass 30932  ax-hv0cl 30933  ax-hvaddid 30934  ax-hfvmul 30935  ax-hvmulid 30936  ax-hvmulass 30937  ax-hvdistr1 30938  ax-hvdistr2 30939  ax-hvmul0 30940  ax-hfi 31009  ax-his1 31012  ax-his2 31013  ax-his3 31014  ax-his4 31015  ax-hcompl 31132

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-acn 9978  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19058  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-fbas 21336  df-fg 21337  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-nei 23090  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-lm 23221  df-haus 23307  df-tx 23554  df-hmeo 23747  df-fil 23838  df-fm 23930  df-flim 23931  df-flf 23932  df-xms 24314  df-ms 24315  df-tms 24316  df-cfil 25271  df-cau 25272  df-cmet 25273  df-grpo 30423  df-gid 30424  df-ginv 30425  df-gdiv 30426  df-ablo 30475  df-vc 30489  df-nv 30522  df-va 30525  df-ba 30526  df-sm 30527  df-0v 30528  df-vs 30529  df-nmcv 30530  df-ims 30531  df-dip 30631  df-ssp 30652  df-ph 30743  df-cbn 30793  df-hnorm 30898  df-hba 30899  df-hvsub 30901  df-hlim 30902  df-hcau 30903  df-sh 31137  df-ch 31151  df-oc 31182  df-ch0 31183  df-shs 31238  df-chj 31240  df-pjh 31325  df-cm 31513  df-hosum 31660  df-hodif 31662  df-h0op 31678  df-iop 31679

This theorem is referenced by: (None)