HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  fh3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fh3i 29403
Description: Variation of the Foulis-Holland Theorem. (Contributed by NM, 16-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
fh1.1 𝐴C
fh1.2 𝐵C
fh1.3 𝐶C
fh1.4 𝐴 𝐶 𝐵
fh1.5 𝐴 𝐶 𝐶
Assertion
Ref Expression
fh3i (𝐴 (𝐵𝐶)) = ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐴 𝐶))

Proof of Theorem fh3i
StepHypRef Expression
1 fh1.1 . . . . . 6 𝐴C
21choccli 29087 . . . . 5 (⊥‘𝐴) ∈ C
3 fh1.2 . . . . . 6 𝐵C
43choccli 29087 . . . . 5 (⊥‘𝐵) ∈ C
5 fh1.3 . . . . . 6 𝐶C
65choccli 29087 . . . . 5 (⊥‘𝐶) ∈ C
7 fh1.4 . . . . . . 7 𝐴 𝐶 𝐵
81, 3, 7cmcm3ii 29379 . . . . . 6 (⊥‘𝐴) 𝐶 𝐵
92, 3, 8cmcm2ii 29378 . . . . 5 (⊥‘𝐴) 𝐶 (⊥‘𝐵)
10 fh1.5 . . . . . . 7 𝐴 𝐶 𝐶
111, 5, 10cmcm3ii 29379 . . . . . 6 (⊥‘𝐴) 𝐶 𝐶
122, 5, 11cmcm2ii 29378 . . . . 5 (⊥‘𝐴) 𝐶 (⊥‘𝐶)
132, 4, 6, 9, 12fh1i 29401 . . . 4 ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘𝐵) ∨ (⊥‘𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐶)))
143, 5chdmm1i 29257 . . . . 5 (⊥‘(𝐵𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∨ (⊥‘𝐶))
1514ineq2i 4189 . . . 4 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵𝐶))) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘𝐵) ∨ (⊥‘𝐶)))
161, 3chdmj1i 29261 . . . . 5 (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))
171, 5chdmj1i 29261 . . . . 5 (⊥‘(𝐴 𝐶)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐶))
1816, 17oveq12i 7171 . . . 4 ((⊥‘(𝐴 𝐵)) ∨ (⊥‘(𝐴 𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐶)))
1913, 15, 183eqtr4ri 2858 . . 3 ((⊥‘(𝐴 𝐵)) ∨ (⊥‘(𝐴 𝐶))) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵𝐶)))
201, 3chjcli 29237 . . . 4 (𝐴 𝐵) ∈ C
211, 5chjcli 29237 . . . 4 (𝐴 𝐶) ∈ C
2220, 21chdmm1i 29257 . . 3 (⊥‘((𝐴 𝐵) ∩ (𝐴 𝐶))) = ((⊥‘(𝐴 𝐵)) ∨ (⊥‘(𝐴 𝐶)))
233, 5chincli 29240 . . . 4 (𝐵𝐶) ∈ C
241, 23chdmj1i 29261 . . 3 (⊥‘(𝐴 (𝐵𝐶))) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵𝐶)))
2519, 22, 243eqtr4i 2857 . 2 (⊥‘((𝐴 𝐵) ∩ (𝐴 𝐶))) = (⊥‘(𝐴 (𝐵𝐶)))
261, 23chjcli 29237 . . 3 (𝐴 (𝐵𝐶)) ∈ C
2720, 21chincli 29240 . . 3 ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐴 𝐶)) ∈ C
2826, 27chcon3i 29246 . 2 ((𝐴 (𝐵𝐶)) = ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐴 𝐶)) ↔ (⊥‘((𝐴 𝐵) ∩ (𝐴 𝐶))) = (⊥‘(𝐴 (𝐵𝐶))))
2925, 28mpbir 233 1 (𝐴 (𝐵𝐶)) = ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐴 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1536  wcel 2113  cin 3938   class class class wbr 5069  cfv 6358  (class class class)co 7159   C cch 28709  cort 28710   chj 28713   𝐶 ccm 28716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cc 9860  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620  ax-hilex 28779  ax-hfvadd 28780  ax-hvcom 28781  ax-hvass 28782  ax-hv0cl 28783  ax-hvaddid 28784  ax-hfvmul 28785  ax-hvmulid 28786  ax-hvmulass 28787  ax-hvdistr1 28788  ax-hvdistr2 28789  ax-hvmul0 28790  ax-hfi 28859  ax-his1 28862  ax-his2 28863  ax-his3 28864  ax-his4 28865  ax-hcompl 28982
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-omul 8110  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-acn 9374  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-lm 21840  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cfil 23861  df-cau 23862  df-cmet 23863  df-grpo 28273  df-gid 28274  df-ginv 28275  df-gdiv 28276  df-ablo 28325  df-vc 28339  df-nv 28372  df-va 28375  df-ba 28376  df-sm 28377  df-0v 28378  df-vs 28379  df-nmcv 28380  df-ims 28381  df-dip 28481  df-ssp 28502  df-ph 28593  df-cbn 28643  df-hnorm 28748  df-hba 28749  df-hvsub 28751  df-hlim 28752  df-hcau 28753  df-sh 28987  df-ch 29001  df-oc 29032  df-ch0 29033  df-shs 29088  df-chj 29090  df-cm 29363
This theorem is referenced by:  mayetes3i  29509
  Copyright terms: Public domain W3C validator