Theorem fh3i 32090

Description: Variation of the Foulis-Holland Theorem. (Contributed by NM, 16-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fh1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
fh1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
fh1.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
fh1.4	⊢ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵
fh1.5	⊢ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
fh3i	⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))

Proof of Theorem fh3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fh1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	choccli 31774	. . . . 5 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
3		fh1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	choccli 31774	. . . . 5 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
5		fh1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
6	5	choccli 31774	. . . . 5 ⊢ (⊥‘𝐶) ∈ Cℋ
7		fh1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵
8	1, 3, 7	cmcm3ii 32066	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐵
9	2, 3, 8	cmcm2ii 32065	. . . . 5 ⊢ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ (⊥‘𝐵)
10		fh1.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶
11	1, 5, 10	cmcm3ii 32066	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝐶
12	2, 5, 11	cmcm2ii 32065	. . . . 5 ⊢ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ (⊥‘𝐶)
13	2, 4, 6, 9, 12	fh1i 32088	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐶)))
14	3, 5	chdmm1i 31944	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(𝐵 ∩ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐶))
15	14	ineq2i 4166	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵 ∩ 𝐶))) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))
16	1, 3	chdmj1i 31948	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))
17	1, 5	chdmj1i 31948	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐶))
18	16, 17	oveq12i 7428	. . . 4 ⊢ ((⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐶)))
19	13, 15, 18	3eqtr4ri 2796	. . 3 ⊢ ((⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐶))) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵 ∩ 𝐶)))
20	1, 3	chjcli 31924	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
21	1, 5	chjcli 31924	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
22	20, 21	chdmm1i 31944	. . 3 ⊢ (⊥‘((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) = ((⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
23	3, 5	chincli 31927	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ
24	1, 23	chdmj1i 31948	. . 3 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵 ∩ 𝐶)))
25	19, 22, 24	3eqtr4i 2795	. 2 ⊢ (⊥‘((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) = (⊥‘(𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))
26	1, 23	chjcli 31924	. . 3 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ
27	20, 21	chincli 31927	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ
28	26, 27	chcon3i 31933	. 2 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (⊥‘((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) = (⊥‘(𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
29	25, 28	mpbir 234	1 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   C_ℋ cch 31396  ⊥cort 31397   ∨_ℋ chj 31400   𝐶_ℋ ccm 31403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207  ax-hilex 31466  ax-hfvadd 31467  ax-hvcom 31468  ax-hvass 31469  ax-hv0cl 31470  ax-hvaddid 31471  ax-hfvmul 31472  ax-hvmulid 31473  ax-hvmulass 31474  ax-hvdistr1 31475  ax-hvdistr2 31476  ax-hvmul0 31477  ax-hfi 31546  ax-his1 31549  ax-his2 31550  ax-his3 31551  ax-his4 31552  ax-hcompl 31669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-lm 23455  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cfil 25484  df-cau 25485  df-cmet 25486  df-grpo 30960  df-gid 30961  df-ginv 30962  df-gdiv 30963  df-ablo 31012  df-vc 31026  df-nv 31059  df-va 31062  df-ba 31063  df-sm 31064  df-0v 31065  df-vs 31066  df-nmcv 31067  df-ims 31068  df-dip 31168  df-ssp 31189  df-ph 31280  df-cbn 31330  df-hnorm 31435  df-hba 31436  df-hvsub 31438  df-hlim 31439  df-hcau 31440  df-sh 31674  df-ch 31688  df-oc 31719  df-ch0 31720  df-shs 31775  df-chj 31777  df-cm 32050

This theorem is used by:  mayetes3i  32196