Theorem lejdii 31606

Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction (join version). (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ledi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
ledi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
ledi.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
lejdii	⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))

Proof of Theorem lejdii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ledi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		ledi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	chub1i 31537	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
4		ledi.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
5	1, 4	chub1i 31537	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
6	3, 5	ssini 4181	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
7		inss1 4178	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐵
8	2, 1	chub2i 31538	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
9	7, 8	sstri 3932	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
10		inss2 4179	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
11	4, 1	chub2i 31538	. . . 4 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
12	10, 11	sstri 3932	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
13	9, 12	ssini 4181	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
14	2, 4	chincli 31528	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ
15	1, 2	chjcli 31525	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
16	1, 4	chjcli 31525	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
17	15, 16	chincli 31528	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ
18	1, 14, 17	chlubi 31539	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) ↔ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
19	18	bicomi 224	. 2 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐴 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) ∧ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))))
20	6, 13, 19	mpbir2an 712	1 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7364   C_ℋ cch 30997   ∨_ℋ chj 31001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-inf2 9559  ax-cc 10354  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113  ax-addf 11114  ax-mulf 11115  ax-hilex 31067  ax-hfvadd 31068  ax-hvcom 31069  ax-hvass 31070  ax-hv0cl 31071  ax-hvaddid 31072  ax-hfvmul 31073  ax-hvmulid 31074  ax-hvmulass 31075  ax-hvdistr1 31076  ax-hvdistr2 31077  ax-hvmul0 31078  ax-hfi 31147  ax-his1 31150  ax-his2 31151  ax-his3 31152  ax-his4 31153  ax-hcompl 31270

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9860  df-acn 9863  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-q 12896  df-rp 12940  df-xneg 13060  df-xadd 13061  df-xmul 13062  df-ioo 13299  df-ico 13301  df-icc 13302  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-fl 13748  df-seq 13961  df-exp 14021  df-hash 14290  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-sqrt 15194  df-abs 15195  df-clim 15447  df-rlim 15448  df-sum 15646  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-starv 17232  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-ip 17235  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-unif 17240  df-hom 17241  df-cco 17242  df-rest 17382  df-topn 17383  df-0g 17401  df-gsum 17402  df-topgen 17403  df-pt 17404  df-prds 17407  df-xrs 17463  df-qtop 17468  df-imas 17469  df-xps 17471  df-mre 17545  df-mrc 17546  df-acs 17548  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18749  df-mulg 19041  df-cntz 19289  df-cmn 19754  df-psmet 21341  df-xmet 21342  df-met 21343  df-bl 21344  df-mopn 21345  df-fbas 21346  df-fg 21347  df-cnfld 21350  df-top 22856  df-topon 22873  df-topsp 22895  df-bases 22908  df-cld 22981  df-ntr 22982  df-cls 22983  df-nei 23060  df-cn 23189  df-cnp 23190  df-lm 23191  df-haus 23277  df-tx 23524  df-hmeo 23717  df-fil 23808  df-fm 23900  df-flim 23901  df-flf 23902  df-xms 24282  df-ms 24283  df-tms 24284  df-cfil 25219  df-cau 25220  df-cmet 25221  df-grpo 30561  df-gid 30562  df-ginv 30563  df-gdiv 30564  df-ablo 30613  df-vc 30627  df-nv 30660  df-va 30663  df-ba 30664  df-sm 30665  df-0v 30666  df-vs 30667  df-nmcv 30668  df-ims 30669  df-dip 30769  df-ssp 30790  df-ph 30881  df-cbn 30931  df-hnorm 31036  df-hba 31037  df-hvsub 31039  df-hlim 31040  df-hcau 31041  df-sh 31275  df-ch 31289  df-oc 31320  df-ch0 31321  df-shs 31376  df-chj 31378

This theorem is referenced by:  lejdiri  31607