HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cmbr3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmbr3i 28915
Description: Alternate definition for the commutes relation. Lemma 3 of [Kalmbach] p. 23. (Contributed by NM, 6-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjoml2.1 𝐴C
pjoml2.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
cmbr3i (𝐴 𝐶 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵)) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem cmbr3i
StepHypRef Expression
1 pjoml2.1 . . . . 5 𝐴C
2 pjoml2.2 . . . . 5 𝐵C
31, 2cmcmi 28907 . . . 4 (𝐴 𝐶 𝐵𝐵 𝐶 𝐴)
42, 1cmbr2i 28911 . . . 4 (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 = ((𝐵 𝐴) ∩ (𝐵 (⊥‘𝐴))))
53, 4bitri 266 . . 3 (𝐴 𝐶 𝐵𝐵 = ((𝐵 𝐴) ∩ (𝐵 (⊥‘𝐴))))
6 ineq2 3970 . . . 4 (𝐵 = ((𝐵 𝐴) ∩ (𝐵 (⊥‘𝐴))) → (𝐴𝐵) = (𝐴 ∩ ((𝐵 𝐴) ∩ (𝐵 (⊥‘𝐴)))))
7 inass 3983 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐴)) ∩ (𝐵 (⊥‘𝐴))) = (𝐴 ∩ ((𝐵 𝐴) ∩ (𝐵 (⊥‘𝐴))))
82, 1chjcomi 28783 . . . . . . . 8 (𝐵 𝐴) = (𝐴 𝐵)
98ineq2i 3973 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐴)) = (𝐴 ∩ (𝐴 𝐵))
101, 2chabs2i 28834 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐴
119, 10eqtri 2787 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐴
121choccli 28622 . . . . . . 7 (⊥‘𝐴) ∈ C
132, 12chjcomi 28783 . . . . . 6 (𝐵 (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵)
1411, 13ineq12i 3974 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐴)) ∩ (𝐵 (⊥‘𝐴))) = (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵))
157, 14eqtr3i 2789 . . . 4 (𝐴 ∩ ((𝐵 𝐴) ∩ (𝐵 (⊥‘𝐴)))) = (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵))
166, 15syl6req 2816 . . 3 (𝐵 = ((𝐵 𝐴) ∩ (𝐵 (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵)) = (𝐴𝐵))
175, 16sylbi 208 . 2 (𝐴 𝐶 𝐵 → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵)) = (𝐴𝐵))
18 inss1 3992 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) ⊆ 𝐴
192choccli 28622 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐵) ∈ C
201, 19chincli 28775 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) ∈ C
2120, 1pjoml2i 28900 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) ∨ ((⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∩ 𝐴)) = 𝐴)
2218, 21ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) ∨ ((⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∩ 𝐴)) = 𝐴
2320choccli 28622 . . . . . . 7 (⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∈ C
2423, 1chincli 28775 . . . . . 6 ((⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∩ 𝐴) ∈ C
2520, 24chjcomi 28783 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) ∨ ((⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∩ 𝐴)) = (((⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∩ 𝐴) ∨ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))
2622, 25eqtr3i 2789 . . . 4 𝐴 = (((⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∩ 𝐴) ∨ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))
271, 2chdmm3i 28794 . . . . . . . 8 (⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵)
2827ineq2i 3973 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))) = (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵))
29 incom 3967 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))) = ((⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∩ 𝐴)
3028, 29eqtr3i 2789 . . . . . 6 (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵)) = ((⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∩ 𝐴)
3130eqeq1i 2770 . . . . 5 ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵)) = (𝐴𝐵) ↔ ((⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∩ 𝐴) = (𝐴𝐵))
32 oveq1 6849 . . . . 5 (((⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∩ 𝐴) = (𝐴𝐵) → (((⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∩ 𝐴) ∨ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
3331, 32sylbi 208 . . . 4 ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵)) = (𝐴𝐵) → (((⊥‘(𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) ∩ 𝐴) ∨ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))) = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
3426, 33syl5eq 2811 . . 3 ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵)) = (𝐴𝐵) → 𝐴 = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
351, 2cmbri 28905 . . 3 (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
3634, 35sylibr 225 . 2 ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵)) = (𝐴𝐵) → 𝐴 𝐶 𝐵)
3717, 36impbii 200 1 (𝐴 𝐶 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ 𝐵)) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197   = wceq 1652  wcel 2155  cin 3731  wss 3732   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842   C cch 28242  cort 28243   chj 28246   𝐶 ccm 28249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269  ax-hilex 28312  ax-hfvadd 28313  ax-hvcom 28314  ax-hvass 28315  ax-hv0cl 28316  ax-hvaddid 28317  ax-hfvmul 28318  ax-hvmulid 28319  ax-hvmulass 28320  ax-hvdistr1 28321  ax-hvdistr2 28322  ax-hvmul0 28323  ax-hfi 28392  ax-his1 28395  ax-his2 28396  ax-his3 28397  ax-his4 28398  ax-hcompl 28515
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-lm 21313  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cfil 23332  df-cau 23333  df-cmet 23334  df-grpo 27804  df-gid 27805  df-ginv 27806  df-gdiv 27807  df-ablo 27856  df-vc 27870  df-nv 27903  df-va 27906  df-ba 27907  df-sm 27908  df-0v 27909  df-vs 27910  df-nmcv 27911  df-ims 27912  df-dip 28012  df-ssp 28033  df-ph 28124  df-cbn 28175  df-hnorm 28281  df-hba 28282  df-hvsub 28284  df-hlim 28285  df-hcau 28286  df-sh 28520  df-ch 28534  df-oc 28565  df-ch0 28566  df-shs 28623  df-chj 28625  df-cm 28898
This theorem is referenced by:  cmbr4i  28916  cmbr3  28923
  Copyright terms: Public domain W3C validator