MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colperpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colperpex 26042
Description: In dimension 2 and above, on a line (𝐴𝐿𝐵) there is always a perpendicular 𝑃 from 𝐴 on a given plane (here given by 𝐶, in case 𝐶 does not lie on the line). Theorem 8.21 of [Schwabhauser] p. 63. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
colperpex.1 (𝜑𝐴𝑃)
colperpex.2 (𝜑𝐵𝑃)
colperpex.3 (𝜑𝐶𝑃)
colperpex.4 (𝜑𝐴𝐵)
colperpex.5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
colperpex (𝜑 → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
Distinct variable groups:   ,𝑝,𝑡   𝐴,𝑝,𝑡   𝐵,𝑝,𝑡   𝐶,𝑝,𝑡   𝐺,𝑝,𝑡   𝐼,𝑝,𝑡   𝐿,𝑝,𝑡   𝑃,𝑝,𝑡   𝜑,𝑝,𝑡

Proof of Theorem colperpex
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 colperpex.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 colperpex.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 colperpex.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 colperpex.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 colperpex.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad3antrrr 723 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 colperpex.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
87ad3antrrr 723 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝑃)
9 colperpex.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
109ad3antrrr 723 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵𝑃)
11 simplr 787 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑑𝑃)
12 colperpex.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
1312ad3antrrr 723 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝐵)
14 simpr 479 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
151, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14colperpexlem3 26041 . . . 4 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))))
16 simprl 789 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
17 colperpex.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑃)
1817ad5antr 730 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶𝑃)
19 simp-5r 809 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2019orcd 906 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
215ad5antr 730 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22 simplr 787 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝑝𝑃)
231, 2, 3, 21, 18, 22tgbtwntriv1 25803 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
24 eleq1 2894 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
2524orbi1d 947 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝐶 → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)))
26 eleq1 2894 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
2725, 26anbi12d 626 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝐶 → (((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
2827rspcev 3526 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑃 ∧ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
2918, 20, 23, 28syl12anc 872 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
3016, 29jca 509 . . . . . 6 ((((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
3130ex 403 . . . . 5 (((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
3231reximdva 3225 . . . 4 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
3315, 32mpd 15 . . 3 ((((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
345adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35 colperpex.5 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
3635adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
377adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝑃)
389adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵𝑃)
3912adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝐵)
401, 3, 4, 34, 36, 37, 38, 39tglowdim2ln 25963 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑑𝑃 ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
4133, 40r19.29a 3288 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
425adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
437adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝑃)
449adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵𝑃)
4517adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶𝑃)
4612adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝐵)
47 simpr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
481, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 45, 46, 47colperpexlem3 26041 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
4941, 48pm2.61dan 849 1 (𝜑 → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  wo 880   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  wrex 3118   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  2c2 11406  Basecbs 16222  distcds 16314  TarskiGcstrkg 25742  DimTarskiGcstrkgld 25746  Itvcitv 25748  LineGclng 25749  ⟂Gcperpg 26007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-concat 13631  df-s1 13656  df-s2 13969  df-s3 13970  df-trkgc 25760  df-trkgb 25761  df-trkgcb 25762  df-trkgld 25764  df-trkg 25765  df-cgrg 25823  df-leg 25895  df-mir 25965  df-rag 26006  df-perpg 26008
This theorem is referenced by:  midex  26046  oppperpex  26062
  Copyright terms: Public domain W3C validator