Theorem colperpex 28712

Description: In dimension 2 and above, on a line (𝐴𝐿𝐵) there is always a perpendicular 𝑃 from 𝐴 on a given plane (here given by 𝐶, in case 𝐶 does not lie on the line). Theorem 8.21 of [Schwabhauser] p. 63. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colperpex.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colperpex.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colperpex.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
colperpex.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
colperpex.5	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Assertion

Ref	Expression
colperpex	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))

Distinct variable groups:   − ,𝑝,𝑡   𝐴,𝑝,𝑡   𝐵,𝑝,𝑡   𝐶,𝑝,𝑡   𝐺,𝑝,𝑡   𝐼,𝑝,𝑡   𝐿,𝑝,𝑡   𝑃,𝑝,𝑡   𝜑,𝑝,𝑡

Proof of Theorem colperpex

Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		colperpex.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		colperpex.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		colperpex.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
12		colperpex.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
13	12	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
15	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14	colperpexlem3 28711	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))))
16		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
17		colperpex.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	ad5antr 734	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19		simp-5r 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
20	19	orcd 873	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
21	5	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
23	1, 2, 3, 21, 18, 22	tgbtwntriv1 28470	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
24		eleq1 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
25	24	orbi1d 916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)))
26		eleq1 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
27	25, 26	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
28	27	rspcev 3573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
29	18, 20, 23, 28	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
30	16, 29	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
32	31	reximdva 3146	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
33	15, 32	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
34	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35		colperpex.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
37	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
38	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
39	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
40	1, 3, 4, 34, 36, 37, 38, 39	tglowdim2ln 28630	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
41	33, 40	r19.29a 3141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
42	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
44	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
45	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
46	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
47		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
48	1, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 45, 46, 47	colperpexlem3 28711	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
49	41, 48	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  2c2 12187  Basecbs 17122  distcds 17172  TarskiGcstrkg 28406  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28410  Itvcitv 28412  LineGclng 28413  ⟂Gcperpg 28674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-s1 14506  df-s2 14757  df-s3 14758  df-trkgc 28427  df-trkgb 28428  df-trkgcb 28429  df-trkgld 28431  df-trkg 28432  df-cgrg 28490  df-leg 28562  df-mir 28632  df-rag 28673  df-perpg 28675

This theorem is referenced by:  midex  28716  oppperpex  28732