Theorem colperpex 29051

Description: In dimension 2 and above, on a line (𝐴𝐿𝐵) there is always a perpendicular 𝑃 from 𝐴 on a given plane (here given by 𝐶, in case 𝐶 does not lie on the line). Theorem 8.21 of [Schwabhauser] p. 63. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colperpex.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colperpex.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colperpex.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
colperpex.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
colperpex.5	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Assertion

Ref	Expression
colperpex	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))

Distinct variable groups:   − ,𝑝,𝑡   𝐴,𝑝,𝑡   𝐵,𝑝,𝑡   𝐶,𝑝,𝑡   𝐺,𝑝,𝑡   𝐼,𝑝,𝑡   𝐿,𝑝,𝑡   𝑃,𝑝,𝑡   𝜑,𝑝,𝑡

Proof of Theorem colperpex

Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		colperpex.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		colperpex.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		colperpex.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		simplr 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
12		colperpex.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
13	12	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
15	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14	colperpexlem3 29050	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))))
16		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
17		colperpex.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	ad5antr 747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19		simp-5r 798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
20	19	orcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
21	5	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
23	1, 2, 3, 21, 18, 22	tgbtwntriv1 28797	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
24		eleq1 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
25	24	orbi1d 930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)))
26		eleq1 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
27	25, 26	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
28	27	rspcev 3584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
29	18, 20, 23, 28	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
30	16, 29	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
31	30	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
32	31	reximdva 3181	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
33	15, 32	mpd 16	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
34	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35		colperpex.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
36	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
37	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
38	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
39	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
40	1, 3, 4, 34, 36, 37, 38, 39	tglowdim2ln 28962	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
41	33, 40	r19.29a 3176	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
42	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
44	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
45	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
46	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
47		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
48	1, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 45, 46, 47	colperpexlem3 29050	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
49	41, 48	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  2c2 12313  Basecbs 17294  distcds 17344  TarskiGcstrkg 28733  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28737  Itvcitv 28739  LineGclng 28740  ⟂Gcperpg 29012

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-trkgc 28754  df-trkgb 28755  df-trkgcb 28756  df-trkgld 28758  df-trkg 28759  df-cgrg 28817  df-leg 28889  df-mir 28967  df-rag 29011  df-perpg 29013

This theorem is used by:  midex  29055  oppperpex  29071