Theorem colperpex 27675

Description: In dimension 2 and above, on a line (𝐴𝐿𝐵) there is always a perpendicular 𝑃 from 𝐴 on a given plane (here given by 𝐶, in case 𝐶 does not lie on the line). Theorem 8.21 of [Schwabhauser] p. 63. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colperpex.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colperpex.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colperpex.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
colperpex.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
colperpex.5	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Assertion

Ref	Expression
colperpex	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))

Distinct variable groups:   − ,𝑝,𝑡   𝐴,𝑝,𝑡   𝐵,𝑝,𝑡   𝐶,𝑝,𝑡   𝐺,𝑝,𝑡   𝐼,𝑝,𝑡   𝐿,𝑝,𝑡   𝑃,𝑝,𝑡   𝜑,𝑝,𝑡

Proof of Theorem colperpex

Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		colperpex.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		colperpex.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		colperpex.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		simplr 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
12		colperpex.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
13	12	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
14		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
15	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14	colperpexlem3 27674	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))))
16		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
17		colperpex.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	ad5antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19		simp-5r 784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
20	19	orcd 871	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
21	5	ad5antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
23	1, 2, 3, 21, 18, 22	tgbtwntriv1 27433	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
24		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
25	24	orbi1d 915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)))
26		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
27	25, 26	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
28	27	rspcev 3581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
29	18, 20, 23, 28	syl12anc 835	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
30	16, 29	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
31	30	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
32	31	reximdva 3165	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))))
33	15, 32	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
34	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35		colperpex.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
36	35	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
37	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
38	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
39	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
40	1, 3, 4, 34, 36, 37, 38, 39	tglowdim2ln 27593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
41	33, 40	r19.29a 3159	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
42	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
44	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
45	17	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
46	12	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
47		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
48	1, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 45, 46, 47	colperpexlem3 27674	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
49	41, 48	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  2c2 12208  Basecbs 17083  distcds 17142  TarskiGcstrkg 27369  Dim_TarskiG≥cstrkgld 27373  Itvcitv 27375  LineGclng 27376  ⟂Gcperpg 27637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-s2 14737  df-s3 14738  df-trkgc 27390  df-trkgb 27391  df-trkgcb 27392  df-trkgld 27394  df-trkg 27395  df-cgrg 27453  df-leg 27525  df-mir 27595  df-rag 27636  df-perpg 27638

This theorem is referenced by:  midex  27679  oppperpex  27695