Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | colperpex.p |
. . . . 5
⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺) |
2 | | colperpex.d |
. . . . 5
⊢ − =
(dist‘𝐺) |
3 | | colperpex.i |
. . . . 5
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) |
4 | | colperpex.l |
. . . . 5
⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺) |
5 | | colperpex.g |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG) |
6 | 5 | ad3antrrr 727 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
7 | | colperpex.1 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃) |
8 | 7 | ad3antrrr 727 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
9 | | colperpex.2 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃) |
10 | 9 | ad3antrrr 727 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
11 | | simplr 766 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝑑 ∈ 𝑃) |
12 | | colperpex.4 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵) |
13 | 12 | ad3antrrr 727 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
14 | | simpr 485 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) |
15 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14 | colperpexlem3 27093 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) |
16 | | simprl 768 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) |
17 | | colperpex.3 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃) |
18 | 17 | ad5antr 731 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ 𝑃) |
19 | | simp-5r 783 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) |
20 | 19 | orcd 870 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) |
21 | 5 | ad5antr 731 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
22 | | simplr 766 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝑝 ∈ 𝑃) |
23 | 1, 2, 3, 21, 18, 22 | tgbtwntriv1 26852 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) |
24 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))) |
25 | 24 | orbi1d 914 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))) |
26 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) |
27 | 25, 26 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = 𝐶 → (((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) ↔ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) |
28 | 27 | rspcev 3561 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) |
29 | 18, 20, 23, 28 | syl12anc 834 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) |
30 | 16, 29 | jca 512 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝)))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) |
31 | 30 | ex 413 |
. . . . 5
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) |
32 | 31 | reximdva 3203 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → (∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑𝐼𝑝))) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) |
33 | 15, 32 | mpd 15 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) |
34 | 5 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
35 | | colperpex.5 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2) |
36 | 35 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2) |
37 | 7 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
38 | 9 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
39 | 12 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
40 | 1, 3, 4, 34, 36, 37, 38, 39 | tglowdim2ln 27012 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ¬ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) |
41 | 33, 40 | r19.29a 3218 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) |
42 | 5 | adantr 481 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
43 | 7 | adantr 481 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
44 | 9 | adantr 481 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
45 | 17 | adantr 481 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃) |
46 | 12 | adantr 481 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
47 | | simpr 485 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) |
48 | 1, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 45, 46, 47 | colperpexlem3 27093 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) |
49 | 41, 48 | pm2.61dan 810 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) |