Theorem cshwsidrepswmod0 17063

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number results in the word itself, the shift must be either by 0 (modulo the length of the word) or the word must be a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwsidrepswmod0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 → ((𝐿 mod (♯‘𝑊)) = 0 ∨ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))))

Proof of Theorem cshwsidrepswmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 865	. . 3 ⊢ ((𝐿 mod (♯‘𝑊)) = 0 → ((𝐿 mod (♯‘𝑊)) = 0 ∨ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))
2	1	2a1d 26	. 2 ⊢ ((𝐿 mod (♯‘𝑊)) = 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 → ((𝐿 mod (♯‘𝑊)) = 0 ∨ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))))
3		3simpa 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
4	3	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
5		simplr3 1214	. . . . 5 ⊢ ((((𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝐿 ∈ ℤ)
6		simpll 765	. . . . 5 ⊢ ((((𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0)
7		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)
8		cshwsidrepsw 17062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))
9	8	imp 405	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
10	4, 5, 6, 7, 9	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((((𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
11	10	olcd 872	. . 3 ⊢ ((((𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → ((𝐿 mod (♯‘𝑊)) = 0 ∨ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))
12	11	exp31 418	. 2 ⊢ ((𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 → ((𝐿 mod (♯‘𝑊)) = 0 ∨ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))))
13	2, 12	pm2.61ine 3015	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 → ((𝐿 mod (♯‘𝑊)) = 0 ∨ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  0cc0 11138  ℤcz 12588   mod cmo 13866  ♯chash 14321  Word cword 14496   repeatS creps 14750   cyclShift ccsh 14770  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-reps 14751  df-csh 14771  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-phi 16734

This theorem is referenced by:  cshwshashlem1  17064