Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapxlem3 40916
Description: Lemma for irrapx1 40920. By subtraction, there is a multiple very close to an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem3
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 irrapxlem2 40915 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐵)∃𝑏 ∈ (0...𝐵)(𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵)))
2 1z 12451 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 1 ∈ ℤ)
4 simpllr 773 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐵 ∈ ℕ)
54nnzd 12526 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐵 ∈ ℤ)
6 simplrr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...𝐵))
76elfzelzd 13358 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
8 simplrl 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (0...𝐵))
98elfzelzd 13358 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
107, 9zsubcld 12532 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ∈ ℤ)
11 1m1e0 12146 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
12 elfzelz 13357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (0...𝐵) → 𝑎 ∈ ℤ)
1312ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → 𝑎 ∈ ℤ)
1413zred 12527 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → 𝑎 ∈ ℝ)
15 elfzelz 13357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (0...𝐵) → 𝑏 ∈ ℤ)
1615ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → 𝑏 ∈ ℤ)
1716zred 12527 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → 𝑏 ∈ ℝ)
1814, 17posdifd 11663 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏𝑎)))
1918biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 < (𝑏𝑎))
2011, 19eqbrtrid 5127 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (1 − 1) < (𝑏𝑎))
21 zlem1lt 12473 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑎) ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑏𝑎) ↔ (1 − 1) < (𝑏𝑎)))
222, 10, 21sylancr 587 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (1 ≤ (𝑏𝑎) ↔ (1 − 1) < (𝑏𝑎)))
2320, 22mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 1 ≤ (𝑏𝑎))
247zred 12527 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
259zred 12527 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
2624, 25resubcld 11504 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
27 0red 11079 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ∈ ℝ)
2824, 27resubcld 11504 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏 − 0) ∈ ℝ)
294nnred 12089 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ)
30 elfzle1 13360 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...𝐵) → 0 ≤ 𝑎)
318, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ≤ 𝑎)
3227, 25, 24, 31lesub2dd 11693 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ≤ (𝑏 − 0))
3324recnd 11104 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℂ)
3433subid1d 11422 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏 − 0) = 𝑏)
35 elfzle2 13361 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0...𝐵) → 𝑏𝐵)
366, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏𝐵)
3734, 36eqbrtrd 5114 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏 − 0) ≤ 𝐵)
3826, 28, 29, 32, 37letrd 11233 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ≤ 𝐵)
393, 5, 10, 23, 38elfzd 13348 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵))
4039adantrr 714 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵))) → (𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵))
41 rpre 12839 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
4241ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
4342, 25remulcld 11106 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ)
4442, 24remulcld 11106 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
45 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
4625, 24, 45ltled 11224 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎𝑏)
47 rpgt0 12843 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
4847ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 < 𝐴)
49 lemul2 11929 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝐴 · 𝑎) ≤ (𝐴 · 𝑏)))
5025, 24, 42, 48, 49syl112anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑎𝑏 ↔ (𝐴 · 𝑎) ≤ (𝐴 · 𝑏)))
5146, 50mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑎) ≤ (𝐴 · 𝑏))
52 flword2 13634 . . . . . . . 8 (((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑎) ≤ (𝐴 · 𝑏)) → (⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐴 · 𝑎))))
5343, 44, 51, 52syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐴 · 𝑎))))
54 uznn0sub 12718 . . . . . . 7 ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐴 · 𝑎))) → ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) ∈ ℕ0)
5553, 54syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) ∈ ℕ0)
5655adantrr 714 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵))) → ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) ∈ ℕ0)
5742recnd 11104 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℂ)
5825recnd 11104 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℂ)
5957, 33, 58subdid 11532 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · (𝑏𝑎)) = ((𝐴 · 𝑏) − (𝐴 · 𝑎)))
6059oveq1d 7352 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))) = (((𝐴 · 𝑏) − (𝐴 · 𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))))
6144recnd 11104 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℂ)
6243recnd 11104 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℂ)
6344flcld 13619 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ ℤ)
6463zcnd 12528 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ ℂ)
6543flcld 13619 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑎)) ∈ ℤ)
6665zcnd 12528 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑎)) ∈ ℂ)
6761, 62, 64, 66sub4d 11482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (((𝐴 · 𝑏) − (𝐴 · 𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))) = (((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))) − ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))))
68 modfrac 13705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝑏) mod 1) = ((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))))
6944, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑏) mod 1) = ((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))))
7069eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))) = ((𝐴 · 𝑏) mod 1))
71 modfrac 13705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) = ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))
7243, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) = ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))
7372eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) = ((𝐴 · 𝑎) mod 1))
7470, 73oveq12d 7355 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))) − ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))) = (((𝐴 · 𝑏) mod 1) − ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))
7560, 67, 743eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))) = (((𝐴 · 𝑏) mod 1) − ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))
7675fveq2d 6829 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) = (abs‘(((𝐴 · 𝑏) mod 1) − ((𝐴 · 𝑎) mod 1))))
77 1rp 12835 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 1 ∈ ℝ+)
7944, 78modcld 13696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑏) mod 1) ∈ ℝ)
8079recnd 11104 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑏) mod 1) ∈ ℂ)
8143, 78modcld 13696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ)
8281recnd 11104 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℂ)
8380, 82abssubd 15264 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (abs‘(((𝐴 · 𝑏) mod 1) − ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) = (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))))
8476, 83eqtr2d 2777 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) = (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))))
8584breq1d 5102 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵)))
8685biimpd 228 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵) → (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵)))
8786impr 455 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵))) → (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵))
88 oveq2 7345 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑏𝑎) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑏𝑎)))
8988fvoveq1d 7359 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑏𝑎) → (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) = (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦)))
9089breq1d 5102 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑏𝑎) → ((abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦)) < (1 / 𝐵)))
91 oveq2 7345 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) → ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦) = ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))))
9291fveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝑦 = ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦)) = (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))))
9392breq1d 5102 . . . . . 6 (𝑦 = ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) → ((abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦)) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵)))
9490, 93rspc2ev 3581 . . . . 5 (((𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵) ∧ ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵))
9540, 56, 87, 94syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵))
9695ex 413 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵)))
9796rexlimdvva 3201 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ (0...𝐵)∃𝑏 ∈ (0...𝐵)(𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵)))
981, 97mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3070   class class class wbr 5092  cfv 6479  (class class class)co 7337  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   · cmul 10977   < clt 11110  cle 11111  cmin 11306   / cdiv 11733  cn 12074  0cn0 12334  cz 12420  cuz 12683  +crp 12831  ...cfz 13340  cfl 13611   mod cmo 13690  abscabs 15044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-oadd 8371  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-ico 13186  df-fz 13341  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046
This theorem is referenced by:  irrapxlem4  40917
  Copyright terms: Public domain W3C validator