Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapxlem3 42145
Description: Lemma for irrapx1 42149. By subtraction, there is a multiple very close to an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ

Proof of Theorem irrapxlem3
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 irrapxlem2 42144 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)โˆƒ๐‘ โˆˆ (0...๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โˆง (absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1))) < (1 / ๐ต)))
2 1z 12596 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค
32a1i 11 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
4 simpllr 773 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
54nnzd 12589 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
6 simplrr 775 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))
76elfzelzd 13508 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
8 simplrl 774 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต))
98elfzelzd 13508 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
107, 9zsubcld 12675 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โˆˆ โ„ค)
11 1m1e0 12288 . . . . . . . . 9 (1 โˆ’ 1) = 0
12 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
1312ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
1413zred 12670 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
15 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (0...๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1615ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1716zred 12670 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1814, 17posdifd 11805 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โ†’ (๐‘Ž < ๐‘ โ†” 0 < (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))
1918biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ 0 < (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))
2011, 19eqbrtrid 5176 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (1 โˆ’ 1) < (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))
21 zlem1lt 12618 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โ†” (1 โˆ’ 1) < (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))
222, 10, 21sylancr 586 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โ†” (1 โˆ’ 1) < (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))
2320, 22mpbird 257 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž))
247zred 12670 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
259zred 12670 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
2624, 25resubcld 11646 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
27 0red 11221 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2824, 27resubcld 11646 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ 0) โˆˆ โ„)
294nnred 12231 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
30 elfzle1 13510 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž)
318, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž)
3227, 25, 24, 31lesub2dd 11835 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 0))
3324recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3433subid1d 11564 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ 0) = ๐‘)
35 elfzle2 13511 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (0...๐ต) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ต)
366, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ต)
3734, 36eqbrtrd 5163 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ 0) โ‰ค ๐ต)
3826, 28, 29, 32, 37letrd 11375 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โ‰ค ๐ต)
393, 5, 10, 23, 38elfzd 13498 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โˆˆ (1...๐ต))
4039adantrr 714 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง (๐‘Ž < ๐‘ โˆง (absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1))) < (1 / ๐ต))) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โˆˆ (1...๐ต))
41 rpre 12988 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4241ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4342, 25remulcld 11248 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
4442, 24remulcld 11248 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
45 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐‘Ž < ๐‘)
4625, 24, 45ltled 11366 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค ๐‘)
47 rpgt0 12992 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐ด)
4847ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ 0 < ๐ด)
49 lemul2 12071 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐ด ยท ๐‘Ž) โ‰ค (๐ด ยท ๐‘)))
5025, 24, 42, 48, 49syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ†” (๐ด ยท ๐‘Ž) โ‰ค (๐ด ยท ๐‘)))
5146, 50mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ž) โ‰ค (๐ด ยท ๐‘))
52 flword2 13784 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘Ž) โ‰ค (๐ด ยท ๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))))
5343, 44, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))))
54 uznn0sub 12865 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))) โˆˆ โ„•0)
5553, 54syl 17 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))) โˆˆ โ„•0)
5655adantrr 714 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง (๐‘Ž < ๐‘ โˆง (absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1))) < (1 / ๐ต))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))) โˆˆ โ„•0)
5742recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5825recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
5957, 33, 58subdid 11674 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) = ((๐ด ยท ๐‘) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘Ž)))
6059oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž)))) = (((๐ด ยท ๐‘) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž)))))
6144recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
6243recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
6344flcld 13769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
6463zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
6543flcld 13769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž)) โˆˆ โ„ค)
6665zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž)) โˆˆ โ„‚)
6761, 62, 64, 66sub4d 11624 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž)))) = (((๐ด ยท ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘))) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž)))))
68 modfrac 13855 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1) = ((๐ด ยท ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘))))
6944, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1) = ((๐ด ยท ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘))))
7069eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘))) = ((๐ด ยท ๐‘) mod 1))
71 modfrac 13855 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) = ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))))
7243, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) = ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))))
7372eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))) = ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))
7470, 73oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘))) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž)))) = (((๐ด ยท ๐‘) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)))
7560, 67, 743eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž)))) = (((๐ด ยท ๐‘) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)))
7675fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))))) = (absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))))
77 1rp 12984 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„+
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
7944, 78modcld 13846 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1) โˆˆ โ„)
8079recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1) โˆˆ โ„‚)
8143, 78modcld 13846 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆˆ โ„)
8281recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆˆ โ„‚)
8380, 82abssubd 15406 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) = (absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1))))
8476, 83eqtr2d 2767 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ (absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1))) = (absโ€˜((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))))))
8584breq1d 5151 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1))) < (1 / ๐ต) โ†” (absโ€˜((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))))) < (1 / ๐ต)))
8685biimpd 228 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง ๐‘Ž < ๐‘) โ†’ ((absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1))) < (1 / ๐ต) โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))))) < (1 / ๐ต)))
8786impr 454 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง (๐‘Ž < ๐‘ โˆง (absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1))) < (1 / ๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))))) < (1 / ๐ต))
88 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)))
8988fvoveq1d 7427 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ๐‘ฆ)))
9089breq1d 5151 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / ๐ต) โ†” (absโ€˜((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / ๐ต)))
91 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ๐‘ฆ) = ((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž)))))
9291fveq2d 6889 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))) โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))))))
9392breq1d 5151 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))) โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / ๐ต) โ†” (absโ€˜((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))))) < (1 / ๐ต)))
9490, 93rspc2ev 3619 . . . . 5 (((๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) โˆˆ (1...๐ต) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))) โˆˆ โ„•0 โˆง (absโ€˜((๐ด ยท (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)) โˆ’ ((โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด ยท ๐‘Ž))))) < (1 / ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / ๐ต))
9540, 56, 87, 94syl3anc 1368 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โˆง (๐‘Ž < ๐‘ โˆง (absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1))) < (1 / ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / ๐ต))
9695ex 412 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...๐ต))) โ†’ ((๐‘Ž < ๐‘ โˆง (absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1))) < (1 / ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / ๐ต)))
9796rexlimdvva 3205 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)โˆƒ๐‘ โˆˆ (0...๐ต)(๐‘Ž < ๐‘ โˆง (absโ€˜(((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘) mod 1))) < (1 / ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / ๐ต)))
981, 97mpd 15 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12980  ...cfz 13490  โŒŠcfl 13761   mod cmo 13840  abscabs 15187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  irrapxlem4  42146
  Copyright terms: Public domain W3C validator