Theorem prmlem1a 17068

Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt	⊢ 1 < 𝑁
prmlem1.2	⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3	⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1a.x	⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
prmlem1a	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prmlem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		prmlem1.gt	. . 3 ⊢ 1 < 𝑁
3		eluz2b2 12862	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
4	1, 2, 3	mpbir2an 712	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)
5		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
6	5	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
7	6	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)))
8		prmnn 16634	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
10		eldifsn 4730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
11		n2dvds1 16328	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
12		prmlem1a.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
13		prmlem1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℙ → ¬ 3 ∥ 𝑁)
15		3p2e5 12318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
16	12, 14, 15	prmlem0 17067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 2 ∥ 3 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
17		1nprm 16639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
18	17	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℙ → ¬ 1 ∥ 𝑁)
19		1p2e3 12310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 2) = 3
20	16, 18, 19	prmlem0 17067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 1 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
21	11, 20	mpan 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
22		nnuz 12818	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23	21, 22	eleq2s 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
24	23	expd 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
25	10, 24	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
26	9, 25	mpcom 38	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
27		prmlem1.2	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
28	27	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁))
29	7, 26, 28	pm2.61ne 3018	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
30	29	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
31		isprm5 16668	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
32	4, 30, 31	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  5c5 12230  ℤ_≥cuz 12779  ↑cexp 14014   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  prmlem1  17069  prmlem2  17081