Theorem prmlem1a 17125

Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt	⊢ 1 < 𝑁
prmlem1.2	⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3	⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1a.x	⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
prmlem1a	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prmlem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		prmlem1.gt	. . 3 ⊢ 1 < 𝑁
3		eluz2b2 12919	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
4	1, 2, 3	mpbir2an 721	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)
5		breq1 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
6	5	notbid 320	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
7	6	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)))
8		prmnn 16691	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
9	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
10		eldifsn 4745	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
11		n2dvds1 16385	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
12		prmlem1a.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
13		prmlem1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℙ → ¬ 3 ∥ 𝑁)
15		3p2e5 12365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
16	12, 14, 15	prmlem0 17124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 2 ∥ 3 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
17		1nprm 16696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
18	17	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℙ → ¬ 1 ∥ 𝑁)
19		1p2e3 12357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 2) = 3
20	16, 18, 19	prmlem0 17124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 1 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
21	11, 20	mpan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
22		nnuz 12875	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23	21, 22	eleq2s 2879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
24	23	expd 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
25	10, 24	biimtrrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
26	9, 25	mpcom 38	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
27		prmlem1.2	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
28	27	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁))
29	7, 26, 28	pm2.61ne 3041	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
30	29	rgen 3077	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
31		isprm5 16725	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
32	4, 30, 31	mpbir2an 721	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   ∖ cdif 3901  {csn 4581   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1c1 11071   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℕcn 12207  2c2 12269  3c3 12270  5c5 12272  ℤ_≥cuz 12836  ↑cexp 14071   ∥ cdvds 16269  ℙcprime 16688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-prm 16689

This theorem is referenced by:  prmlem1  17126  prmlem2  17139