MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem1a 17049
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt 1 < 𝑁
prmlem1.2 ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3 ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1a.x ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
Assertion
Ref Expression
prmlem1a 𝑁 ∈ ℙ
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prmlem1a
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
2 prmlem1.gt . . 3 1 < 𝑁
3 eluz2b2 12909 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
41, 2, 3mpbir2an 708 . 2 𝑁 ∈ (ℤ‘2)
5 breq1 5144 . . . . . 6 (𝑥 = 2 → (𝑥𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
65notbid 318 . . . . 5 (𝑥 = 2 → (¬ 𝑥𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
76imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 2 → (((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁) ↔ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)))
8 prmnn 16618 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
10 eldifsn 4785 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
11 n2dvds1 16318 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ∥ 1
12 prmlem1a.x . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
13 prmlem1.3 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 3 ∥ 𝑁
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℙ → ¬ 3 ∥ 𝑁)
15 3p2e5 12367 . . . . . . . . . . 11 (3 + 2) = 5
1612, 14, 15prmlem0 17048 . . . . . . . . . 10 ((¬ 2 ∥ 3 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
17 1nprm 16623 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ∈ ℙ
1817pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℙ → ¬ 1 ∥ 𝑁)
19 1p2e3 12359 . . . . . . . . . 10 (1 + 2) = 3
2016, 18, 19prmlem0 17048 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 1 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
2111, 20mpan 687 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
22 nnuz 12869 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2321, 22eleq2s 2845 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
2423expd 415 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁)))
2510, 24biimtrrid 242 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁)))
269, 25mpcom 38 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
27 prmlem1.2 . . . . 5 ¬ 2 ∥ 𝑁
28272a1i 12 . . . 4 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁))
297, 26, 28pm2.61ne 3021 . . 3 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
3029rgen 3057 . 2 𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁)
31 isprm5 16651 . 2 (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁)))
324, 30, 31mpbir2an 708 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  cdif 3940  {csn 4623   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   < clt 11252  cle 11253  cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  5c5 12274  cuz 12826  cexp 14032  cdvds 16204  cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-prm 16616
This theorem is referenced by:  prmlem1  17050  prmlem2  17062
  Copyright terms: Public domain W3C validator