Theorem prmlem1a 16808

Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt	⊢ 1 < 𝑁
prmlem1.2	⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3	⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1a.x	⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
prmlem1a	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prmlem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		prmlem1.gt	. . 3 ⊢ 1 < 𝑁
3		eluz2b2 12661	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
4	1, 2, 3	mpbir2an 708	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)
5		breq1 5077	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
6	5	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
7	6	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)))
8		prmnn 16379	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
10		eldifsn 4720	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
11		n2dvds1 16077	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
12		prmlem1a.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
13		prmlem1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℙ → ¬ 3 ∥ 𝑁)
15		3p2e5 12124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
16	12, 14, 15	prmlem0 16807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 2 ∥ 3 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
17		1nprm 16384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
18	17	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℙ → ¬ 1 ∥ 𝑁)
19		1p2e3 12116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 2) = 3
20	16, 18, 19	prmlem0 16807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 1 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
21	11, 20	mpan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
22		nnuz 12621	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23	21, 22	eleq2s 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
24	23	expd 416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
25	10, 24	syl5bir 242	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
26	9, 25	mpcom 38	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
27		prmlem1.2	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
28	27	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁))
29	7, 26, 28	pm2.61ne 3030	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
30	29	rgen 3074	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
31		isprm5 16412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
32	4, 30, 31	mpbir2an 708	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  5c5 12031  ℤ_≥cuz 12582  ↑cexp 13782   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  prmlem1  16809  prmlem2  16821