Theorem prmlem1a 17191

Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt	⊢ 1 < 𝑁
prmlem1.2	⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3	⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1a.x	⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
prmlem1a	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prmlem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		prmlem1.gt	. . 3 ⊢ 1 < 𝑁
3		eluz2b2 12963	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)
5		breq1 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
6	5	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
7	6	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → (((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)))
8		prmnn 16757	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
10		eldifsn 4758	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
11		n2dvds1 16451	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
12		prmlem1a.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
13		prmlem1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℙ → ¬ 3 ∥ 𝑁)
15		3p2e5 12409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
16	12, 14, 15	prmlem0 17190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 2 ∥ 3 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
17		1nprm 16762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
18	17	pm2.21i 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℙ → ¬ 1 ∥ 𝑁)
19		1p2e3 12401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 2) = 3
20	16, 18, 19	prmlem0 17190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 1 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
21	11, 20	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
22		nnuz 12919	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23	21, 22	eleq2s 2884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
24	23	expd 421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
25	10, 24	biimtrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
26	9, 25	mpcom 39	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
27		prmlem1.2	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
28	27	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁))
29	7, 26, 28	pm2.61ne 3046	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
30	29	rgen 3084	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
31		isprm5 16791	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
32	4, 30, 31	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082   ∖ cdif 3905  {csn 4594   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  1c1 11119   < clt 11261   ≤ cle 11262  ℕcn 12251  2c2 12313  3c3 12314  5c5 12316  ℤ_≥cuz 12880  ↑cexp 14117   ∥ cdvds 16335  ℙcprime 16754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336  df-prm 16755

This theorem is used by:  prmlem1  17192  prmlem2  17205