Theorem vma1 26921

Description: The von Mangoldt function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vma1	⊢ (Λ‘1) = 0

Proof of Theorem vma1

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2		prmuz2 16640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
4		eluz2b2 12912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
5	3, 4	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
6	5	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
7	6	nnred 12234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ)
8		nnnn0 12486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	7, 9	reexpcld 14135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℝ)
11	5	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < 𝑝)
12	6	nncnd 12235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℂ)
13	12	exp1d 14113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
14	6	nnge1d 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑝)
15		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
16		nnuz 12872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eleqtrdi 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
18	7, 14, 17	leexp2ad 14224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) ≤ (𝑝↑𝑘))
19	13, 18	eqbrtrrd 5172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ≤ (𝑝↑𝑘))
20	1, 7, 10, 11, 19	ltletrd 11381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < (𝑝↑𝑘))
21	1, 20	ltned 11357	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≠ (𝑝↑𝑘))
22	21	neneqd 2944	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 1 = (𝑝↑𝑘))
23	22	nrexdv 3148	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ 1 = (𝑝↑𝑘))
24	23	nrex 3073	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 1 = (𝑝↑𝑘)
25		1nn 12230	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
26		isppw2 26870	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ → ((Λ‘1) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 1 = (𝑝↑𝑘)))
27	25, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((Λ‘1) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 1 = (𝑝↑𝑘))
28	27	necon1bbii 2989	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 1 = (𝑝↑𝑘) ↔ (Λ‘1) = 0)
29	24, 28	mpbi 229	1 ⊢ (Λ‘1) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   < clt 11255   ≤ cle 11256  ℕcn 12219  2c2 12274  ℕ₀cn0 12479  ℤ_≥cuz 12829  ↑cexp 14034  ℙcprime 16615  Λcvma 26847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-pi 16023  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16777  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-mulg 18991  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-fbas 21145  df-fg 21146  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-cld 22756  df-ntr 22757  df-cls 22758  df-nei 22835  df-lp 22873  df-perf 22874  df-cn 22964  df-cnp 22965  df-haus 23052  df-tx 23299  df-hmeo 23492  df-fil 23583  df-fm 23675  df-flim 23676  df-flf 23677  df-xms 24059  df-ms 24060  df-tms 24061  df-cncf 24631  df-limc 25628  df-dv 25629  df-log 26316  df-vma 26853

This theorem is referenced by:  chp1  26922