Theorem vma1 25430

Description: The von Mangoldt function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vma1	⊢ (Λ‘1) = 0

Proof of Theorem vma1

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10493	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2		prmuz2 15874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
4		eluz2b2 12175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
5	3, 4	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
6	5	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
7	6	nnred 11506	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ)
8		nnnn0 11757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	7, 9	reexpcld 13382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℝ)
11	5	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < 𝑝)
12	6	nncnd 11507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℂ)
13	12	exp1d 13360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
14	6	nnge1d 11538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑝)
15		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
16		nnuz 12135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	syl6eleq 2893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
18	7, 14, 17	leexp2ad 13472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) ≤ (𝑝↑𝑘))
19	13, 18	eqbrtrrd 4990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ≤ (𝑝↑𝑘))
20	1, 7, 10, 11, 19	ltletrd 10652	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < (𝑝↑𝑘))
21	1, 20	ltned 10628	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≠ (𝑝↑𝑘))
22	21	neneqd 2989	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 1 = (𝑝↑𝑘))
23	22	nrexdv 3233	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ 1 = (𝑝↑𝑘))
24	23	nrex 3232	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 1 = (𝑝↑𝑘)
25		1nn 11502	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
26		isppw2 25379	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ → ((Λ‘1) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 1 = (𝑝↑𝑘)))
27	25, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((Λ‘1) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 1 = (𝑝↑𝑘))
28	27	necon1bbii 3033	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 1 = (𝑝↑𝑘) ↔ (Λ‘1) = 0)
29	24, 28	mpbi 231	1 ⊢ (Λ‘1) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∃wrex 3106   class class class wbr 4966  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  0cc0 10388  1c1 10389   < clt 10526   ≤ cle 10527  ℕcn 11491  2c2 11545  ℕ₀cn0 11750  ℤ_≥cuz 12098  ↑cexp 13284  ℙcprime 15849  Λcvma 25356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-dju 9181  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ioc 12598  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-mod 13093  df-seq 13225  df-exp 13285  df-fac 13489  df-bc 13518  df-hash 13546  df-shft 14265  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-limsup 14667  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-ef 15259  df-sin 15261  df-cos 15262  df-pi 15264  df-dvds 15446  df-gcd 15682  df-prm 15850  df-pc 16008  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-rest 16530  df-topn 16531  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-topgen 16551  df-pt 16552  df-prds 16555  df-xrs 16609  df-qtop 16614  df-imas 16615  df-xps 16617  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-mulg 17987  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-fbas 20229  df-fg 20230  df-cnfld 20233  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-cld 21316  df-ntr 21317  df-cls 21318  df-nei 21395  df-lp 21433  df-perf 21434  df-cn 21524  df-cnp 21525  df-haus 21612  df-tx 21859  df-hmeo 22052  df-fil 22143  df-fm 22235  df-flim 22236  df-flf 22237  df-xms 22618  df-ms 22619  df-tms 22620  df-cncf 23174  df-limc 24152  df-dv 24153  df-log 24826  df-vma 25362

This theorem is referenced by:  chp1  25431