Theorem fldcatALTV 49521

Description: The restriction of the category of (unital) rings to the set of field homomorphisms is a category, the "category of fields". (Contributed by AV, 20-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
drhmsubcALTV.c	⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
drhmsubcALTV.j	⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
fldhmsubcALTV.d	⊢ 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
fldhmsubcALTV.f	⊢ 𝐹 = (𝑟 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))

Assertion

Ref	Expression
fldcatALTV	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝐷,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠, 𝑟)   𝐽(𝑠, 𝑟)

Proof of Theorem fldcatALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfld 20998	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ Field ↔ (𝑟 ∈ DivRing ∧ 𝑟 ∈ CRing))
2		crngring 20477	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ CRing → 𝑟 ∈ Ring)
3	2	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ DivRing ∧ 𝑟 ∈ CRing) → 𝑟 ∈ Ring)
4	1, 3	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ Field → 𝑟 ∈ Ring)
5	4	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑟 ∈ Field 𝑟 ∈ Ring
6		fldhmsubcALTV.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
7		fldhmsubcALTV.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑟 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
8	5, 6, 7	sringcatALTV 49516	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4089  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Catccat 17843   ↾_cat cresc 17988  Ringcrg 20464  CRingccrg 20465   RingHom crh 20704  DivRingcdr 20985  Fieldcfield 20986  RingCatALTVcringcALTV 49477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-cat 17847  df-cid 17848  df-homf 17849  df-ssc 17990  df-resc 17991  df-subc 17992  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-grp 19152  df-ghm 19433  df-mgp 20366  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-rhm 20707  df-field 20988  df-ringcALTV 49478

This theorem is used by:  fldcALTV  49522