Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumf1of Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumf1of 43805
Description: Re-index a finite sum using a bijection. Same as fsumf1o 15608, but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1of.1 𝑘𝜑
fsumf1of.2 𝑛𝜑
fsumf1of.3 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
fsumf1of.4 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
fsumf1of.5 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
fsumf1of.6 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
fsumf1of.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumf1of (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1of
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3869 . . . 4 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
2 nfcv 2907 . . . 4 𝑖𝐴
3 nfcv 2907 . . . 4 𝑘𝐴
4 nfcv 2907 . . . 4 𝑖𝐵
5 nfcsb1v 3880 . . . 4 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 15580 . . 3 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵
76a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵)
8 nfv 1917 . . . . 5 𝑘 𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺
9 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑛𝐷
105, 9nfeq 2920 . . . . 5 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷
118, 10nfim 1899 . . . 4 𝑘(𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
12 eqeq1 2740 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺))
131eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷))
1412, 13imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷) ↔ (𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)))
15 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑛𝑘
16 nfcsb1v 3880 . . . . . . 7 𝑛𝑗 / 𝑛𝐺
1715, 16nfeq 2920 . . . . . 6 𝑛 𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺
18 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑛𝐵
19 nfcsb1v 3880 . . . . . . 7 𝑛𝑗 / 𝑛𝐷
2018, 19nfeq 2920 . . . . . 6 𝑛 𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷
2117, 20nfim 1899 . . . . 5 𝑛(𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
22 csbeq1a 3869 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗𝐺 = 𝑗 / 𝑛𝐺)
2322eqeq2d 2747 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑘 = 𝐺𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺))
24 csbeq1a 3869 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
2524eqeq2d 2747 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷))
2623, 25imbi12d 344 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷) ↔ (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)))
27 fsumf1of.3 . . . . 5 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
2821, 26, 27chvarfv 2233 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
2911, 14, 28chvarfv 2233 . . 3 (𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
30 fsumf1of.4 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
31 fsumf1of.5 . . 3 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
32 fsumf1of.2 . . . . . 6 𝑛𝜑
33 nfv 1917 . . . . . 6 𝑛 𝑗𝐶
3432, 33nfan 1902 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑗𝐶)
35 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑛(𝐹𝑗)
3635, 16nfeq 2920 . . . . 5 𝑛(𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺
3734, 36nfim 1899 . . . 4 𝑛((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)
38 eleq1w 2820 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝐶𝑗𝐶))
3938anbi2d 629 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑𝑛𝐶) ↔ (𝜑𝑗𝐶)))
40 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑗))
4140, 22eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐹𝑛) = 𝐺 ↔ (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺))
4239, 41imbi12d 344 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺) ↔ ((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)))
43 fsumf1of.6 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
4437, 42, 43chvarfv 2233 . . 3 ((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)
45 fsumf1of.1 . . . . . 6 𝑘𝜑
46 nfv 1917 . . . . . 6 𝑘 𝑖𝐴
4745, 46nfan 1902 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑖𝐴)
485nfel1 2923 . . . . 5 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
4947, 48nfim 1899 . . . 4 𝑘((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
50 eleq1w 2820 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝐴𝑖𝐴))
5150anbi2d 629 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑖𝐴)))
521eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5351, 52imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
54 fsumf1of.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5549, 53, 54chvarfv 2233 . . 3 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5629, 30, 31, 44, 55fsumf1o 15608 . 2 (𝜑 → Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵 = Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷)
57 nfcv 2907 . . . . 5 𝑗𝐶
58 nfcv 2907 . . . . 5 𝑛𝐶
59 nfcv 2907 . . . . 5 𝑗𝐷
6024, 57, 58, 59, 19cbvsum 15580 . . . 4 Σ𝑛𝐶 𝐷 = Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷
6160eqcomi 2745 . . 3 Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷 = Σ𝑛𝐶 𝐷
6261a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
637, 56, 623eqtrd 2780 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  csb 3855  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  Fincfn 8883  cc 11049  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  sge0f1o  44613
  Copyright terms: Public domain W3C validator