Theorem fsumf1of 46026

Description: Re-index a finite sum using a bijection. Same as fsumf1o 15683, but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumf1of.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumf1of.2	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
fsumf1of.3	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
fsumf1of.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
fsumf1of.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
fsumf1of.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
fsumf1of.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumf1of	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1of

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3852	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
2		nfcv 2902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
3		nfcsb1v 3862	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
4	1, 2, 3	cbvsum 15655	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
6		nfv 1921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺
7		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
8	3, 7	nfeq 2915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
9	6, 8	nfim 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
10		eqeq1 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 ↔ 𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺))
11	1	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷 ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷))
12	10, 11	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷) ↔ (𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)))
13		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
14		nfcsb1v 3862	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺
15	13, 14	nfeq 2915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺
16		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
17		nfcsb1v 3862	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
18	16, 17	nfeq 2915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
19	15, 18	nfim 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
20		csbeq1a 3852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → 𝐺 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺)
21	20	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑘 = 𝐺 ↔ 𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺))
22		csbeq1a 3852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → 𝐷 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
23	22	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷 ↔ 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷))
24	21, 23	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷) ↔ (𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)))
25		fsumf1of.3	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
26	19, 24, 25	chvarfv 2252	. . . 4 ⊢ (𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
27	9, 12, 26	chvarfv 2252	. . 3 ⊢ (𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
28		fsumf1of.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
29		fsumf1of.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
30		fsumf1of.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
31		nfv 1921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑗 ∈ 𝐶
32	30, 31	nfan 1906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)
33		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑗)
34	33, 14	nfeq 2915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺
35	32, 34	nfim 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺)
36		eleq1w 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ∈ 𝐶 ↔ 𝑗 ∈ 𝐶))
37	36	anbi2d 636	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)))
38		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑗))
39	38, 20	eqeq12d 2756	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑛) = 𝐺 ↔ (𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺))
40	37, 39	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺)))
41		fsumf1of.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
42	35, 40, 41	chvarfv 2252	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺)
43		fsumf1of.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
44		nfv 1921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝐴
45	43, 44	nfan 1906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)
46	3	nfel1 2918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
47	45, 46	nfim 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
48		eleq1w 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑖 ∈ 𝐴))
49	48	anbi2d 636	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)))
50	1	eleq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
51	49, 50	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
52		fsumf1of.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
53	47, 51, 52	chvarfv 2252	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
54	27, 28, 29, 42, 53	fsumf1o 15683	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
55		nfcv 2902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
56	22, 55, 17	cbvsum 15655	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 = Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
57	56	eqcomi 2749	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷
58	57	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
59	5, 54, 58	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  ⦋csb 3838  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  Fincfn 8890  ℂcc 11034  Σcsu 15646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647

This theorem is referenced by:  sge0f1o  46832