Theorem fsumf1of 45570

Description: Re-index a finite sum using a bijection. Same as fsumf1o 15744, but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumf1of.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumf1of.2	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
fsumf1of.3	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
fsumf1of.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
fsumf1of.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
fsumf1of.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
fsumf1of.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumf1of	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1of

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3893	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
2		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
3		nfcsb1v 3903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
4	1, 2, 3	cbvsum 15716	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
6		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺
7		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
8	3, 7	nfeq 2913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
9	6, 8	nfim 1896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
10		eqeq1 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 ↔ 𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺))
11	1	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷 ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷))
12	10, 11	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷) ↔ (𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)))
13		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
14		nfcsb1v 3903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺
15	13, 14	nfeq 2913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺
16		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
17		nfcsb1v 3903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
18	16, 17	nfeq 2913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
19	15, 18	nfim 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
20		csbeq1a 3893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → 𝐺 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺)
21	20	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑘 = 𝐺 ↔ 𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺))
22		csbeq1a 3893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → 𝐷 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
23	22	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷 ↔ 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷))
24	21, 23	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷) ↔ (𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)))
25		fsumf1of.3	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
26	19, 24, 25	chvarfv 2241	. . . 4 ⊢ (𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
27	9, 12, 26	chvarfv 2241	. . 3 ⊢ (𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
28		fsumf1of.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
29		fsumf1of.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
30		fsumf1of.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
31		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑗 ∈ 𝐶
32	30, 31	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)
33		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑗)
34	33, 14	nfeq 2913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺
35	32, 34	nfim 1896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺)
36		eleq1w 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ∈ 𝐶 ↔ 𝑗 ∈ 𝐶))
37	36	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)))
38		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑗))
39	38, 20	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑛) = 𝐺 ↔ (𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺))
40	37, 39	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺)))
41		fsumf1of.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
42	35, 40, 41	chvarfv 2241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺)
43		fsumf1of.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
44		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝐴
45	43, 44	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)
46	3	nfel1 2916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
47	45, 46	nfim 1896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
48		eleq1w 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑖 ∈ 𝐴))
49	48	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)))
50	1	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
51	49, 50	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
52		fsumf1of.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
53	47, 51, 52	chvarfv 2241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
54	27, 28, 29, 42, 53	fsumf1o 15744	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
55		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
56	22, 55, 17	cbvsum 15716	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 = Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
57	56	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷
58	57	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
59	5, 54, 58	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ⦋csb 3879  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  Fincfn 8964  ℂcc 11132  Σcsu 15707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708

This theorem is referenced by:  sge0f1o  46378