Theorem fsumf1of 45589

Description: Re-index a finite sum using a bijection. Same as fsumf1o 15759, but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumf1of.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumf1of.2	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
fsumf1of.3	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
fsumf1of.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
fsumf1of.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
fsumf1of.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
fsumf1of.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumf1of	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1of

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3913	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
2		nfcv 2905	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
3		nfcsb1v 3923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
4	1, 2, 3	cbvsum 15731	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
6		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺
7		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
8	3, 7	nfeq 2919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
9	6, 8	nfim 1896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
10		eqeq1 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 ↔ 𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺))
11	1	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷 ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷))
12	10, 11	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷) ↔ (𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)))
13		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
14		nfcsb1v 3923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺
15	13, 14	nfeq 2919	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺
16		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
17		nfcsb1v 3923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
18	16, 17	nfeq 2919	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
19	15, 18	nfim 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
20		csbeq1a 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → 𝐺 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺)
21	20	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑘 = 𝐺 ↔ 𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺))
22		csbeq1a 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → 𝐷 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
23	22	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷 ↔ 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷))
24	21, 23	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷) ↔ (𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)))
25		fsumf1of.3	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
26	19, 24, 25	chvarfv 2240	. . . 4 ⊢ (𝑘 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
27	9, 12, 26	chvarfv 2240	. . 3 ⊢ (𝑖 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
28		fsumf1of.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
29		fsumf1of.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
30		fsumf1of.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
31		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑗 ∈ 𝐶
32	30, 31	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)
33		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑗)
34	33, 14	nfeq 2919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺
35	32, 34	nfim 1896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺)
36		eleq1w 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ∈ 𝐶 ↔ 𝑗 ∈ 𝐶))
37	36	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)))
38		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑗))
39	38, 20	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑛) = 𝐺 ↔ (𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺))
40	37, 39	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺)))
41		fsumf1of.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
42	35, 40, 41	chvarfv 2240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐺)
43		fsumf1of.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
44		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝐴
45	43, 44	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)
46	3	nfel1 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
47	45, 46	nfim 1896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
48		eleq1w 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑖 ∈ 𝐴))
49	48	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)))
50	1	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
51	49, 50	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
52		fsumf1of.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
53	47, 51, 52	chvarfv 2240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
54	27, 28, 29, 42, 53	fsumf1o 15759	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷)
55		nfcv 2905	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
56	22, 55, 17	cbvsum 15731	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 = Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷
57	56	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷
58	57	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐶 ⦋𝑗 / 𝑛⦌𝐷 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
59	5, 54, 58	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  ⦋csb 3899  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  ℂcc 11153  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723

This theorem is referenced by:  sge0f1o  46397