Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumf1of Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumf1of 44859
Description: Re-index a finite sum using a bijection. Same as fsumf1o 15675, but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1of.1 𝑘𝜑
fsumf1of.2 𝑛𝜑
fsumf1of.3 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
fsumf1of.4 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
fsumf1of.5 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
fsumf1of.6 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
fsumf1of.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumf1of (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1of
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3902 . . . 4 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
2 nfcv 2897 . . . 4 𝑖𝐴
3 nfcv 2897 . . . 4 𝑘𝐴
4 nfcv 2897 . . . 4 𝑖𝐵
5 nfcsb1v 3913 . . . 4 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 15647 . . 3 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵
76a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵)
8 nfv 1909 . . . . 5 𝑘 𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺
9 nfcv 2897 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑛𝐷
105, 9nfeq 2910 . . . . 5 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷
118, 10nfim 1891 . . . 4 𝑘(𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
12 eqeq1 2730 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺))
131eqeq1d 2728 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷))
1412, 13imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷) ↔ (𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)))
15 nfcv 2897 . . . . . . 7 𝑛𝑘
16 nfcsb1v 3913 . . . . . . 7 𝑛𝑗 / 𝑛𝐺
1715, 16nfeq 2910 . . . . . 6 𝑛 𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺
18 nfcv 2897 . . . . . . 7 𝑛𝐵
19 nfcsb1v 3913 . . . . . . 7 𝑛𝑗 / 𝑛𝐷
2018, 19nfeq 2910 . . . . . 6 𝑛 𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷
2117, 20nfim 1891 . . . . 5 𝑛(𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
22 csbeq1a 3902 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗𝐺 = 𝑗 / 𝑛𝐺)
2322eqeq2d 2737 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑘 = 𝐺𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺))
24 csbeq1a 3902 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
2524eqeq2d 2737 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷))
2623, 25imbi12d 344 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷) ↔ (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)))
27 fsumf1of.3 . . . . 5 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
2821, 26, 27chvarfv 2225 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
2911, 14, 28chvarfv 2225 . . 3 (𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
30 fsumf1of.4 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
31 fsumf1of.5 . . 3 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
32 fsumf1of.2 . . . . . 6 𝑛𝜑
33 nfv 1909 . . . . . 6 𝑛 𝑗𝐶
3432, 33nfan 1894 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑗𝐶)
35 nfcv 2897 . . . . . 6 𝑛(𝐹𝑗)
3635, 16nfeq 2910 . . . . 5 𝑛(𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺
3734, 36nfim 1891 . . . 4 𝑛((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)
38 eleq1w 2810 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝐶𝑗𝐶))
3938anbi2d 628 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑𝑛𝐶) ↔ (𝜑𝑗𝐶)))
40 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑗))
4140, 22eqeq12d 2742 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐹𝑛) = 𝐺 ↔ (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺))
4239, 41imbi12d 344 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺) ↔ ((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)))
43 fsumf1of.6 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
4437, 42, 43chvarfv 2225 . . 3 ((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)
45 fsumf1of.1 . . . . . 6 𝑘𝜑
46 nfv 1909 . . . . . 6 𝑘 𝑖𝐴
4745, 46nfan 1894 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑖𝐴)
485nfel1 2913 . . . . 5 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
4947, 48nfim 1891 . . . 4 𝑘((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
50 eleq1w 2810 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝐴𝑖𝐴))
5150anbi2d 628 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑖𝐴)))
521eleq1d 2812 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5351, 52imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
54 fsumf1of.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5549, 53, 54chvarfv 2225 . . 3 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5629, 30, 31, 44, 55fsumf1o 15675 . 2 (𝜑 → Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵 = Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷)
57 nfcv 2897 . . . . 5 𝑗𝐶
58 nfcv 2897 . . . . 5 𝑛𝐶
59 nfcv 2897 . . . . 5 𝑗𝐷
6024, 57, 58, 59, 19cbvsum 15647 . . . 4 Σ𝑛𝐶 𝐷 = Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷
6160eqcomi 2735 . . 3 Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷 = Σ𝑛𝐶 𝐷
6261a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
637, 56, 623eqtrd 2770 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  csb 3888  1-1-ontowf1o 6536  cfv 6537  Fincfn 8941  cc 11110  Σcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  sge0f1o  45667
  Copyright terms: Public domain W3C validator