Theorem fsumreclf 46504

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumreclf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumreclf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumreclf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumreclf	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumreclf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3861	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
2		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
3		nfcsb1v 3871	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
4	1, 2, 3	cbvsum 15815	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
6		fsumreclf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		fsumreclf.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
8		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
9	7, 8	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
10	3	nfel1 2938	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
11	9, 10	nfim 1929	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
12		eleq1w 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
13	12	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
14	1	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
15	13, 14	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)))
16		fsumreclf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	11, 15, 16	chvarfv 2276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
18	6, 17	fsumrecl 15853	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
19	5, 18	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ⦋csb 3847  Fincfn 8952  ℝcr 11156  Σcsu 15806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-sum 15807

This theorem is used by:  rrndistlt  47216  sge0gtfsumgt  47369  sge0uzfsumgt  47370  sge0reuz  47373  sge0reuzb  47374  hoiqssbllem2  47549