Theorem fsummulc1f 45021

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). A version of fsummulc1 15761 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsummulc1f.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsummulclf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsummulclf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fsummulclf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsummulc1f	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummulc1f

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3899	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
2		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
3		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
4		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
5		nfcsb1v 3910	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 15671	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
7	6	oveq1i 7425	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶))
9		fsummulclf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
10		fsummulclf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11		fsummulc1f.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
12		nfv 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
13	11, 12	nfan 1894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
14	5	nfel1 2909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
15	13, 14	nfim 1891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16		eleq1w 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
17	16	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
18	1	eleq1d 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
19	17, 18	imbi12d 343	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
20		fsummulclf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	15, 19, 20	chvarfv 2228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
22	9, 10, 21	fsummulc1 15761	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = Σ𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶))
23		eqcom 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑘)
24	23	imbi1i 348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
25		eqcom 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵)
26	25	imbi2i 335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵))
27	24, 26	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵))
28	1, 27	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵)
29	28	oveq1d 7430	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
30		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
31		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
32	5, 30, 31	nfov 7445	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶)
33		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 · 𝐶)
34	29, 3, 2, 32, 33	cbvsum 15671	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)
35	34	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))
36	8, 22, 35	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  ⦋csb 3885  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  ℂcc 11134   · cmul 11141  Σcsu 15662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663

This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  45394