Theorem fsummulc1f 46174

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). A version of fsummulc1 15832 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsummulc1f.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsummulclf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsummulclf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fsummulclf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsummulc1f	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummulc1f

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3875	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
2		nfcv 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
3		nfcsb1v 3885	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
4	1, 2, 3	cbvsum 15742	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
5	4	oveq1i 7418	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶))
7		fsummulclf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fsummulclf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
9		fsummulc1f.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10		nfv 1941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
11	9, 10	nfan 1926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
12	3	nfel1 2947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
13	11, 12	nfim 1923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
14		eleq1w 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
15	14	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
16	1	eleq1d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
17	15, 16	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
18		fsummulclf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	13, 17, 18	chvarfv 2282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
20	7, 8, 19	fsummulc1 15832	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = Σ𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶))
21		eqcom 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑘)
22	21	imbi1i 352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
23		eqcom 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵)
24	23	imbi2i 339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵))
25	22, 24	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵))
26	1, 25	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵)
27	26	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
28		nfcv 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
29		nfcv 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
30	3, 28, 29	nfov 7438	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶)
31		nfcv 2931	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 · 𝐶)
32	27, 30, 31	cbvsum 15742	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)
33	32	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))
34	6, 20, 33	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149  ⦋csb 3861  (class class class)co 7408  Fincfn 8939  ℂcc 11094   · cmul 11101  Σcsu 15733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734

This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  46545