Theorem fsummulc1f 45611

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). A version of fsummulc1 15687 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsummulc1f.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsummulclf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsummulclf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fsummulclf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsummulc1f	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummulc1f

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3859	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
2		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
3		nfcsb1v 3869	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
4	1, 2, 3	cbvsum 15597	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
5	4	oveq1i 7351	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶))
7		fsummulclf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fsummulclf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
9		fsummulc1f.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
11	9, 10	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
12	3	nfel1 2911	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
13	11, 12	nfim 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
14		eleq1w 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
15	14	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
16	1	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
17	15, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
18		fsummulclf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	13, 17, 18	chvarfv 2243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
20	7, 8, 19	fsummulc1 15687	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = Σ𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶))
21		eqcom 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑘)
22	21	imbi1i 349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
23		eqcom 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵)
24	23	imbi2i 336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵))
25	22, 24	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵))
26	1, 25	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵)
27	26	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
28		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
29		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
30	3, 28, 29	nfov 7371	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶)
31		nfcv 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 · 𝐶)
32	27, 30, 31	cbvsum 15597	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)
33	32	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))
34	6, 20, 33	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  ⦋csb 3845  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  ℂcc 10999   · cmul 11006  Σcsu 15588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-sum 15589

This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  45982