Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsummulc1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsummulc1f 43819
Description: Closure of a finite sum of complex numbers ๐ด(๐‘˜). A version of fsummulc1 15671 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc1f.ph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fsummulclf.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fsummulclf.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
fsummulclf.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fsummulc1f (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fsummulc1f
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3870 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
2 nfcv 2908 . . . . 5 โ„ฒ๐‘—๐ด
3 nfcv 2908 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐ด
4 nfcv 2908 . . . . 5 โ„ฒ๐‘—๐ต
5 nfcsb1v 3881 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 15581 . . . 4 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต
76oveq1i 7368 . . 3 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต ยท ๐ถ)
87a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต ยท ๐ถ))
9 fsummulclf.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
10 fsummulclf.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
11 fsummulc1f.ph . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
12 nfv 1918 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘— โˆˆ ๐ด
1311, 12nfan 1903 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด)
145nfel1 2924 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
1513, 14nfim 1900 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
16 eleq1w 2821 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘— โˆˆ ๐ด))
1716anbi2d 630 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด)))
181eleq1d 2823 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
1917, 18imbi12d 345 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)))
20 fsummulclf.b . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2115, 19, 20chvarfv 2234 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
229, 10, 21fsummulc1 15671 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด (โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต ยท ๐ถ))
23 eqcom 2744 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘— โ†” ๐‘— = ๐‘˜)
2423imbi1i 350 . . . . . . 7 ((๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต) โ†” (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
25 eqcom 2744 . . . . . . . 8 (๐ต = โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โ†” โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = ๐ต)
2625imbi2i 336 . . . . . . 7 ((๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต) โ†” (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = ๐ต))
2724, 26bitri 275 . . . . . 6 ((๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต) โ†” (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = ๐ต))
281, 27mpbi 229 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = ๐ต)
2928oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
30 nfcv 2908 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜ ยท
31 nfcv 2908 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐ถ
325, 30, 31nfov 7388 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜(โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต ยท ๐ถ)
33 nfcv 2908 . . . 4 โ„ฒ๐‘—(๐ต ยท ๐ถ)
3429, 3, 2, 32, 33cbvsum 15581 . . 3 ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด (โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)
3534a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด (โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))
368, 22, 353eqtrd 2781 1 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542  โ„ฒwnf 1786   โˆˆ wcel 2107  โฆ‹csb 3856  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  โ„‚cc 11050   ยท cmul 11057  ฮฃcsu 15571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572
This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  44192
  Copyright terms: Public domain W3C validator