![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fsummulc1f | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of a finite sum of complex numbers ๐ด(๐). A version of fsummulc1 15671 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
fsummulc1f.ph | โข โฒ๐๐ |
fsummulclf.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fsummulclf.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
fsummulclf.b | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
fsummulc1f | โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | csbeq1a 3870 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ๐ต = โฆ๐ / ๐โฆ๐ต) | |
2 | nfcv 2908 | . . . . 5 โข โฒ๐๐ด | |
3 | nfcv 2908 | . . . . 5 โข โฒ๐๐ด | |
4 | nfcv 2908 | . . . . 5 โข โฒ๐๐ต | |
5 | nfcsb1v 3881 | . . . . 5 โข โฒ๐โฆ๐ / ๐โฆ๐ต | |
6 | 1, 2, 3, 4, 5 | cbvsum 15581 | . . . 4 โข ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ฮฃ๐ โ ๐ด โฆ๐ / ๐โฆ๐ต |
7 | 6 | oveq1i 7368 | . . 3 โข (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = (ฮฃ๐ โ ๐ด โฆ๐ / ๐โฆ๐ต ยท ๐ถ) |
8 | 7 | a1i 11 | . 2 โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = (ฮฃ๐ โ ๐ด โฆ๐ / ๐โฆ๐ต ยท ๐ถ)) |
9 | fsummulclf.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
10 | fsummulclf.c | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
11 | fsummulc1f.ph | . . . . . 6 โข โฒ๐๐ | |
12 | nfv 1918 | . . . . . 6 โข โฒ๐ ๐ โ ๐ด | |
13 | 11, 12 | nfan 1903 | . . . . 5 โข โฒ๐(๐ โง ๐ โ ๐ด) |
14 | 5 | nfel1 2924 | . . . . 5 โข โฒ๐โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ |
15 | 13, 14 | nfim 1900 | . . . 4 โข โฒ๐((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ) |
16 | eleq1w 2821 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐ด โ ๐ โ ๐ด)) | |
17 | 16 | anbi2d 630 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ โง ๐ โ ๐ด))) |
18 | 1 | eleq1d 2823 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ต โ โ โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ)) |
19 | 17, 18 | imbi12d 345 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) โ ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ))) |
20 | fsummulclf.b | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
21 | 15, 19, 20 | chvarfv 2234 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ) |
22 | 9, 10, 21 | fsummulc1 15671 | . 2 โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด โฆ๐ / ๐โฆ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐ โ ๐ด (โฆ๐ / ๐โฆ๐ต ยท ๐ถ)) |
23 | eqcom 2744 | . . . . . . . 8 โข (๐ = ๐ โ ๐ = ๐) | |
24 | 23 | imbi1i 350 | . . . . . . 7 โข ((๐ = ๐ โ ๐ต = โฆ๐ / ๐โฆ๐ต) โ (๐ = ๐ โ ๐ต = โฆ๐ / ๐โฆ๐ต)) |
25 | eqcom 2744 | . . . . . . . 8 โข (๐ต = โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต = ๐ต) | |
26 | 25 | imbi2i 336 | . . . . . . 7 โข ((๐ = ๐ โ ๐ต = โฆ๐ / ๐โฆ๐ต) โ (๐ = ๐ โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต = ๐ต)) |
27 | 24, 26 | bitri 275 | . . . . . 6 โข ((๐ = ๐ โ ๐ต = โฆ๐ / ๐โฆ๐ต) โ (๐ = ๐ โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต = ๐ต)) |
28 | 1, 27 | mpbi 229 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต = ๐ต) |
29 | 28 | oveq1d 7373 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (โฆ๐ / ๐โฆ๐ต ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)) |
30 | nfcv 2908 | . . . . 5 โข โฒ๐ ยท | |
31 | nfcv 2908 | . . . . 5 โข โฒ๐๐ถ | |
32 | 5, 30, 31 | nfov 7388 | . . . 4 โข โฒ๐(โฆ๐ / ๐โฆ๐ต ยท ๐ถ) |
33 | nfcv 2908 | . . . 4 โข โฒ๐(๐ต ยท ๐ถ) | |
34 | 29, 3, 2, 32, 33 | cbvsum 15581 | . . 3 โข ฮฃ๐ โ ๐ด (โฆ๐ / ๐โฆ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) |
35 | 34 | a1i 11 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด (โฆ๐ / ๐โฆ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) |
36 | 8, 22, 35 | 3eqtrd 2781 | 1 โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐ โ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โฒwnf 1786 โ wcel 2107 โฆcsb 3856 (class class class)co 7358 Fincfn 8884 โcc 11050 ยท cmul 11057 ฮฃcsu 15571 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-inf2 9578 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 ax-pre-sup 11130 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-int 4909 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-se 5590 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-isom 6506 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-fin 8888 df-sup 9379 df-oi 9447 df-card 9876 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-div 11814 df-nn 12155 df-2 12217 df-3 12218 df-n0 12415 df-z 12501 df-uz 12765 df-rp 12917 df-fz 13426 df-fzo 13569 df-seq 13908 df-exp 13969 df-hash 14232 df-cj 14985 df-re 14986 df-im 14987 df-sqrt 15121 df-abs 15122 df-clim 15371 df-sum 15572 |
This theorem is referenced by: dvmptfprodlem 44192 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |