Theorem fsummulc1f 45931

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). A version of fsummulc1 15720 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsummulc1f.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsummulclf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsummulclf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fsummulclf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsummulc1f	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummulc1f

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3865	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
2		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
3		nfcsb1v 3875	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
4	1, 2, 3	cbvsum 15630	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
5	4	oveq1i 7378	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶))
7		fsummulclf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fsummulclf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
9		fsummulc1f.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
11	9, 10	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
12	3	nfel1 2916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
13	11, 12	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
14		eleq1w 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
15	14	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
16	1	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
17	15, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
18		fsummulclf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	13, 17, 18	chvarfv 2248	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
20	7, 8, 19	fsummulc1 15720	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = Σ𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶))
21		eqcom 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑘)
22	21	imbi1i 349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
23		eqcom 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵)
24	23	imbi2i 336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵))
25	22, 24	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵))
26	1, 25	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐵)
27	26	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
28		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
29		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
30	3, 28, 29	nfov 7398	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶)
31		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 · 𝐶)
32	27, 30, 31	cbvsum 15630	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)
33	32	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))
34	6, 20, 33	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3851  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036   · cmul 11043  Σcsu 15621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622

This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  46302