Theorem tgioo4 24742

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24740	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1540  ran crn 5655  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  (,)cioo 13360   ↾_t crest 17432  TopOpenctopn 17433  topGenctg 17449  ℂ_fldccnfld 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-fz 13523  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-struct 17164  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-rest 17434  df-topn 17435  df-topgen 17455  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-bases 22882

This theorem is referenced by:  tgioo3  24743  rellycmp  24905  evth  24907  evth2  24908  lebnumlem2  24910  resscdrg  25308  retopn  25329  cncombf  25609  cnmbf  25610  dvmptresicc  25867  dvcjbr  25903  rolle  25944  cmvth  25945  mvth  25947  dvlip  25948  dvlipcn  25949  dvlip2  25950  c1liplem1  25951  dvgt0lem1  25957  dvle  25962  dvivthlem1  25963  dvne0  25966  lhop1lem  25968  lhop2  25970  lhop  25971  dvcnvrelem1  25972  dvcnvre  25974  dvcvx  25975  dvfsumle  25976  dvfsumabs  25979  dvfsumlem2  25983  ftc1cn  26000  ftc2  26001  ftc2ditglem  26002  itgparts  26004  itgsubstlem  26005  itgpowd  26007  taylthlem2  26332  efcvx  26409  dvloglem  26607  logdmopn  26608  advlog  26613  advlogexp  26614  logccv  26622  loglesqrt  26721  lgamgulmlem2  26990  log2sumbnd  27505  rmulccn  33905  raddcn  33906  ftc2re  34576  knoppcnlem10  36466  knoppcnlem11  36467  broucube  37624  ftc1cnnc  37662  ftc2nc  37672  dvasin  37674  dvacos  37675  dvreasin  37676  dvreacos  37677  areacirclem1  37678  areacirc  37683  dvrelog2  42023  dvrelog3  42024  aks4d1p1p6  42032  redvmptabs  42350  readvrec2  42351  resuppsinopn  42353  readvcot  42354  lhe4.4ex1a  44301  refsumcn  45002  xrtgcntopre  45453  climreeq  45590  limcresiooub  45619  limcresioolb  45620  lptioo2cn  45622  lptioo1cn  45623  cncfiooicclem1  45870  jumpncnp  45875  fperdvper  45896  dvresioo  45898  dvbdfbdioolem1  45905  itgsin0pilem1  45927  itgsinexplem1  45931  itgcoscmulx  45946  itgsubsticclem  45952  itgiccshift  45957  itgperiod  45958  itgsbtaddcnst  45959  dirkeritg  46079  dirkercncflem2  46081  dirkercncflem3  46082  dirkercncflem4  46083  dirkercncf  46084  fourierdlem28  46112  fourierdlem32  46116  fourierdlem33  46117  fourierdlem39  46123  fourierdlem56  46139  fourierdlem57  46140  fourierdlem58  46141  fourierdlem59  46142  fourierdlem60  46143  fourierdlem61  46144  fourierdlem62  46145  fourierdlem68  46151  fourierdlem72  46155  fourierdlem73  46156  fourierdlem74  46157  fourierdlem75  46158  fourierdlem80  46163  fourierdlem94  46177  fourierdlem103  46186  fourierdlem104  46187  fourierdlem113  46196  fouriercnp  46203  fouriersw  46208  fouriercn  46209  etransclem2  46213  etransclem23  46234  etransclem35  46246  etransclem38  46249  etransclem39  46250  etransclem44  46255  etransclem45  46256  etransclem46  46257  etransclem47  46258