Theorem tgioo4 25031

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 25029	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  (,)cioo 13398   ↾_t crest 17505  TopOpenctopn 17506  topGenctg 17522  ℂ_fldccnfld 21585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-rest 17507  df-topn 17508  df-topgen 17528  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171

This theorem is used by:  tgioo3  25032  rellycmp  25185  evth  25187  evth2  25188  lebnumlem2  25190  resscdrg  25586  retopn  25607  cncombf  25886  cnmbf  25887  dvmptresicc  26143  dvcjbr  26176  rolle  26217  cmvth  26218  mvth  26219  dvlip  26220  dvlipcn  26221  dvlip2  26222  c1liplem1  26223  dvgt0lem1  26229  dvle  26234  dvivthlem1  26235  dvne0  26238  lhop1lem  26240  lhop2  26242  lhop  26243  dvcnvrelem1  26244  dvcnvre  26246  dvcvx  26247  dvfsumle  26248  dvfsumabs  26250  dvfsumlem2  26254  ftc1cn  26270  ftc2  26271  ftc2ditglem  26272  itgparts  26274  itgsubstlem  26275  itgpowd  26277  taylthlem2  26610  efcvx  26685  dvloglem  26885  logdmopn  26886  advlog  26891  advlogexp  26892  logccv  26900  loglesqrt  26998  lgamgulmlem2  27266  log2sumbnd  27780  rmulccn  34438  raddcn  34439  ftc2re  35106  knoppcnlem10  37199  knoppcnlem11  37200  broucube  38403  ftc1cnnc  38441  ftc2nc  38451  dvasin  38453  dvacos  38454  dvreasin  38455  dvreacos  38456  areacirclem1  38457  areacirc  38462  dvrelog2  42930  dvrelog3  42931  aks4d1p1p6  42939  redvmptabs  43235  readvrec2  43236  resuppsinopn  43238  readvcot  43239  lhe4.4ex1a  45153  refsumcn  45864  xrtgcntopre  46306  climreeq  46443  limcresiooub  46470  limcresioolb  46471  lptioo2cn  46473  lptioo1cn  46474  cncfiooicclem1  46721  jumpncnp  46726  fperdvper  46747  dvresioo  46749  dvbdfbdioolem1  46756  itgsin0pilem1  46778  itgsinexplem1  46782  itgcoscmulx  46797  itgsubsticclem  46803  itgiccshift  46808  itgperiod  46809  itgsbtaddcnst  46810  dirkeritg  46930  dirkercncflem2  46932  dirkercncflem3  46933  dirkercncflem4  46934  dirkercncf  46935  fourierdlem28  46963  fourierdlem32  46967  fourierdlem33  46968  fourierdlem39  46974  fourierdlem56  46990  fourierdlem57  46991  fourierdlem58  46992  fourierdlem59  46993  fourierdlem60  46994  fourierdlem61  46995  fourierdlem62  46996  fourierdlem68  47002  fourierdlem72  47006  fourierdlem73  47007  fourierdlem74  47008  fourierdlem75  47009  fourierdlem80  47014  fourierdlem94  47028  fourierdlem103  47037  fourierdlem104  47038  fourierdlem113  47047  fouriercnp  47054  fouriersw  47059  fouriercn  47060  etransclem2  47064  etransclem23  47085  etransclem35  47097  etransclem38  47100  etransclem39  47101  etransclem44  47106  etransclem45  47107  etransclem46  47108  etransclem47  47109