Theorem tgioo4 25117

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 25115	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  (,)cioo 13469   ↾_t crest 17584  TopOpenctopn 17585  topGenctg 17601  ℂ_fldccnfld 21671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-rest 17586  df-topn 17587  df-topgen 17607  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-bases 23257

This theorem is used by:  tgioo3  25118  rellycmp  25271  evth  25273  evth2  25274  lebnumlem2  25276  resscdrg  25672  retopn  25693  cncombf  25972  cnmbf  25973  dvmptresicc  26229  dvcjbr  26262  rolle  26303  cmvth  26304  mvth  26305  dvlip  26306  dvlipcn  26307  dvlip2  26308  c1liplem1  26309  dvgt0lem1  26315  dvle  26320  dvivthlem1  26321  dvne0  26324  lhop1lem  26326  lhop2  26328  lhop  26329  dvcnvrelem1  26330  dvcnvre  26332  dvcvx  26333  dvfsumle  26334  dvfsumabs  26336  dvfsumlem2  26340  ftc1cn  26356  ftc2  26357  ftc2ditglem  26358  itgparts  26360  itgsubstlem  26361  itgpowd  26363  taylthlem2  26694  efcvx  26769  dvloglem  26969  logdmopn  26970  advlog  26975  advlogexp  26976  logccv  26984  loglesqrt  27082  lgamgulmlem2  27350  log2sumbnd  27864  rmulccn  34553  raddcn  34554  ftc2re  35220  knoppcnlem10  37348  knoppcnlem11  37349  broucube  38552  ftc1cnnc  38590  ftc2nc  38600  dvasin  38602  dvacos  38603  dvreasin  38604  dvreacos  38605  areacirclem1  38606  areacirc  38611  dvrelog2  43094  dvrelog3  43095  aks4d1p1p6  43103  redvmptabs  43391  readvrec2  43392  resuppsinopn  43394  readvcot  43395  lhe4.4ex1a  45298  refsumcn  46016  xrtgcntopre  46457  climreeq  46594  limcresiooub  46621  limcresioolb  46622  lptioo2cn  46624  lptioo1cn  46625  cncfiooicclem1  46872  jumpncnp  46877  fperdvper  46898  dvresioo  46900  dvbdfbdioolem1  46907  itgsin0pilem1  46929  itgsinexplem1  46933  itgcoscmulx  46948  itgsubsticclem  46954  itgiccshift  46959  itgperiod  46960  itgsbtaddcnst  46961  dirkeritg  47081  dirkercncflem2  47083  dirkercncflem3  47084  dirkercncflem4  47085  dirkercncf  47086  fourierdlem28  47114  fourierdlem32  47118  fourierdlem33  47119  fourierdlem39  47125  fourierdlem56  47141  fourierdlem57  47142  fourierdlem58  47143  fourierdlem59  47144  fourierdlem60  47145  fourierdlem61  47146  fourierdlem62  47147  fourierdlem68  47153  fourierdlem72  47157  fourierdlem73  47158  fourierdlem74  47159  fourierdlem75  47160  fourierdlem80  47165  fourierdlem94  47179  fourierdlem103  47188  fourierdlem104  47189  fourierdlem113  47198  fouriercnp  47205  fouriersw  47210  fouriercn  47211  etransclem2  47215  etransclem23  47236  etransclem35  47248  etransclem38  47251  etransclem39  47252  etransclem44  47257  etransclem45  47258  etransclem46  47259  etransclem47  47260