Theorem tgioo4 24693

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24691	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1540  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  (,)cioo 13306   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  topGenctg 17400  ℂ_fldccnfld 21264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833

This theorem is referenced by:  tgioo3  24694  rellycmp  24856  evth  24858  evth2  24859  lebnumlem2  24861  resscdrg  25258  retopn  25279  cncombf  25559  cnmbf  25560  dvmptresicc  25817  dvcjbr  25853  rolle  25894  cmvth  25895  mvth  25897  dvlip  25898  dvlipcn  25899  dvlip2  25900  c1liplem1  25901  dvgt0lem1  25907  dvle  25912  dvivthlem1  25913  dvne0  25916  lhop1lem  25918  lhop2  25920  lhop  25921  dvcnvrelem1  25922  dvcnvre  25924  dvcvx  25925  dvfsumle  25926  dvfsumabs  25929  dvfsumlem2  25933  ftc1cn  25950  ftc2  25951  ftc2ditglem  25952  itgparts  25954  itgsubstlem  25955  itgpowd  25957  taylthlem2  26282  efcvx  26359  dvloglem  26557  logdmopn  26558  advlog  26563  advlogexp  26564  logccv  26572  loglesqrt  26671  lgamgulmlem2  26940  log2sumbnd  27455  rmulccn  33918  raddcn  33919  ftc2re  34589  knoppcnlem10  36490  knoppcnlem11  36491  broucube  37648  ftc1cnnc  37686  ftc2nc  37696  dvasin  37698  dvacos  37699  dvreasin  37700  dvreacos  37701  areacirclem1  37702  areacirc  37707  dvrelog2  42052  dvrelog3  42053  aks4d1p1p6  42061  redvmptabs  42348  readvrec2  42349  resuppsinopn  42351  readvcot  42352  lhe4.4ex1a  44318  refsumcn  45024  xrtgcntopre  45474  climreeq  45611  limcresiooub  45640  limcresioolb  45641  lptioo2cn  45643  lptioo1cn  45644  cncfiooicclem1  45891  jumpncnp  45896  fperdvper  45917  dvresioo  45919  dvbdfbdioolem1  45926  itgsin0pilem1  45948  itgsinexplem1  45952  itgcoscmulx  45967  itgsubsticclem  45973  itgiccshift  45978  itgperiod  45979  itgsbtaddcnst  45980  dirkeritg  46100  dirkercncflem2  46102  dirkercncflem3  46103  dirkercncflem4  46104  dirkercncf  46105  fourierdlem28  46133  fourierdlem32  46137  fourierdlem33  46138  fourierdlem39  46144  fourierdlem56  46160  fourierdlem57  46161  fourierdlem58  46162  fourierdlem59  46163  fourierdlem60  46164  fourierdlem61  46165  fourierdlem62  46166  fourierdlem68  46172  fourierdlem72  46176  fourierdlem73  46177  fourierdlem74  46178  fourierdlem75  46179  fourierdlem80  46184  fourierdlem94  46198  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem113  46217  fouriercnp  46224  fouriersw  46229  fouriercn  46230  etransclem2  46234  etransclem23  46255  etransclem35  46267  etransclem38  46270  etransclem39  46271  etransclem44  46276  etransclem45  46277  etransclem46  46278  etransclem47  46279