Theorem tgioo4 24710

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24708	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1540  ran crn 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  (,)cioo 13267   ↾_t crest 17343  TopOpenctopn 17344  topGenctg 17360  ℂ_fldccnfld 21280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-fz 13430  df-seq 13928  df-exp 13988  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-rest 17345  df-topn 17346  df-topgen 17366  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-bases 22850

This theorem is referenced by:  tgioo3  24711  rellycmp  24873  evth  24875  evth2  24876  lebnumlem2  24878  resscdrg  25275  retopn  25296  cncombf  25576  cnmbf  25577  dvmptresicc  25834  dvcjbr  25870  rolle  25911  cmvth  25912  mvth  25914  dvlip  25915  dvlipcn  25916  dvlip2  25917  c1liplem1  25918  dvgt0lem1  25924  dvle  25929  dvivthlem1  25930  dvne0  25933  lhop1lem  25935  lhop2  25937  lhop  25938  dvcnvrelem1  25939  dvcnvre  25941  dvcvx  25942  dvfsumle  25943  dvfsumabs  25946  dvfsumlem2  25950  ftc1cn  25967  ftc2  25968  ftc2ditglem  25969  itgparts  25971  itgsubstlem  25972  itgpowd  25974  taylthlem2  26299  efcvx  26376  dvloglem  26574  logdmopn  26575  advlog  26580  advlogexp  26581  logccv  26589  loglesqrt  26688  lgamgulmlem2  26957  log2sumbnd  27472  rmulccn  33914  raddcn  33915  ftc2re  34585  knoppcnlem10  36495  knoppcnlem11  36496  broucube  37653  ftc1cnnc  37691  ftc2nc  37701  dvasin  37703  dvacos  37704  dvreasin  37705  dvreacos  37706  areacirclem1  37707  areacirc  37712  dvrelog2  42057  dvrelog3  42058  aks4d1p1p6  42066  redvmptabs  42353  readvrec2  42354  resuppsinopn  42356  readvcot  42357  lhe4.4ex1a  44322  refsumcn  45028  xrtgcntopre  45477  climreeq  45614  limcresiooub  45643  limcresioolb  45644  lptioo2cn  45646  lptioo1cn  45647  cncfiooicclem1  45894  jumpncnp  45899  fperdvper  45920  dvresioo  45922  dvbdfbdioolem1  45929  itgsin0pilem1  45951  itgsinexplem1  45955  itgcoscmulx  45970  itgsubsticclem  45976  itgiccshift  45981  itgperiod  45982  itgsbtaddcnst  45983  dirkeritg  46103  dirkercncflem2  46105  dirkercncflem3  46106  dirkercncflem4  46107  dirkercncf  46108  fourierdlem28  46136  fourierdlem32  46140  fourierdlem33  46141  fourierdlem39  46147  fourierdlem56  46163  fourierdlem57  46164  fourierdlem58  46165  fourierdlem59  46166  fourierdlem60  46167  fourierdlem61  46168  fourierdlem62  46169  fourierdlem68  46175  fourierdlem72  46179  fourierdlem73  46180  fourierdlem74  46181  fourierdlem75  46182  fourierdlem80  46187  fourierdlem94  46201  fourierdlem103  46210  fourierdlem104  46211  fourierdlem113  46220  fouriercnp  46227  fouriersw  46232  fouriercn  46233  etransclem2  46237  etransclem23  46258  etransclem35  46270  etransclem38  46273  etransclem39  46274  etransclem44  46279  etransclem45  46280  etransclem46  46281  etransclem47  46282