Theorem tgioo4 25133

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 25131	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ran crn 5652  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  (,)cioo 13483   ↾_t crest 17600  TopOpenctopn 17601  topGenctg 17617  ℂ_fldccnfld 21687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-fz 13647  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-rest 17602  df-topn 17603  df-topgen 17623  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-bases 23273

This theorem is used by:  tgioo3  25134  rellycmp  25287  evth  25289  evth2  25290  lebnumlem2  25292  resscdrg  25688  retopn  25709  cncombf  25988  cnmbf  25989  dvmptresicc  26245  dvcjbr  26278  rolle  26319  cmvth  26320  mvth  26321  dvlip  26322  dvlipcn  26323  dvlip2  26324  c1liplem1  26325  dvgt0lem1  26331  dvle  26336  dvivthlem1  26337  dvne0  26340  lhop1lem  26342  lhop2  26344  lhop  26345  dvcnvrelem1  26346  dvcnvre  26348  dvcvx  26349  dvfsumle  26350  dvfsumabs  26352  dvfsumlem2  26356  ftc1cn  26372  ftc2  26373  ftc2ditglem  26374  itgparts  26376  itgsubstlem  26377  itgpowd  26379  taylthlem2  26710  efcvx  26785  dvloglem  26985  logdmopn  26986  advlog  26991  advlogexp  26992  logccv  27000  loglesqrt  27098  lgamgulmlem2  27366  log2sumbnd  27880  rmulccn  34610  raddcn  34611  ftc2re  35277  knoppcnlem10  37464  knoppcnlem11  37465  broucube  38681  ftc1cnnc  38719  ftc2nc  38729  dvasin  38731  dvacos  38732  dvreasin  38733  dvreacos  38734  areacirclem1  38735  areacirc  38740  dvrelog2  43223  dvrelog3  43224  aks4d1p1p6  43232  redvmptabs  43520  readvrec2  43521  resuppsinopn  43523  readvcot  43524  lhe4.4ex1a  45422  refsumcn  46155  xrtgcntopre  46596  climreeq  46733  limcresiooub  46760  limcresioolb  46761  lptioo2cn  46763  lptioo1cn  46764  cncfiooicclem1  47011  jumpncnp  47016  fperdvper  47037  dvresioo  47039  dvbdfbdioolem1  47046  itgsin0pilem1  47068  itgsinexplem1  47072  itgcoscmulx  47087  itgsubsticclem  47093  itgiccshift  47098  itgperiod  47099  itgsbtaddcnst  47100  dirkeritg  47220  dirkercncflem2  47222  dirkercncflem3  47223  dirkercncflem4  47224  dirkercncf  47225  fourierdlem28  47253  fourierdlem32  47257  fourierdlem33  47258  fourierdlem39  47264  fourierdlem56  47280  fourierdlem57  47281  fourierdlem58  47282  fourierdlem59  47283  fourierdlem60  47284  fourierdlem61  47285  fourierdlem62  47286  fourierdlem68  47292  fourierdlem72  47296  fourierdlem73  47297  fourierdlem74  47298  fourierdlem75  47299  fourierdlem80  47304  fourierdlem94  47318  fourierdlem103  47327  fourierdlem104  47328  fourierdlem113  47337  fouriercnp  47344  fouriersw  47349  fouriercn  47350  etransclem2  47354  etransclem23  47375  etransclem35  47387  etransclem38  47390  etransclem39  47391  etransclem44  47396  etransclem45  47397  etransclem46  47398  etransclem47  47399