Theorem tgioo4 24674

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24672	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1540  ran crn 5614  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  ℝcr 10996  (,)cioo 13236   ↾_t crest 17311  TopOpenctopn 17312  topGenctg 17328  ℂ_fldccnfld 21245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-sup 9320  df-inf 9321  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-xneg 13002  df-xadd 13003  df-xmul 13004  df-ioo 13240  df-fz 13399  df-seq 13897  df-exp 13957  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17045  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-rest 17313  df-topn 17314  df-topgen 17334  df-psmet 21237  df-xmet 21238  df-met 21239  df-bl 21240  df-mopn 21241  df-cnfld 21246  df-top 22763  df-topon 22780  df-bases 22815

This theorem is referenced by:  tgioo3  24675  rellycmp  24837  evth  24839  evth2  24840  lebnumlem2  24842  resscdrg  25239  retopn  25260  cncombf  25540  cnmbf  25541  dvmptresicc  25798  dvcjbr  25834  rolle  25875  cmvth  25876  mvth  25878  dvlip  25879  dvlipcn  25880  dvlip2  25881  c1liplem1  25882  dvgt0lem1  25888  dvle  25893  dvivthlem1  25894  dvne0  25897  lhop1lem  25899  lhop2  25901  lhop  25902  dvcnvrelem1  25903  dvcnvre  25905  dvcvx  25906  dvfsumle  25907  dvfsumabs  25910  dvfsumlem2  25914  ftc1cn  25931  ftc2  25932  ftc2ditglem  25933  itgparts  25935  itgsubstlem  25936  itgpowd  25938  taylthlem2  26263  efcvx  26340  dvloglem  26538  logdmopn  26539  advlog  26544  advlogexp  26545  logccv  26553  loglesqrt  26652  lgamgulmlem2  26921  log2sumbnd  27436  rmulccn  33909  raddcn  33910  ftc2re  34579  knoppcnlem10  36493  knoppcnlem11  36494  broucube  37651  ftc1cnnc  37689  ftc2nc  37699  dvasin  37701  dvacos  37702  dvreasin  37703  dvreacos  37704  areacirclem1  37705  areacirc  37710  dvrelog2  42054  dvrelog3  42055  aks4d1p1p6  42063  redvmptabs  42350  readvrec2  42351  resuppsinopn  42353  readvcot  42354  lhe4.4ex1a  44319  refsumcn  45024  xrtgcntopre  45473  climreeq  45610  limcresiooub  45637  limcresioolb  45638  lptioo2cn  45640  lptioo1cn  45641  cncfiooicclem1  45888  jumpncnp  45893  fperdvper  45914  dvresioo  45916  dvbdfbdioolem1  45923  itgsin0pilem1  45945  itgsinexplem1  45949  itgcoscmulx  45964  itgsubsticclem  45970  itgiccshift  45975  itgperiod  45976  itgsbtaddcnst  45977  dirkeritg  46097  dirkercncflem2  46099  dirkercncflem3  46100  dirkercncflem4  46101  dirkercncf  46102  fourierdlem28  46130  fourierdlem32  46134  fourierdlem33  46135  fourierdlem39  46141  fourierdlem56  46157  fourierdlem57  46158  fourierdlem58  46159  fourierdlem59  46160  fourierdlem60  46161  fourierdlem61  46162  fourierdlem62  46163  fourierdlem68  46169  fourierdlem72  46173  fourierdlem73  46174  fourierdlem74  46175  fourierdlem75  46176  fourierdlem80  46181  fourierdlem94  46195  fourierdlem103  46204  fourierdlem104  46205  fourierdlem113  46214  fouriercnp  46221  fouriersw  46226  fouriercn  46227  etransclem2  46231  etransclem23  46252  etransclem35  46264  etransclem38  46267  etransclem39  46268  etransclem44  46273  etransclem45  46274  etransclem46  46275  etransclem47  46276