Theorem tgioo4 24993

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24991	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  (,)cioo 13384   ↾_t crest 17491  TopOpenctopn 17492  topGenctg 17508  ℂ_fldccnfld 21552

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-fz 13548  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-struct 17225  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-rest 17493  df-topn 17494  df-topgen 17514  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-bases 23133

This theorem is used by:  tgioo3  24994  rellycmp  25147  evth  25149  evth2  25150  lebnumlem2  25152  resscdrg  25548  retopn  25569  cncombf  25848  cnmbf  25849  dvmptresicc  26106  dvcjbr  26139  rolle  26180  cmvth  26181  mvth  26182  dvlip  26183  dvlipcn  26184  dvlip2  26185  c1liplem1  26186  dvgt0lem1  26192  dvle  26197  dvivthlem1  26198  dvne0  26201  lhop1lem  26203  lhop2  26205  lhop  26206  dvcnvrelem1  26207  dvcnvre  26209  dvcvx  26210  dvfsumle  26211  dvfsumabs  26213  dvfsumlem2  26217  ftc1cn  26233  ftc2  26234  ftc2ditglem  26235  itgparts  26237  itgsubstlem  26238  itgpowd  26240  taylthlem2  26568  efcvx  26643  dvloglem  26844  logdmopn  26845  advlog  26850  advlogexp  26851  logccv  26859  loglesqrt  26957  lgamgulmlem2  27225  log2sumbnd  27739  rmulccn  34358  raddcn  34359  ftc2re  35026  knoppcnlem10  37124  knoppcnlem11  37125  broucube  38338  ftc1cnnc  38376  ftc2nc  38386  dvasin  38388  dvacos  38389  dvreasin  38390  dvreacos  38391  areacirclem1  38392  areacirc  38397  dvrelog2  42864  dvrelog3  42865  aks4d1p1p6  42873  redvmptabs  43154  readvrec2  43155  resuppsinopn  43157  readvcot  43158  lhe4.4ex1a  45072  refsumcn  45783  xrtgcntopre  46225  climreeq  46362  limcresiooub  46389  limcresioolb  46390  lptioo2cn  46392  lptioo1cn  46393  cncfiooicclem1  46640  jumpncnp  46645  fperdvper  46666  dvresioo  46668  dvbdfbdioolem1  46675  itgsin0pilem1  46697  itgsinexplem1  46701  itgcoscmulx  46716  itgsubsticclem  46722  itgiccshift  46727  itgperiod  46728  itgsbtaddcnst  46729  dirkeritg  46849  dirkercncflem2  46851  dirkercncflem3  46852  dirkercncflem4  46853  dirkercncf  46854  fourierdlem28  46882  fourierdlem32  46886  fourierdlem33  46887  fourierdlem39  46893  fourierdlem56  46909  fourierdlem57  46910  fourierdlem58  46911  fourierdlem59  46912  fourierdlem60  46913  fourierdlem61  46914  fourierdlem62  46915  fourierdlem68  46921  fourierdlem72  46925  fourierdlem73  46926  fourierdlem74  46927  fourierdlem75  46928  fourierdlem80  46933  fourierdlem94  46947  fourierdlem103  46956  fourierdlem104  46957  fourierdlem113  46966  fouriercnp  46973  fouriersw  46978  fouriercn  46979  etransclem2  46983  etransclem23  47004  etransclem35  47016  etransclem38  47019  etransclem39  47020  etransclem44  47025  etransclem45  47026  etransclem46  47027  etransclem47  47028