Theorem tgioo4 24788

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24786	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1547  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  (,)cioo 13289   ↾_t crest 17374  TopOpenctopn 17375  topGenctg 17391  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929

This theorem is referenced by:  tgioo3  24789  rellycmp  24942  evth  24944  evth2  24945  lebnumlem2  24947  resscdrg  25343  retopn  25364  cncombf  25643  cnmbf  25644  dvmptresicc  25901  dvcjbr  25934  rolle  25975  cmvth  25976  mvth  25977  dvlip  25978  dvlipcn  25979  dvlip2  25980  c1liplem1  25981  dvgt0lem1  25987  dvle  25992  dvivthlem1  25993  dvne0  25996  lhop1lem  25998  lhop2  26000  lhop  26001  dvcnvrelem1  26002  dvcnvre  26004  dvcvx  26005  dvfsumle  26006  dvfsumabs  26008  dvfsumlem2  26012  ftc1cn  26028  ftc2  26029  ftc2ditglem  26030  itgparts  26032  itgsubstlem  26033  itgpowd  26035  taylthlem2  26357  efcvx  26432  dvloglem  26630  logdmopn  26631  advlog  26636  advlogexp  26637  logccv  26645  loglesqrt  26743  lgamgulmlem2  27011  log2sumbnd  27525  rmulccn  34112  raddcn  34113  ftc2re  34782  knoppcnlem10  36808  knoppcnlem11  36809  broucube  38021  ftc1cnnc  38059  ftc2nc  38069  dvasin  38071  dvacos  38072  dvreasin  38073  dvreacos  38074  areacirclem1  38075  areacirc  38080  dvrelog2  42549  dvrelog3  42550  aks4d1p1p6  42558  redvmptabs  42837  readvrec2  42838  resuppsinopn  42840  readvcot  42841  lhe4.4ex1a  44773  refsumcn  45478  xrtgcntopre  45921  climreeq  46058  limcresiooub  46085  limcresioolb  46086  lptioo2cn  46088  lptioo1cn  46089  cncfiooicclem1  46336  jumpncnp  46341  fperdvper  46362  dvresioo  46364  dvbdfbdioolem1  46371  itgsin0pilem1  46393  itgsinexplem1  46397  itgcoscmulx  46412  itgsubsticclem  46418  itgiccshift  46423  itgperiod  46424  itgsbtaddcnst  46425  dirkeritg  46545  dirkercncflem2  46547  dirkercncflem3  46548  dirkercncflem4  46549  dirkercncf  46550  fourierdlem28  46578  fourierdlem32  46582  fourierdlem33  46583  fourierdlem39  46589  fourierdlem56  46605  fourierdlem57  46606  fourierdlem58  46607  fourierdlem59  46608  fourierdlem60  46609  fourierdlem61  46610  fourierdlem62  46611  fourierdlem68  46617  fourierdlem72  46621  fourierdlem73  46622  fourierdlem74  46623  fourierdlem75  46624  fourierdlem80  46629  fourierdlem94  46643  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierdlem113  46662  fouriercnp  46669  fouriersw  46674  fouriercn  46675  etransclem2  46679  etransclem23  46700  etransclem35  46712  etransclem38  46715  etransclem39  46716  etransclem44  46721  etransclem45  46722  etransclem46  46723  etransclem47  46724