Theorem tgioo4 24792

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24790	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1548  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  (,)cioo 13293   ↾_t crest 17378  TopOpenctopn 17379  topGenctg 17395  ℂ_fldccnfld 21351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-rest 17380  df-topn 17381  df-topgen 17401  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22933

This theorem is referenced by:  tgioo3  24793  rellycmp  24946  evth  24948  evth2  24949  lebnumlem2  24951  resscdrg  25347  retopn  25368  cncombf  25647  cnmbf  25648  dvmptresicc  25905  dvcjbr  25938  rolle  25979  cmvth  25980  mvth  25981  dvlip  25982  dvlipcn  25983  dvlip2  25984  c1liplem1  25985  dvgt0lem1  25991  dvle  25996  dvivthlem1  25997  dvne0  26000  lhop1lem  26002  lhop2  26004  lhop  26005  dvcnvrelem1  26006  dvcnvre  26008  dvcvx  26009  dvfsumle  26010  dvfsumabs  26012  dvfsumlem2  26016  ftc1cn  26032  ftc2  26033  ftc2ditglem  26034  itgparts  26036  itgsubstlem  26037  itgpowd  26039  taylthlem2  26361  efcvx  26436  dvloglem  26634  logdmopn  26635  advlog  26640  advlogexp  26641  logccv  26649  loglesqrt  26747  lgamgulmlem2  27015  log2sumbnd  27529  rmulccn  34124  raddcn  34125  ftc2re  34794  knoppcnlem10  36823  knoppcnlem11  36824  broucube  38036  ftc1cnnc  38074  ftc2nc  38084  dvasin  38086  dvacos  38087  dvreasin  38088  dvreacos  38089  areacirclem1  38090  areacirc  38095  dvrelog2  42564  dvrelog3  42565  aks4d1p1p6  42573  redvmptabs  42852  readvrec2  42853  resuppsinopn  42855  readvcot  42856  lhe4.4ex1a  44788  refsumcn  45493  xrtgcntopre  45935  climreeq  46072  limcresiooub  46099  limcresioolb  46100  lptioo2cn  46102  lptioo1cn  46103  cncfiooicclem1  46350  jumpncnp  46355  fperdvper  46376  dvresioo  46378  dvbdfbdioolem1  46385  itgsin0pilem1  46407  itgsinexplem1  46411  itgcoscmulx  46426  itgsubsticclem  46432  itgiccshift  46437  itgperiod  46438  itgsbtaddcnst  46439  dirkeritg  46559  dirkercncflem2  46561  dirkercncflem3  46562  dirkercncflem4  46563  dirkercncf  46564  fourierdlem28  46592  fourierdlem32  46596  fourierdlem33  46597  fourierdlem39  46603  fourierdlem56  46619  fourierdlem57  46620  fourierdlem58  46621  fourierdlem59  46622  fourierdlem60  46623  fourierdlem61  46624  fourierdlem62  46625  fourierdlem68  46631  fourierdlem72  46635  fourierdlem73  46636  fourierdlem74  46637  fourierdlem75  46638  fourierdlem80  46643  fourierdlem94  46657  fourierdlem103  46666  fourierdlem104  46667  fourierdlem113  46676  fouriercnp  46683  fouriersw  46688  fouriercn  46689  etransclem2  46693  etransclem23  46714  etransclem35  46726  etransclem38  46729  etransclem39  46730  etransclem44  46735  etransclem45  46736  etransclem46  46737  etransclem47  46738