Theorem tgioo4 24749

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24747	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1541  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  (,)cioo 13261   ↾_t crest 17340  TopOpenctopn 17341  topGenctg 17357  ℂ_fldccnfld 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-rest 17342  df-topn 17343  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890

This theorem is referenced by:  tgioo3  24750  rellycmp  24912  evth  24914  evth2  24915  lebnumlem2  24917  resscdrg  25314  retopn  25335  cncombf  25615  cnmbf  25616  dvmptresicc  25873  dvcjbr  25909  rolle  25950  cmvth  25951  mvth  25953  dvlip  25954  dvlipcn  25955  dvlip2  25956  c1liplem1  25957  dvgt0lem1  25963  dvle  25968  dvivthlem1  25969  dvne0  25972  lhop1lem  25974  lhop2  25976  lhop  25977  dvcnvrelem1  25978  dvcnvre  25980  dvcvx  25981  dvfsumle  25982  dvfsumabs  25985  dvfsumlem2  25989  ftc1cn  26006  ftc2  26007  ftc2ditglem  26008  itgparts  26010  itgsubstlem  26011  itgpowd  26013  taylthlem2  26338  efcvx  26415  dvloglem  26613  logdmopn  26614  advlog  26619  advlogexp  26620  logccv  26628  loglesqrt  26727  lgamgulmlem2  26996  log2sumbnd  27511  rmulccn  34085  raddcn  34086  ftc2re  34755  knoppcnlem10  36702  knoppcnlem11  36703  broucube  37855  ftc1cnnc  37893  ftc2nc  37903  dvasin  37905  dvacos  37906  dvreasin  37907  dvreacos  37908  areacirclem1  37909  areacirc  37914  dvrelog2  42318  dvrelog3  42319  aks4d1p1p6  42327  redvmptabs  42615  readvrec2  42616  resuppsinopn  42618  readvcot  42619  lhe4.4ex1a  44570  refsumcn  45275  xrtgcntopre  45722  climreeq  45859  limcresiooub  45886  limcresioolb  45887  lptioo2cn  45889  lptioo1cn  45890  cncfiooicclem1  46137  jumpncnp  46142  fperdvper  46163  dvresioo  46165  dvbdfbdioolem1  46172  itgsin0pilem1  46194  itgsinexplem1  46198  itgcoscmulx  46213  itgsubsticclem  46219  itgiccshift  46224  itgperiod  46225  itgsbtaddcnst  46226  dirkeritg  46346  dirkercncflem2  46348  dirkercncflem3  46349  dirkercncflem4  46350  dirkercncf  46351  fourierdlem28  46379  fourierdlem32  46383  fourierdlem33  46384  fourierdlem39  46390  fourierdlem56  46406  fourierdlem57  46407  fourierdlem58  46408  fourierdlem59  46409  fourierdlem60  46410  fourierdlem61  46411  fourierdlem62  46412  fourierdlem68  46418  fourierdlem72  46422  fourierdlem73  46423  fourierdlem74  46424  fourierdlem75  46425  fourierdlem80  46430  fourierdlem94  46444  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fourierdlem113  46463  fouriercnp  46470  fouriersw  46475  fouriercn  46476  etransclem2  46480  etransclem23  46501  etransclem35  46513  etransclem38  46516  etransclem39  46517  etransclem44  46522  etransclem45  46523  etransclem46  46524  etransclem47  46525