Theorem tgioo4 24770

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24768	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1542  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  (,)cioo 13298   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  topGenctg 17400  ℂ_fldccnfld 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911

This theorem is referenced by:  tgioo3  24771  rellycmp  24924  evth  24926  evth2  24927  lebnumlem2  24929  resscdrg  25325  retopn  25346  cncombf  25625  cnmbf  25626  dvmptresicc  25883  dvcjbr  25916  rolle  25957  cmvth  25958  mvth  25959  dvlip  25960  dvlipcn  25961  dvlip2  25962  c1liplem1  25963  dvgt0lem1  25969  dvle  25974  dvivthlem1  25975  dvne0  25978  lhop1lem  25980  lhop2  25982  lhop  25983  dvcnvrelem1  25984  dvcnvre  25986  dvcvx  25987  dvfsumle  25988  dvfsumabs  25990  dvfsumlem2  25994  ftc1cn  26010  ftc2  26011  ftc2ditglem  26012  itgparts  26014  itgsubstlem  26015  itgpowd  26017  taylthlem2  26339  efcvx  26414  dvloglem  26612  logdmopn  26613  advlog  26618  advlogexp  26619  logccv  26627  loglesqrt  26725  lgamgulmlem2  26993  log2sumbnd  27507  rmulccn  34072  raddcn  34073  ftc2re  34742  knoppcnlem10  36762  knoppcnlem11  36763  broucube  37975  ftc1cnnc  38013  ftc2nc  38023  dvasin  38025  dvacos  38026  dvreasin  38027  dvreacos  38028  areacirclem1  38029  areacirc  38034  dvrelog2  42503  dvrelog3  42504  aks4d1p1p6  42512  redvmptabs  42792  readvrec2  42793  resuppsinopn  42795  readvcot  42796  lhe4.4ex1a  44756  refsumcn  45461  xrtgcntopre  45906  climreeq  46043  limcresiooub  46070  limcresioolb  46071  lptioo2cn  46073  lptioo1cn  46074  cncfiooicclem1  46321  jumpncnp  46326  fperdvper  46347  dvresioo  46349  dvbdfbdioolem1  46356  itgsin0pilem1  46378  itgsinexplem1  46382  itgcoscmulx  46397  itgsubsticclem  46403  itgiccshift  46408  itgperiod  46409  itgsbtaddcnst  46410  dirkeritg  46530  dirkercncflem2  46532  dirkercncflem3  46533  dirkercncflem4  46534  dirkercncf  46535  fourierdlem28  46563  fourierdlem32  46567  fourierdlem33  46568  fourierdlem39  46574  fourierdlem56  46590  fourierdlem57  46591  fourierdlem58  46592  fourierdlem59  46593  fourierdlem60  46594  fourierdlem61  46595  fourierdlem62  46596  fourierdlem68  46602  fourierdlem72  46606  fourierdlem73  46607  fourierdlem74  46608  fourierdlem75  46609  fourierdlem80  46614  fourierdlem94  46628  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem113  46647  fouriercnp  46654  fouriersw  46659  fouriercn  46660  etransclem2  46664  etransclem23  46685  etransclem35  46697  etransclem38  46700  etransclem39  46701  etransclem44  46706  etransclem45  46707  etransclem46  46708  etransclem47  46709