Theorem tgioo4 24761

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24759	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1542  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  (,)cioo 13273   ↾_t crest 17352  TopOpenctopn 17353  topGenctg 17369  ℂ_fldccnfld 21321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-rest 17354  df-topn 17355  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902

This theorem is referenced by:  tgioo3  24762  rellycmp  24924  evth  24926  evth2  24927  lebnumlem2  24929  resscdrg  25326  retopn  25347  cncombf  25627  cnmbf  25628  dvmptresicc  25885  dvcjbr  25921  rolle  25962  cmvth  25963  mvth  25965  dvlip  25966  dvlipcn  25967  dvlip2  25968  c1liplem1  25969  dvgt0lem1  25975  dvle  25980  dvivthlem1  25981  dvne0  25984  lhop1lem  25986  lhop2  25988  lhop  25989  dvcnvrelem1  25990  dvcnvre  25992  dvcvx  25993  dvfsumle  25994  dvfsumabs  25997  dvfsumlem2  26001  ftc1cn  26018  ftc2  26019  ftc2ditglem  26020  itgparts  26022  itgsubstlem  26023  itgpowd  26025  taylthlem2  26350  efcvx  26427  dvloglem  26625  logdmopn  26626  advlog  26631  advlogexp  26632  logccv  26640  loglesqrt  26739  lgamgulmlem2  27008  log2sumbnd  27523  rmulccn  34106  raddcn  34107  ftc2re  34776  knoppcnlem10  36724  knoppcnlem11  36725  broucube  37905  ftc1cnnc  37943  ftc2nc  37953  dvasin  37955  dvacos  37956  dvreasin  37957  dvreacos  37958  areacirclem1  37959  areacirc  37964  dvrelog2  42434  dvrelog3  42435  aks4d1p1p6  42443  redvmptabs  42730  readvrec2  42731  resuppsinopn  42733  readvcot  42734  lhe4.4ex1a  44685  refsumcn  45390  xrtgcntopre  45836  climreeq  45973  limcresiooub  46000  limcresioolb  46001  lptioo2cn  46003  lptioo1cn  46004  cncfiooicclem1  46251  jumpncnp  46256  fperdvper  46277  dvresioo  46279  dvbdfbdioolem1  46286  itgsin0pilem1  46308  itgsinexplem1  46312  itgcoscmulx  46327  itgsubsticclem  46333  itgiccshift  46338  itgperiod  46339  itgsbtaddcnst  46340  dirkeritg  46460  dirkercncflem2  46462  dirkercncflem3  46463  dirkercncflem4  46464  dirkercncf  46465  fourierdlem28  46493  fourierdlem32  46497  fourierdlem33  46498  fourierdlem39  46504  fourierdlem56  46520  fourierdlem57  46521  fourierdlem58  46522  fourierdlem59  46523  fourierdlem60  46524  fourierdlem61  46525  fourierdlem62  46526  fourierdlem68  46532  fourierdlem72  46536  fourierdlem73  46537  fourierdlem74  46538  fourierdlem75  46539  fourierdlem80  46544  fourierdlem94  46558  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  fourierdlem113  46577  fouriercnp  46584  fouriersw  46589  fouriercn  46590  etransclem2  46594  etransclem23  46615  etransclem35  46627  etransclem38  46630  etransclem39  46631  etransclem44  46636  etransclem45  46637  etransclem46  46638  etransclem47  46639