Theorem tgioo4 24780

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24778	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1542  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  (,)cioo 13289   ↾_t crest 17374  TopOpenctopn 17375  topGenctg 17391  ℂ_fldccnfld 21344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921

This theorem is referenced by:  tgioo3  24781  rellycmp  24934  evth  24936  evth2  24937  lebnumlem2  24939  resscdrg  25335  retopn  25356  cncombf  25635  cnmbf  25636  dvmptresicc  25893  dvcjbr  25926  rolle  25967  cmvth  25968  mvth  25969  dvlip  25970  dvlipcn  25971  dvlip2  25972  c1liplem1  25973  dvgt0lem1  25979  dvle  25984  dvivthlem1  25985  dvne0  25988  lhop1lem  25990  lhop2  25992  lhop  25993  dvcnvrelem1  25994  dvcnvre  25996  dvcvx  25997  dvfsumle  25998  dvfsumabs  26000  dvfsumlem2  26004  ftc1cn  26020  ftc2  26021  ftc2ditglem  26022  itgparts  26024  itgsubstlem  26025  itgpowd  26027  taylthlem2  26351  efcvx  26427  dvloglem  26625  logdmopn  26626  advlog  26631  advlogexp  26632  logccv  26640  loglesqrt  26738  lgamgulmlem2  27007  log2sumbnd  27521  rmulccn  34088  raddcn  34089  ftc2re  34758  knoppcnlem10  36778  knoppcnlem11  36779  broucube  37989  ftc1cnnc  38027  ftc2nc  38037  dvasin  38039  dvacos  38040  dvreasin  38041  dvreacos  38042  areacirclem1  38043  areacirc  38048  dvrelog2  42517  dvrelog3  42518  aks4d1p1p6  42526  redvmptabs  42806  readvrec2  42807  resuppsinopn  42809  readvcot  42810  lhe4.4ex1a  44774  refsumcn  45479  xrtgcntopre  45924  climreeq  46061  limcresiooub  46088  limcresioolb  46089  lptioo2cn  46091  lptioo1cn  46092  cncfiooicclem1  46339  jumpncnp  46344  fperdvper  46365  dvresioo  46367  dvbdfbdioolem1  46374  itgsin0pilem1  46396  itgsinexplem1  46400  itgcoscmulx  46415  itgsubsticclem  46421  itgiccshift  46426  itgperiod  46427  itgsbtaddcnst  46428  dirkeritg  46548  dirkercncflem2  46550  dirkercncflem3  46551  dirkercncflem4  46552  dirkercncf  46553  fourierdlem28  46581  fourierdlem32  46585  fourierdlem33  46586  fourierdlem39  46592  fourierdlem56  46608  fourierdlem57  46609  fourierdlem58  46610  fourierdlem59  46611  fourierdlem60  46612  fourierdlem61  46613  fourierdlem62  46614  fourierdlem68  46620  fourierdlem72  46624  fourierdlem73  46625  fourierdlem74  46626  fourierdlem75  46627  fourierdlem80  46632  fourierdlem94  46646  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656  fourierdlem113  46665  fouriercnp  46672  fouriersw  46677  fouriercn  46678  etransclem2  46682  etransclem23  46703  etransclem35  46715  etransclem38  46718  etransclem39  46719  etransclem44  46724  etransclem45  46725  etransclem46  46726  etransclem47  46727