Theorem tgioo4 24962

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24960	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1570  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  (,)cioo 13367   ↾_t crest 17468  TopOpenctopn 17469  topGenctg 17485  ℂ_fldccnfld 21522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-rest 17470  df-topn 17471  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103

This theorem is referenced by:  tgioo3  24963  rellycmp  25116  evth  25118  evth2  25119  lebnumlem2  25121  resscdrg  25517  retopn  25538  cncombf  25817  cnmbf  25818  dvmptresicc  26075  dvcjbr  26108  rolle  26149  cmvth  26150  mvth  26151  dvlip  26152  dvlipcn  26153  dvlip2  26154  c1liplem1  26155  dvgt0lem1  26161  dvle  26166  dvivthlem1  26167  dvne0  26170  lhop1lem  26172  lhop2  26174  lhop  26175  dvcnvrelem1  26176  dvcnvre  26178  dvcvx  26179  dvfsumle  26180  dvfsumabs  26182  dvfsumlem2  26186  ftc1cn  26202  ftc2  26203  ftc2ditglem  26204  itgparts  26206  itgsubstlem  26207  itgpowd  26209  taylthlem2  26537  efcvx  26612  dvloglem  26813  logdmopn  26814  advlog  26819  advlogexp  26820  logccv  26828  loglesqrt  26926  lgamgulmlem2  27194  log2sumbnd  27708  rmulccn  34318  raddcn  34319  ftc2re  34985  knoppcnlem10  37091  knoppcnlem11  37092  broucube  38305  ftc1cnnc  38343  ftc2nc  38353  dvasin  38355  dvacos  38356  dvreasin  38357  dvreacos  38358  areacirclem1  38359  areacirc  38364  dvrelog2  42831  dvrelog3  42832  aks4d1p1p6  42840  redvmptabs  43121  readvrec2  43122  resuppsinopn  43124  readvcot  43125  lhe4.4ex1a  45039  refsumcn  45750  xrtgcntopre  46192  climreeq  46329  limcresiooub  46356  limcresioolb  46357  lptioo2cn  46359  lptioo1cn  46360  cncfiooicclem1  46607  jumpncnp  46612  fperdvper  46633  dvresioo  46635  dvbdfbdioolem1  46642  itgsin0pilem1  46664  itgsinexplem1  46668  itgcoscmulx  46683  itgsubsticclem  46689  itgiccshift  46694  itgperiod  46695  itgsbtaddcnst  46696  dirkeritg  46816  dirkercncflem2  46818  dirkercncflem3  46819  dirkercncflem4  46820  dirkercncf  46821  fourierdlem28  46849  fourierdlem32  46853  fourierdlem33  46854  fourierdlem39  46860  fourierdlem56  46876  fourierdlem57  46877  fourierdlem58  46878  fourierdlem59  46879  fourierdlem60  46880  fourierdlem61  46881  fourierdlem62  46882  fourierdlem68  46888  fourierdlem72  46892  fourierdlem73  46893  fourierdlem74  46894  fourierdlem75  46895  fourierdlem80  46900  fourierdlem94  46914  fourierdlem103  46923  fourierdlem104  46924  fourierdlem113  46933  fouriercnp  46940  fouriersw  46945  fouriercn  46946  etransclem2  46950  etransclem23  46971  etransclem35  46983  etransclem38  46986  etransclem39  46987  etransclem44  46992  etransclem45  46993  etransclem46  46994  etransclem47  46995