Theorem tgioo4 24715

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24713	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1541  ran crn 5612  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  (,)cioo 13240   ↾_t crest 17319  TopOpenctopn 17320  topGenctg 17336  ℂ_fldccnfld 21286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-fz 13403  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-rest 17321  df-topn 17322  df-topgen 17342  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-bases 22856

This theorem is referenced by:  tgioo3  24716  rellycmp  24878  evth  24880  evth2  24881  lebnumlem2  24883  resscdrg  25280  retopn  25301  cncombf  25581  cnmbf  25582  dvmptresicc  25839  dvcjbr  25875  rolle  25916  cmvth  25917  mvth  25919  dvlip  25920  dvlipcn  25921  dvlip2  25922  c1liplem1  25923  dvgt0lem1  25929  dvle  25934  dvivthlem1  25935  dvne0  25938  lhop1lem  25940  lhop2  25942  lhop  25943  dvcnvrelem1  25944  dvcnvre  25946  dvcvx  25947  dvfsumle  25948  dvfsumabs  25951  dvfsumlem2  25955  ftc1cn  25972  ftc2  25973  ftc2ditglem  25974  itgparts  25976  itgsubstlem  25977  itgpowd  25979  taylthlem2  26304  efcvx  26381  dvloglem  26579  logdmopn  26580  advlog  26585  advlogexp  26586  logccv  26594  loglesqrt  26693  lgamgulmlem2  26962  log2sumbnd  27477  rmulccn  33933  raddcn  33934  ftc2re  34603  knoppcnlem10  36536  knoppcnlem11  36537  broucube  37694  ftc1cnnc  37732  ftc2nc  37742  dvasin  37744  dvacos  37745  dvreasin  37746  dvreacos  37747  areacirclem1  37748  areacirc  37753  dvrelog2  42097  dvrelog3  42098  aks4d1p1p6  42106  redvmptabs  42393  readvrec2  42394  resuppsinopn  42396  readvcot  42397  lhe4.4ex1a  44362  refsumcn  45067  xrtgcntopre  45516  climreeq  45653  limcresiooub  45680  limcresioolb  45681  lptioo2cn  45683  lptioo1cn  45684  cncfiooicclem1  45931  jumpncnp  45936  fperdvper  45957  dvresioo  45959  dvbdfbdioolem1  45966  itgsin0pilem1  45988  itgsinexplem1  45992  itgcoscmulx  46007  itgsubsticclem  46013  itgiccshift  46018  itgperiod  46019  itgsbtaddcnst  46020  dirkeritg  46140  dirkercncflem2  46142  dirkercncflem3  46143  dirkercncflem4  46144  dirkercncf  46145  fourierdlem28  46173  fourierdlem32  46177  fourierdlem33  46178  fourierdlem39  46184  fourierdlem56  46200  fourierdlem57  46201  fourierdlem58  46202  fourierdlem59  46203  fourierdlem60  46204  fourierdlem61  46205  fourierdlem62  46206  fourierdlem68  46212  fourierdlem72  46216  fourierdlem73  46217  fourierdlem74  46218  fourierdlem75  46219  fourierdlem80  46224  fourierdlem94  46238  fourierdlem103  46247  fourierdlem104  46248  fourierdlem113  46257  fouriercnp  46264  fouriersw  46269  fouriercn  46270  etransclem2  46274  etransclem23  46295  etransclem35  46307  etransclem38  46310  etransclem39  46311  etransclem44  46316  etransclem45  46317  etransclem46  46318  etransclem47  46319