Theorem tgioo4 24927

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24925	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1567  ran crn 5660  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  (,)cioo 13368   ↾_t crest 17469  TopOpenctopn 17470  topGenctg 17486  ℂ_fldccnfld 21487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-rest 17471  df-topn 17472  df-topgen 17492  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-bases 23068

This theorem is referenced by:  tgioo3  24928  rellycmp  25081  evth  25083  evth2  25084  lebnumlem2  25086  resscdrg  25482  retopn  25503  cncombf  25782  cnmbf  25783  dvmptresicc  26040  dvcjbr  26073  rolle  26114  cmvth  26115  mvth  26116  dvlip  26117  dvlipcn  26118  dvlip2  26119  c1liplem1  26120  dvgt0lem1  26126  dvle  26131  dvivthlem1  26132  dvne0  26135  lhop1lem  26137  lhop2  26139  lhop  26140  dvcnvrelem1  26141  dvcnvre  26143  dvcvx  26144  dvfsumle  26145  dvfsumabs  26147  dvfsumlem2  26151  ftc1cn  26167  ftc2  26168  ftc2ditglem  26169  itgparts  26171  itgsubstlem  26172  itgpowd  26174  taylthlem2  26499  efcvx  26574  dvloglem  26775  logdmopn  26776  advlog  26781  advlogexp  26782  logccv  26790  loglesqrt  26888  lgamgulmlem2  27156  log2sumbnd  27670  rmulccn  34259  raddcn  34260  ftc2re  34926  knoppcnlem10  36976  knoppcnlem11  36977  broucube  38188  ftc1cnnc  38226  ftc2nc  38236  dvasin  38238  dvacos  38239  dvreasin  38240  dvreacos  38241  areacirclem1  38242  areacirc  38247  dvrelog2  42716  dvrelog3  42717  aks4d1p1p6  42725  redvmptabs  43006  readvrec2  43007  resuppsinopn  43009  readvcot  43010  lhe4.4ex1a  44926  refsumcn  45637  xrtgcntopre  46079  climreeq  46216  limcresiooub  46243  limcresioolb  46244  lptioo2cn  46246  lptioo1cn  46247  cncfiooicclem1  46494  jumpncnp  46499  fperdvper  46520  dvresioo  46522  dvbdfbdioolem1  46529  itgsin0pilem1  46551  itgsinexplem1  46555  itgcoscmulx  46570  itgsubsticclem  46576  itgiccshift  46581  itgperiod  46582  itgsbtaddcnst  46583  dirkeritg  46703  dirkercncflem2  46705  dirkercncflem3  46706  dirkercncflem4  46707  dirkercncf  46708  fourierdlem28  46736  fourierdlem32  46740  fourierdlem33  46741  fourierdlem39  46747  fourierdlem56  46763  fourierdlem57  46764  fourierdlem58  46765  fourierdlem59  46766  fourierdlem60  46767  fourierdlem61  46768  fourierdlem62  46769  fourierdlem68  46775  fourierdlem72  46779  fourierdlem73  46780  fourierdlem74  46781  fourierdlem75  46782  fourierdlem80  46787  fourierdlem94  46801  fourierdlem103  46810  fourierdlem104  46811  fourierdlem113  46820  fouriercnp  46827  fouriersw  46832  fouriercn  46833  etransclem2  46837  etransclem23  46858  etransclem35  46870  etransclem38  46873  etransclem39  46874  etransclem44  46879  etransclem45  46880  etransclem46  46881  etransclem47  46882