Theorem tgioo4 25179

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tgioo4	⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 25177	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  (,)cioo 13516   ↾_t crest 17641  TopOpenctopn 17642  topGenctg 17658  ℂ_fldccnfld 21729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319

This theorem is used by:  tgioo3  25180  rellycmp  25333  evth  25335  evth2  25336  lebnumlem2  25338  resscdrg  25734  retopn  25755  cncombf  26034  cnmbf  26035  dvmptresicc  26291  dvcjbr  26324  rolle  26365  cmvth  26366  mvth  26367  dvlip  26368  dvlipcn  26369  dvlip2  26370  c1liplem1  26371  dvgt0lem1  26377  dvle  26382  dvivthlem1  26383  dvne0  26386  lhop1lem  26388  lhop2  26390  lhop  26391  dvcnvrelem1  26392  dvcnvre  26394  dvcvx  26395  dvfsumle  26396  dvfsumabs  26398  dvfsumlem2  26402  ftc1cn  26418  ftc2  26419  ftc2ditglem  26420  itgparts  26422  itgsubstlem  26423  itgpowd  26425  taylthlem2  26758  efcvx  26833  dvloglem  27033  logdmopn  27034  advlog  27039  advlogexp  27040  logccv  27048  loglesqrt  27146  lgamgulmlem2  27414  log2sumbnd  27928  rmulccn  34671  raddcn  34672  ftc2re  35338  knoppcnlem10  37583  knoppcnlem11  37584  broucube  38840  ftc1cnnc  38878  ftc2nc  38888  dvasin  38890  dvacos  38891  dvreasin  38892  dvreacos  38893  areacirclem1  38894  areacirc  38899  dvrelog2  43380  dvrelog3  43381  aks4d1p1p6  43389  redvmptabs  43677  readvrec2  43678  resuppsinopn  43680  readvcot  43681  lhe4.4ex1a  45574  refsumcn  46321  xrtgcntopre  46761  climreeq  46898  limcresiooub  46925  limcresioolb  46926  lptioo2cn  46928  lptioo1cn  46929  cncfiooicclem1  47176  jumpncnp  47181  fperdvper  47202  dvresioo  47204  dvbdfbdioolem1  47211  itgsin0pilem1  47233  itgsinexplem1  47237  itgcoscmulx  47252  itgsubsticclem  47258  itgiccshift  47263  itgperiod  47264  itgsbtaddcnst  47265  dirkeritg  47385  dirkercncflem2  47387  dirkercncflem3  47388  dirkercncflem4  47389  dirkercncf  47390  fourierdlem28  47418  fourierdlem32  47422  fourierdlem33  47423  fourierdlem39  47429  fourierdlem56  47445  fourierdlem57  47446  fourierdlem58  47447  fourierdlem59  47448  fourierdlem60  47449  fourierdlem61  47450  fourierdlem62  47451  fourierdlem68  47457  fourierdlem72  47461  fourierdlem73  47462  fourierdlem74  47463  fourierdlem75  47464  fourierdlem80  47469  fourierdlem94  47483  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  fourierdlem113  47502  fouriercnp  47509  fouriersw  47514  fouriercn  47515  etransclem2  47519  etransclem23  47540  etransclem35  47552  etransclem38  47555  etransclem39  47556  etransclem44  47561  etransclem45  47562  etransclem46  47563  etransclem47  47564