MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscaf 16918
Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasvscaf.c ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
imasvscaf (𝜑 :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasvscaf.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasvscaf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasvscaf.r . . 3 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasvscaf.g . . 3 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6 imasvscaf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 imasvscaf.q . . 3 · = ( ·𝑠𝑅)
8 imasvscaf.s . . 3 = ( ·𝑠𝑈)
9 imasvscaf.e . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 16916 . 2 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 16899 . . 3 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
12 imasvscaf.c . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
13 fof 6593 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
1514ffvelrnda 6864 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1612, 15syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1716ralrimivw 3098 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1817anass1rs 655 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝑉) ∧ 𝑝𝐾) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1918ralrimiva 3097 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝑉) → ∀𝑝𝐾𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
20 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
2120fmpo 7794 . . . . . . . 8 (∀𝑝𝐾𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵 ↔ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶𝐵)
2219, 21sylib 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶𝐵)
23 fssxp 6533 . . . . . . 7 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶𝐵 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵))
2514ffvelrnda 6864 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐵)
2625snssd 4698 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝑉) → {(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵)
27 xpss2 5546 . . . . . . 7 ({(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵 → (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵))
28 xpss1 5545 . . . . . . 7 ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝑉) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3024, 29sstrd 3888 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3130ralrimiva 3097 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
32 iunss 4932 . . . 4 ( 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵) ↔ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3331, 32sylibr 237 . . 3 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3411, 33eqsstrd 3916 . 2 (𝜑 ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
35 dff2 6878 . 2 ( :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( Fn (𝐾 × 𝐵) ∧ ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵)))
3610, 34, 35sylanbrc 586 1 (𝜑 :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wss 3844  {csn 4517   ciun 4882   × cxp 5524   Fn wfn 6335  wf 6336  ontowfo 6338  cfv 6340  (class class class)co 7173  cmpo 7175  Basecbs 16589  Scalarcsca 16674   ·𝑠 cvsca 16675  s cimas 16883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-sup 8982  df-inf 8983  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-z 12066  df-dec 12183  df-uz 12328  df-fz 12985  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-sca 16687  df-vsca 16688  df-ip 16689  df-tset 16690  df-ple 16691  df-ds 16693  df-imas 16887
This theorem is referenced by:  imaslmod  31128
  Copyright terms: Public domain W3C validator