MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem imasvscaf 17520
Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasvscaf.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasvscaf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasvscaf.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
imasvscaf.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
imasvscaf.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
imasvscaf.s βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
imasvscaf.e ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
imasvscaf.c ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (𝑝 Β· π‘ž) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
imasvscaf (πœ‘ β†’ βˆ™ :(𝐾 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
Distinct variable groups:   𝑝,π‘Ž,π‘ž,𝐹   𝐾,π‘Ž,𝑝,π‘ž   πœ‘,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝐡,𝑝,π‘ž   𝑅,𝑝,π‘ž   Β· ,𝑝,π‘ž   βˆ™ ,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑉,π‘Ž,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   Β· (π‘Ž)   π‘ˆ(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝐺(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝑍(π‘ž,𝑝,π‘Ž)
Proof of Theorem imasvscaf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imasvscaf.v . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imasvscaf.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imasvscaf.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
5 imasvscaf.g . . 3 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
6 imasvscaf.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
7 imasvscaf.q . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
8 imasvscaf.s . . 3 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
9 imasvscaf.e . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 17518 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 17501 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
12 imasvscaf.c . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (𝑝 Β· π‘ž) ∈ 𝑉)
13 fof 6806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
1514ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑝 Β· π‘ž) ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ 𝐡)
1612, 15syldan 589 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ 𝐡)
1716ralrimivw 3140 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ 𝐡)
1817anass1rs 653 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ 𝐡)
1918ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ 𝐡)
20 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
2120fmpo 8070 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ 𝐡 ↔ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢𝐡)
2219, 21sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢𝐡)
23 fssxp 6746 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢𝐡 β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— 𝐡))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— 𝐡))
2514ffvelcdmda 7089 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) ∈ 𝐡)
2625snssd 4808 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ {(πΉβ€˜π‘ž)} βŠ† 𝐡)
27 xpss2 5692 . . . . . . 7 ({(πΉβ€˜π‘ž)} βŠ† 𝐡 β†’ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡))
28 xpss1 5691 . . . . . . 7 ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡) β†’ ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— 𝐡) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— 𝐡) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
3024, 29sstrd 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
3130ralrimiva 3136 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
32 iunss 5043 . . . 4 (βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
3331, 32sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
3411, 33eqsstrd 4011 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ™ βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
35 dff2 7104 . 2 ( βˆ™ :(𝐾 Γ— 𝐡)⟢𝐡 ↔ ( βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡) ∧ βˆ™ βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡)))
3610, 34, 35sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ βˆ™ :(𝐾 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3939  {csn 4624  βˆͺ ciun 4991   Γ— cxp 5670   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236   β€œs cimas 17485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-imas 17489
This theorem is referenced by:  imaslmod  33113
  Copyright terms: Public domain W3C validator