MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscaf 17492
Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasvscaf.c ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
imasvscaf (𝜑 :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasvscaf.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasvscaf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasvscaf.r . . 3 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasvscaf.g . . 3 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6 imasvscaf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 imasvscaf.q . . 3 · = ( ·𝑠𝑅)
8 imasvscaf.s . . 3 = ( ·𝑠𝑈)
9 imasvscaf.e . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 17490 . 2 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 17473 . . 3 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
12 imasvscaf.c . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
13 fof 6805 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
1514ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1612, 15syldan 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1716ralrimivw 3149 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1817anass1rs 652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝑉) ∧ 𝑝𝐾) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1918ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝑉) → ∀𝑝𝐾𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
20 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
2120fmpo 8058 . . . . . . . 8 (∀𝑝𝐾𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵 ↔ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶𝐵)
2219, 21sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶𝐵)
23 fssxp 6745 . . . . . . 7 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶𝐵 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵))
2514ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐵)
2625snssd 4812 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝑉) → {(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵)
27 xpss2 5696 . . . . . . 7 ({(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵 → (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵))
28 xpss1 5695 . . . . . . 7 ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝑉) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3024, 29sstrd 3992 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3130ralrimiva 3145 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
32 iunss 5048 . . . 4 ( 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵) ↔ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3331, 32sylibr 233 . . 3 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3411, 33eqsstrd 4020 . 2 (𝜑 ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
35 dff2 7100 . 2 ( :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( Fn (𝐾 × 𝐵) ∧ ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵)))
3610, 34, 35sylanbrc 582 1 (𝜑 :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wss 3948  {csn 4628   ciun 4997   × cxp 5674   Fn wfn 6538  wf 6539  ontowfo 6541  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  s cimas 17457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-imas 17461
This theorem is referenced by:  imaslmod  32905
  Copyright terms: Public domain W3C validator