Theorem imasvscaf 16641

Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvscaf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasvscaf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasvscaf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
imasvscaf.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
imasvscaf.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasvscaf.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
imasvscaf	⊢ (𝜑 → ∙ :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvscaf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasvscaf.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasvscaf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasvscaf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		imasvscaf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6		imasvscaf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		imasvscaf.q	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		imasvscaf.s	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
9		imasvscaf.e	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	imasvscafn 16639	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ Fn (𝐾 × 𝐵))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	imasvsca 16622	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
12		imasvscaf.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
13		fof 6458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
15	14	ffvelrnda 6716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
16	12, 15	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
17	16	ralrimivw 3150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
18	17	anass1rs 651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
19	18	ralrimiva 3149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → ∀𝑝 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
20		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
21	20	fmpo 7622	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵 ↔ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹‘𝑞)})⟶𝐵)
22	19, 21	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹‘𝑞)})⟶𝐵)
23		fssxp 6402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹‘𝑞)})⟶𝐵 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵))
25	14	ffvelrnda 6716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐵)
26	25	snssd 4649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → {(𝐹‘𝑞)} ⊆ 𝐵)
27		xpss2 5463	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝐹‘𝑞)} ⊆ 𝐵 → (𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵))
28		xpss1 5462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵) → ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
30	24, 29	sstrd 3899	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
31	30	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
32		iunss 4868	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
33	31, 32	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
34	11, 33	eqsstrd 3926	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
35		dff2 6728	. 2 ⊢ ( ∙ :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) ∧ ∙ ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵)))
36	10, 34, 35	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∙ :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105   ⊆ wss 3859  {csn 4472  ∪ ciun 4825   × cxp 5441   Fn wfn 6220  ⟶wf 6221  –onto→wfo 6223  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ∈ cmpo 7018  Basecbs 16312  Scalarcsca 16397   ·_𝑠 cvsca 16398   “_s cimas 16606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-imas 16610

This theorem is referenced by:  imaslmod  30576