Theorem imasvscaf 17502

Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvscaf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasvscaf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasvscaf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
imasvscaf.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
imasvscaf.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasvscaf.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
imasvscaf	⊢ (𝜑 → ∙ :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvscaf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasvscaf.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasvscaf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasvscaf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		imasvscaf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6		imasvscaf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		imasvscaf.q	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		imasvscaf.s	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
9		imasvscaf.e	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	imasvscafn 17500	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ Fn (𝐾 × 𝐵))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	imasvsca 17483	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
12		imasvscaf.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
13		fof 6772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
15	14	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
16	12, 15	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
17	16	ralrimivw 3129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
18	17	anass1rs 655	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
19	18	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → ∀𝑝 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
20		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
21	20	fmpo 8047	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵 ↔ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹‘𝑞)})⟶𝐵)
22	19, 21	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹‘𝑞)})⟶𝐵)
23		fssxp 6715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹‘𝑞)})⟶𝐵 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵))
25	14	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐵)
26	25	snssd 4773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → {(𝐹‘𝑞)} ⊆ 𝐵)
27		xpss2 5658	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝐹‘𝑞)} ⊆ 𝐵 → (𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵))
28		xpss1 5657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵) → ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
30	24, 29	sstrd 3957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
31	30	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
32		iunss 5009	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
33	31, 32	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
34	11, 33	eqsstrd 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
35		dff2 7071	. 2 ⊢ ( ∙ :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) ∧ ∙ ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵)))
36	10, 34, 35	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∙ :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ∪ ciun 4955   × cxp 5636   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224   “_s cimas 17467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-imas 17471

This theorem is referenced by:  imaslmod  33324