Theorem imasvscaf 17584

Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvscaf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasvscaf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasvscaf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
imasvscaf.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
imasvscaf.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasvscaf.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
imasvscaf	⊢ (𝜑 → ∙ :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvscaf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasvscaf.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasvscaf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasvscaf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		imasvscaf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6		imasvscaf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		imasvscaf.q	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		imasvscaf.s	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
9		imasvscaf.e	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	imasvscafn 17582	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ Fn (𝐾 × 𝐵))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	imasvsca 17565	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
12		imasvscaf.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
13		fof 6820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
15	14	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
16	12, 15	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
17	16	ralrimivw 3150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
18	17	anass1rs 655	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
19	18	ralrimiva 3146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → ∀𝑝 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
20		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
21	20	fmpo 8093	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵 ↔ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹‘𝑞)})⟶𝐵)
22	19, 21	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹‘𝑞)})⟶𝐵)
23		fssxp 6763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹‘𝑞)})⟶𝐵 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵))
25	14	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐵)
26	25	snssd 4809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → {(𝐹‘𝑞)} ⊆ 𝐵)
27		xpss2 5705	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝐹‘𝑞)} ⊆ 𝐵 → (𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵))
28		xpss1 5704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵) → ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
30	24, 29	sstrd 3994	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
31	30	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
32		iunss 5045	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
33	31, 32	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
34	11, 33	eqsstrd 4018	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
35		dff2 7119	. 2 ⊢ ( ∙ :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) ∧ ∙ ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵)))
36	10, 34, 35	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∙ :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ∪ ciun 4991   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –onto→wfo 6559  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301   “_s cimas 17549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-imas 17553

This theorem is referenced by:  imaslmod  33381