MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscaf 17422
Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasvscaf.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasvscaf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasvscaf.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
imasvscaf.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
imasvscaf.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
imasvscaf.s βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
imasvscaf.e ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
imasvscaf.c ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (𝑝 Β· π‘ž) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
imasvscaf (πœ‘ β†’ βˆ™ :(𝐾 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
Distinct variable groups:   𝑝,π‘Ž,π‘ž,𝐹   𝐾,π‘Ž,𝑝,π‘ž   πœ‘,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝐡,𝑝,π‘ž   𝑅,𝑝,π‘ž   Β· ,𝑝,π‘ž   βˆ™ ,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑉,π‘Ž,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   Β· (π‘Ž)   π‘ˆ(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝐺(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝑍(π‘ž,𝑝,π‘Ž)

Proof of Theorem imasvscaf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imasvscaf.v . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imasvscaf.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imasvscaf.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
5 imasvscaf.g . . 3 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
6 imasvscaf.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
7 imasvscaf.q . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
8 imasvscaf.s . . 3 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
9 imasvscaf.e . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 17420 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 17403 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
12 imasvscaf.c . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (𝑝 Β· π‘ž) ∈ 𝑉)
13 fof 6757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
1514ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑝 Β· π‘ž) ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ 𝐡)
1612, 15syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ 𝐡)
1716ralrimivw 3148 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ 𝐡)
1817anass1rs 654 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ 𝐡)
1918ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ 𝐡)
20 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
2120fmpo 8001 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ 𝐡 ↔ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢𝐡)
2219, 21sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢𝐡)
23 fssxp 6697 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢𝐡 β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— 𝐡))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— 𝐡))
2514ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) ∈ 𝐡)
2625snssd 4770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ {(πΉβ€˜π‘ž)} βŠ† 𝐡)
27 xpss2 5654 . . . . . . 7 ({(πΉβ€˜π‘ž)} βŠ† 𝐡 β†’ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡))
28 xpss1 5653 . . . . . . 7 ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡) β†’ ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— 𝐡) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— 𝐡) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
3024, 29sstrd 3955 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
3130ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
32 iunss 5006 . . . 4 (βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
3331, 32sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
3411, 33eqsstrd 3983 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ™ βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡))
35 dff2 7050 . 2 ( βˆ™ :(𝐾 Γ— 𝐡)⟢𝐡 ↔ ( βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡) ∧ βˆ™ βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— 𝐡)))
3610, 34, 35sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆ™ :(𝐾 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3911  {csn 4587  βˆͺ ciun 4955   Γ— cxp 5632   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17084  Scalarcsca 17137   ·𝑠 cvsca 17138   β€œs cimas 17387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-imas 17391
This theorem is referenced by:  imaslmod  32148
  Copyright terms: Public domain W3C validator