Theorem imasvscaf 17711

Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvscaf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasvscaf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasvscaf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
imasvscaf.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
imasvscaf.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasvscaf.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
imasvscaf	⊢ (𝜑 → ∙ :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞, 𝑝, 𝑎)   𝐺(𝑞, 𝑝, 𝑎)   𝑍(𝑞, 𝑝, 𝑎)

Proof of Theorem imasvscaf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvscaf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasvscaf.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasvscaf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasvscaf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		imasvscaf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6		imasvscaf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		imasvscaf.q	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		imasvscaf.s	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
9		imasvscaf.e	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	imasvscafn 17709	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ Fn (𝐾 × 𝐵))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	imasvsca 17692	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
12		imasvscaf.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
13		fof 6796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
14	3, 13	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
15	14	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
16	12, 15	syldan 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
17	16	ralrimivw 3159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
18	17	anass1rs 668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
19	18	ralrimiva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → ∀𝑝 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
20		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
21	20	fmpo 8079	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵 ↔ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹‘𝑞)})⟶𝐵)
22	19, 21	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹‘𝑞)})⟶𝐵)
23		fssxp 6737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹‘𝑞)})⟶𝐵 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵))
24	22, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵))
25	14	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐵)
26	25	snssd 4747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → {(𝐹‘𝑞)} ⊆ 𝐵)
27		xpss2 5671	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝐹‘𝑞)} ⊆ 𝐵 → (𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵))
28		xpss1 5670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵) → ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
29	26, 27, 28	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → ((𝐾 × {(𝐹‘𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
30	24, 29	sstrd 3941	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
31	30	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
32		iunss 5003	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
33	31, 32	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
34	11, 33	eqsstrd 3965	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
35		dff2 7099	. 2 ⊢ ( ∙ :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) ∧ ∙ ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵)))
36	10, 34, 35	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∙ :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ ciun 4951   × cxp 5649   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432   “_s cimas 17676

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-imas 17680

This theorem is used by:  imaslmod  33914