Theorem l1cvat 39691

Description: Create an atom under an element covered by the lattice unity. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (1cvrat 40112 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
l1cvat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
l1cvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
l1cvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
l1cvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
l1cvat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
l1cvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
l1cvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
l1cvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
l1cvat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
l1cvat.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
l1cvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
l1cvat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
l1cvat	⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem l1cvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		l1cvat.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lmodabl 20999	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
6		l1cvat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssssubg 21048	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8	3, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9		l1cvat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10		l1cvat.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
11	6, 9, 3, 10	lsatlssel 39633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	8, 11	sseldd 3940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		l1cvat.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
14	6, 9, 3, 13	lsatlssel 39633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
15	8, 14	sseldd 3940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16		l1cvat.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
17	16	lsmcom 19919	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑄))
18	5, 12, 15, 17	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑄))
19	18	ineq1d 4174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) = ((𝑅 ⊕ 𝑄) ∩ 𝑈))
20		incom 4164	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊕ 𝑄) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄))
21	19, 20	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄)))
22		l1cvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
23		l1cvat.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
24	23	necomd 3015	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑄)
25		l1cvat.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
26		l1cvat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
27	26, 9, 3, 13	lsatssv 39634	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑉)
28		l1cvat.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
29		l1cvat.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
30	26, 6, 16, 9, 28, 1, 22, 10, 29, 25	l1cvpat 39690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)
31	27, 30	sseqtrrd 3976	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))
32	6, 16, 9, 1, 22, 13, 10, 24, 25, 31	lsatcvat3 39688	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄)) ∈ 𝐴)
33	21, 32	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  SubGrpcsubg 19177  LSSumclsm 19695  Abelcabl 19842  LModclmod 20950  LSubSpclss 21021  LVecclvec 21192  LSAtomsclsa 39610   ⋖_L clcv 39654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-0g 17484  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-cntz 19378  df-oppg 19407  df-lsm 19697  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-lvec 21193  df-lsatoms 39612  df-lshyp 39613  df-lcv 39655

This theorem is referenced by:  lshpat  39692