Theorem l1cvat 39311

Description: Create an atom under an element covered by the lattice unity. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (1cvrat 39732 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
l1cvat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
l1cvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
l1cvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
l1cvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
l1cvat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
l1cvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
l1cvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
l1cvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
l1cvat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
l1cvat.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
l1cvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
l1cvat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
l1cvat	⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem l1cvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		l1cvat.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lmodabl 20860	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
6		l1cvat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssssubg 20909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8	3, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9		l1cvat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10		l1cvat.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
11	6, 9, 3, 10	lsatlssel 39253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	8, 11	sseldd 3934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		l1cvat.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
14	6, 9, 3, 13	lsatlssel 39253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
15	8, 14	sseldd 3934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16		l1cvat.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
17	16	lsmcom 19787	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑄))
18	5, 12, 15, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑄))
19	18	ineq1d 4171	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) = ((𝑅 ⊕ 𝑄) ∩ 𝑈))
20		incom 4161	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊕ 𝑄) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄))
21	19, 20	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄)))
22		l1cvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
23		l1cvat.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
24	23	necomd 2987	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑄)
25		l1cvat.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
26		l1cvat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
27	26, 9, 3, 13	lsatssv 39254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑉)
28		l1cvat.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
29		l1cvat.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
30	26, 6, 16, 9, 28, 1, 22, 10, 29, 25	l1cvpat 39310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)
31	27, 30	sseqtrrd 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))
32	6, 16, 9, 1, 22, 13, 10, 24, 25, 31	lsatcvat3 39308	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄)) ∈ 𝐴)
33	21, 32	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  SubGrpcsubg 19050  LSSumclsm 19563  Abelcabl 19710  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882  LVecclvec 21054  LSAtomsclsa 39230   ⋖_L clcv 39274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-oppg 19275  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lsatoms 39232  df-lshyp 39233  df-lcv 39275

This theorem is referenced by:  lshpat  39312