Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  l1cvat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem l1cvat 36667
 Description: Create an atom under an element covered by the lattice unit. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (1cvrat 37088 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
l1cvat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
l1cvat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
l1cvat.p = (LSSum‘𝑊)
l1cvat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
l1cvat.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
l1cvat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
l1cvat.u (𝜑𝑈𝑆)
l1cvat.q (𝜑𝑄𝐴)
l1cvat.r (𝜑𝑅𝐴)
l1cvat.n (𝜑𝑄𝑅)
l1cvat.l (𝜑𝑈𝐶𝑉)
l1cvat.m (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
Assertion
Ref Expression
l1cvat (𝜑 → ((𝑄 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem l1cvat
StepHypRef Expression
1 l1cvat.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19961 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lmodabl 19764 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
6 l1cvat.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
76lsssssubg 19813 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
83, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9 l1cvat.a . . . . . . 7 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10 l1cvat.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝐴)
116, 9, 3, 10lsatlssel 36609 . . . . . 6 (𝜑𝑄𝑆)
128, 11sseldd 3896 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13 l1cvat.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐴)
146, 9, 3, 13lsatlssel 36609 . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑆)
158, 14sseldd 3896 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16 l1cvat.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
1716lsmcom 19061 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
185, 12, 15, 17syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
1918ineq1d 4119 . . 3 (𝜑 → ((𝑄 𝑅) ∩ 𝑈) = ((𝑅 𝑄) ∩ 𝑈))
20 incom 4109 . . 3 ((𝑅 𝑄) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑅 𝑄))
2119, 20eqtrdi 2810 . 2 (𝜑 → ((𝑄 𝑅) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑅 𝑄)))
22 l1cvat.u . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
23 l1cvat.n . . . 4 (𝜑𝑄𝑅)
2423necomd 3007 . . 3 (𝜑𝑅𝑄)
25 l1cvat.m . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
26 l1cvat.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2726, 9, 3, 13lsatssv 36610 . . . 4 (𝜑𝑅𝑉)
28 l1cvat.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
29 l1cvat.l . . . . 5 (𝜑𝑈𝐶𝑉)
3026, 6, 16, 9, 28, 1, 22, 10, 29, 25l1cvpat 36666 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 𝑄) = 𝑉)
3127, 30sseqtrrd 3936 . . 3 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑈 𝑄))
326, 16, 9, 1, 22, 13, 10, 24, 25, 31lsatcvat3 36664 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑅 𝑄)) ∈ 𝐴)
3321, 32eqeltrd 2853 1 (𝜑 → ((𝑄 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   ∩ cin 3860   ⊆ wss 3861   class class class wbr 5037  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  Basecbs 16556  SubGrpcsubg 18355  LSSumclsm 18841  Abelcabl 18989  LModclmod 19717  LSubSpclss 19786  LVecclvec 19957  LSAtomsclsa 36586   ⋖L clcv 36630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-tpos 7909  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-0g 16788  df-mre 16930  df-mrc 16931  df-acs 16933  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-submnd 18038  df-grp 18187  df-minusg 18188  df-sbg 18189  df-subg 18358  df-cntz 18529  df-oppg 18556  df-lsm 18843  df-cmn 18990  df-abl 18991  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-ring 19382  df-oppr 19459  df-dvdsr 19477  df-unit 19478  df-invr 19508  df-drng 19587  df-lmod 19719  df-lss 19787  df-lsp 19827  df-lvec 19958  df-lsatoms 36588  df-lshyp 36589  df-lcv 36631 This theorem is referenced by:  lshpat  36668
 Copyright terms: Public domain W3C validator