Theorem l1cvat 39078

Description: Create an atom under an element covered by the lattice unity. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (1cvrat 39500 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
l1cvat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
l1cvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
l1cvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
l1cvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
l1cvat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
l1cvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
l1cvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
l1cvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
l1cvat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
l1cvat.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
l1cvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
l1cvat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
l1cvat	⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem l1cvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		l1cvat.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lmodabl 20871	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
6		l1cvat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssssubg 20920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8	3, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9		l1cvat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10		l1cvat.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
11	6, 9, 3, 10	lsatlssel 39020	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	8, 11	sseldd 3964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		l1cvat.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
14	6, 9, 3, 13	lsatlssel 39020	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
15	8, 14	sseldd 3964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16		l1cvat.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
17	16	lsmcom 19844	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑄))
18	5, 12, 15, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑄))
19	18	ineq1d 4199	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) = ((𝑅 ⊕ 𝑄) ∩ 𝑈))
20		incom 4189	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊕ 𝑄) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄))
21	19, 20	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄)))
22		l1cvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
23		l1cvat.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
24	23	necomd 2988	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑄)
25		l1cvat.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
26		l1cvat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
27	26, 9, 3, 13	lsatssv 39021	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑉)
28		l1cvat.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
29		l1cvat.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
30	26, 6, 16, 9, 28, 1, 22, 10, 29, 25	l1cvpat 39077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)
31	27, 30	sseqtrrd 4001	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))
32	6, 16, 9, 1, 22, 13, 10, 24, 25, 31	lsatcvat3 39075	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄)) ∈ 𝐴)
33	21, 32	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  SubGrpcsubg 19108  LSSumclsm 19620  Abelcabl 19767  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893  LVecclvec 21065  LSAtomsclsa 38997   ⋖_L clcv 39041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-oppg 19334  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-lvec 21066  df-lsatoms 38999  df-lshyp 39000  df-lcv 39042

This theorem is referenced by:  lshpat  39079