Theorem l1cvat 38436

Description: Create an atom under an element covered by the lattice unity. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (1cvrat 38858 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
l1cvat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
l1cvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
l1cvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
l1cvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
l1cvat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
l1cvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
l1cvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
l1cvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
l1cvat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
l1cvat.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
l1cvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
l1cvat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
l1cvat	⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem l1cvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		l1cvat.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20952	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lmodabl 20753	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
6		l1cvat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssssubg 20803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8	3, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9		l1cvat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10		l1cvat.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
11	6, 9, 3, 10	lsatlssel 38378	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	8, 11	sseldd 3978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		l1cvat.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
14	6, 9, 3, 13	lsatlssel 38378	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
15	8, 14	sseldd 3978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16		l1cvat.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
17	16	lsmcom 19776	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑄))
18	5, 12, 15, 17	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑄))
19	18	ineq1d 4206	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) = ((𝑅 ⊕ 𝑄) ∩ 𝑈))
20		incom 4196	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊕ 𝑄) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄))
21	19, 20	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄)))
22		l1cvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
23		l1cvat.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
24	23	necomd 2990	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑄)
25		l1cvat.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
26		l1cvat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
27	26, 9, 3, 13	lsatssv 38379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑉)
28		l1cvat.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
29		l1cvat.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
30	26, 6, 16, 9, 28, 1, 22, 10, 29, 25	l1cvpat 38435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)
31	27, 30	sseqtrrd 4018	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))
32	6, 16, 9, 1, 22, 13, 10, 24, 25, 31	lsatcvat3 38433	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄)) ∈ 𝐴)
33	21, 32	eqeltrd 2827	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  SubGrpcsubg 19045  LSSumclsm 19552  Abelcabl 19699  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776  LVecclvec 20948  LSAtomsclsa 38355   ⋖_L clcv 38399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-lsatoms 38357  df-lshyp 38358  df-lcv 38400

This theorem is referenced by:  lshpat  38437