Theorem pcidlem 16248

Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcidlem	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nnexpcld 13641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℕ)
6	1, 5	pccld 16227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 11980	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℝ)
8	7	leidd 11229	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
9	5	nnzd 12110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ)
10		pcdvdsb 16245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴)))
11	1, 9, 6, 10	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴)))
12	8, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴))
13	3, 6	nnexpcld 13641	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12110	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∈ ℤ)
15		dvdsle 15696	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴)))
16	14, 5, 15	syl2anc 588	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴)))
17	12, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴))
18	3	nnred 11674	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
19	6	nn0zd 12109	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℤ)
20		nn0z 12029	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
21	20	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		prmuz2 16077	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
23		eluz2gt1 12345	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
24	1, 22, 23	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
25	18, 19, 21, 24	leexp2d 13650	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴)))
26	17, 25	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ 𝐴)
27		iddvds 15656	. . . 4 ⊢ ((𝑃↑𝐴) ∈ ℤ → (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴))
28	9, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴))
29		pcdvdsb 16245	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴)))
30	1, 9, 4, 29	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴)))
31	28, 30	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
32		nn0re 11928	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	7, 33	letri3d 10805	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴 ↔ ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))))
35	26, 31, 34	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5025  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  ℝcr 10559  1c1 10561   < clt 10698   ≤ cle 10699  ℕcn 11659  2c2 11714  ℕ₀cn0 11919  ℤcz 12005  ℤ_≥cuz 12267  ↑cexp 13464   ∥ cdvds 15640  ℙcprime 16052   pCnt cpc 16213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-sup 8924  df-inf 8925  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-q 12374  df-rp 12416  df-fl 13196  df-mod 13272  df-seq 13404  df-exp 13465  df-cj 14491  df-re 14492  df-im 14493  df-sqrt 14627  df-abs 14628  df-dvds 15641  df-gcd 15879  df-prm 16053  df-pc 16214

This theorem is referenced by:  pcid  16249  pcmpt  16268  dvdsppwf1o  25855