Theorem pcidlem 16812

Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcidlem	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nnexpcld 14180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℕ)
6	1, 5	pccld 16790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℝ)
8	7	leidd 11715	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
9	5	nnzd 12526	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ)
10		pcdvdsb 16809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴)))
11	1, 9, 6, 10	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴)))
12	8, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴))
13	3, 6	nnexpcld 14180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∈ ℤ)
15		dvdsle 16249	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴)))
16	14, 5, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴)))
17	12, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴))
18	3	nnred 12172	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
19	6	nn0zd 12525	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℤ)
20		nn0z 12524	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		prmuz2 16635	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
23		eluz2gt1 12845	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
24	1, 22, 23	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
25	18, 19, 21, 24	leexp2d 14187	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴)))
26	17, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ 𝐴)
27		iddvds 16208	. . . 4 ⊢ ((𝑃↑𝐴) ∈ ℤ → (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴))
28	9, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴))
29		pcdvdsb 16809	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴)))
30	1, 9, 4, 29	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴)))
31	28, 30	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
32		nn0re 12422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	7, 33	letri3d 11287	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴 ↔ ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))))
35	26, 31, 34	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ↑cexp 13996   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610   pCnt cpc 16776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-pc 16777

This theorem is referenced by:  pcid  16813  pcmpt  16832  dvdsppwf1o  27164  aks6d1c2p2  42489  aks6d1c7  42554