MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcidlem 15776
Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcidlem ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcidlem
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 prmnn 15588 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
4 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
53, 4nnexpcld 13230 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
61, 5pccld 15755 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℕ0)
76nn0red 11552 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
87leidd 10794 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
95nnzd 11681 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℤ)
10 pcdvdsb 15773 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴)))
111, 9, 6, 10syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴)))
128, 11mpbid 222 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴))
133, 6nnexpcld 13230 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℕ)
1413nnzd 11681 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℤ)
15 dvdsle 15234 . . . . 5 (((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
1614, 5, 15syl2anc 573 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
1712, 16mpd 15 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴))
183nnred 11235 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
196nn0zd 11680 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℤ)
20 nn0z 11600 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2120adantl 467 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
22 prmuz2 15608 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
231, 22syl 17 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
24 eluz2b1 11960 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
2524simprbi 484 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
2623, 25syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
2718, 19, 21, 26leexp2d 13239 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
2817, 27mpbird 247 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴)
29 iddvds 15197 . . . 4 ((𝑃𝐴) ∈ ℤ → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴))
309, 29syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴))
31 pcdvdsb 15773 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴)))
321, 9, 4, 31syl3anc 1476 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴)))
3330, 32mpbird 247 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
34 nn0re 11501 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
3534adantl 467 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
367, 35letri3d 10379 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴 ↔ ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))))
3728, 33, 36mpbir2and 692 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6029  (class class class)co 6791  cr 10135  1c1 10137   < clt 10274  cle 10275  cn 11220  2c2 11270  0cn0 11492  cz 11577  cuz 11886  cexp 13060  cdvds 15182  cprime 15585   pCnt cpc 15741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-dvds 15183  df-gcd 15418  df-prm 15586  df-pc 15742
This theorem is referenced by:  pcid  15777  pcmpt  15796  dvdsppwf1o  25126
  Copyright terms: Public domain W3C validator