Theorem pcidlem 16784

Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcidlem	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nnexpcld 14152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℕ)
6	1, 5	pccld 16762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℝ)
8	7	leidd 11686	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
9	5	nnzd 12498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ)
10		pcdvdsb 16781	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴)))
11	1, 9, 6, 10	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴)))
12	8, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴))
13	3, 6	nnexpcld 14152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12498	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∈ ℤ)
15		dvdsle 16221	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴)))
16	14, 5, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴)))
17	12, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴))
18	3	nnred 12143	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
19	6	nn0zd 12497	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℤ)
20		nn0z 12496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		prmuz2 16607	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
23		eluz2gt1 12821	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
24	1, 22, 23	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
25	18, 19, 21, 24	leexp2d 14159	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴)))
26	17, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ 𝐴)
27		iddvds 16180	. . . 4 ⊢ ((𝑃↑𝐴) ∈ ℤ → (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴))
28	9, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴))
29		pcdvdsb 16781	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴)))
30	1, 9, 4, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴)))
31	28, 30	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
32		nn0re 12393	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	7, 33	letri3d 11258	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴 ↔ ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))))
35	26, 31, 34	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  1c1 11010   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℕcn 12128  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ↑cexp 13968   ∥ cdvds 16163  ℙcprime 16582   pCnt cpc 16748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-pc 16749

This theorem is referenced by:  pcid  16785  pcmpt  16804  dvdsppwf1o  27094  aks6d1c2p2  42092  aks6d1c7  42157