MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcidlem 16906
Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcidlem ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcidlem
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 prmnn 16708 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
4 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
53, 4nnexpcld 14281 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
61, 5pccld 16884 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℕ0)
76nn0red 12586 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
87leidd 11827 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
95nnzd 12638 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℤ)
10 pcdvdsb 16903 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴)))
111, 9, 6, 10syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴)))
128, 11mpbid 232 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴))
133, 6nnexpcld 14281 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℕ)
1413nnzd 12638 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℤ)
15 dvdsle 16344 . . . . 5 (((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
1614, 5, 15syl2anc 584 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
1712, 16mpd 15 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴))
183nnred 12279 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
196nn0zd 12637 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℤ)
20 nn0z 12636 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2120adantl 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
22 prmuz2 16730 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
23 eluz2gt1 12960 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
241, 22, 233syl 18 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
2518, 19, 21, 24leexp2d 14288 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
2617, 25mpbird 257 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴)
27 iddvds 16304 . . . 4 ((𝑃𝐴) ∈ ℤ → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴))
289, 27syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴))
29 pcdvdsb 16903 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴)))
301, 9, 4, 29syl3anc 1370 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴)))
3128, 30mpbird 257 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
32 nn0re 12533 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
3332adantl 481 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
347, 33letri3d 11401 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴 ↔ ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))))
3526, 31, 34mpbir2and 713 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  cexp 14099  cdvds 16287  cprime 16705   pCnt cpc 16870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871
This theorem is referenced by:  pcid  16907  pcmpt  16926  dvdsppwf1o  27244  aks6d1c2p2  42101  aks6d1c7  42166
  Copyright terms: Public domain W3C validator