MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcidlem 16041
Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcidlem ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcidlem
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 prmnn 15851 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
4 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
53, 4nnexpcld 13460 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
61, 5pccld 16020 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℕ0)
76nn0red 11810 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
87leidd 11060 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
95nnzd 11940 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℤ)
10 pcdvdsb 16038 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴)))
111, 9, 6, 10syl3anc 1364 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴)))
128, 11mpbid 233 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴))
133, 6nnexpcld 13460 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℕ)
1413nnzd 11940 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℤ)
15 dvdsle 15497 . . . . 5 (((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
1614, 5, 15syl2anc 584 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
1712, 16mpd 15 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴))
183nnred 11507 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
196nn0zd 11939 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℤ)
20 nn0z 11859 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2120adantl 482 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
22 prmuz2 15873 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
23 eluz2gt1 12173 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
241, 22, 233syl 18 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
2518, 19, 21, 24leexp2d 13469 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
2617, 25mpbird 258 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴)
27 iddvds 15460 . . . 4 ((𝑃𝐴) ∈ ℤ → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴))
289, 27syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴))
29 pcdvdsb 16038 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴)))
301, 9, 4, 29syl3anc 1364 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴)))
3128, 30mpbird 258 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
32 nn0re 11760 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
3332adantl 482 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
347, 33letri3d 10635 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴 ↔ ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))))
3526, 31, 34mpbir2and 709 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083   class class class wbr 4968  cfv 6232  (class class class)co 7023  cr 10389  1c1 10391   < clt 10528  cle 10529  cn 11492  2c2 11546  0cn0 11751  cz 11835  cuz 12097  cexp 13283  cdvds 15444  cprime 15848   pCnt cpc 16006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-dvds 15445  df-gcd 15681  df-prm 15849  df-pc 16007
This theorem is referenced by:  pcid  16042  pcmpt  16061  dvdsppwf1o  25449
  Copyright terms: Public domain W3C validator