Theorem pcidlem 16954

Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcidlem	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nnexpcld 14299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℕ)
6	1, 5	pccld 16932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℝ)
8	7	leidd 11795	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
9	5	nnzd 12632	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ)
10		pcdvdsb 16951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴)))
11	1, 9, 6, 10	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴)))
12	8, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴))
13	3, 6	nnexpcld 14299	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12632	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∈ ℤ)
15		dvdsle 16390	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴)))
16	14, 5, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ∥ (𝑃↑𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴)))
17	12, 16	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴))
18	3	nnred 12263	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
19	6	nn0zd 12631	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ∈ ℤ)
20		nn0z 12630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
21	20	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		prmuz2 16776	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
23		eluz2gt1 12960	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
24	1, 22, 23	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
25	18, 19, 21, 24	leexp2d 14306	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴))) ≤ (𝑃↑𝐴)))
26	17, 25	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ 𝐴)
27		iddvds 16349	. . . 4 ⊢ ((𝑃↑𝐴) ∈ ℤ → (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴))
28	9, 27	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴))
29		pcdvdsb 16951	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴)))
30	1, 9, 4, 29	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ↔ (𝑃↑𝐴) ∥ (𝑃↑𝐴)))
31	28, 30	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
32		nn0re 12528	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	7, 33	letri3d 11367	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴 ↔ ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))))
35	26, 31, 34	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  1c1 11116   < clt 11258   ≤ cle 11259  ℕcn 12248  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ↑cexp 14115   ∥ cdvds 16332  ℙcprime 16751   pCnt cpc 16918

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-gcd 16575  df-prm 16752  df-pc 16919

This theorem is used by:  pcid  16955  pcmpt  16974  dvdsppwf1o  27401  aks6d1c2p2  42944  aks6d1c7  43009