Theorem recxpf1lem 26244

Description: Complex exponentiation on positive real numbers is a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
recxpf1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recxpf1.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
rexcpf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rexcpf1.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
rexcpf1.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
recxpf1lem	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶)))

Proof of Theorem recxpf1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recxpf1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		recxpf1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		rexcpf1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rexcpf1.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		rexcpf1.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 3, 4, 5	cxple2d 26242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐵↑𝑐𝐶)))
7	3, 4, 1, 2, 5	cxple2d 26242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐶)))
8	6, 7	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐵↑𝑐𝐶) ∧ (𝐵↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐶))))
9	1, 3	letri3d 11358	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
10	5	rpred 13018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	1, 2, 10	recxpcld 26238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
12	3, 4, 10	recxpcld 26238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
13	11, 12	letri3d 11358	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶) ↔ ((𝐴↑𝑐𝐶) ≤ (𝐵↑𝑐𝐶) ∧ (𝐵↑𝑐𝐶) ≤ (𝐴↑𝑐𝐶))))
14	8, 9, 13	3bitr4d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112   ≤ cle 11251  ℝ⁺crp 12976  ↑_𝑐ccxp 26071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073

This theorem is referenced by:  nrt2irr  29764