MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrmul 26235
Description: The degree of a product of nonzero polynomials is the sum of degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgradd.1 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
dgradd.2 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dgrmul (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))

Proof of Theorem dgrmul
StepHypRef Expression
1 dgradd.1 . . . 4 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
2 dgradd.2 . . . 4 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
31, 2dgrmul2 26234 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ≀ (𝑀 + 𝑁))
43ad2ant2r 745 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ≀ (𝑀 + 𝑁))
5 plymulcl 26185 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
65ad2ant2r 745 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
7 dgrcl 26197 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
81, 7eqeltrid 2829 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
98ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
10 dgrcl 26197 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
112, 10eqeltrid 2829 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1211ad2antrl 726 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
139, 12nn0addcld 12566 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
14 eqid 2725 . . . . . 6 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
15 eqid 2725 . . . . . 6 (coeffβ€˜πΊ) = (coeffβ€˜πΊ)
1614, 15, 1, 2coemulhi 26218 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
1716ad2ant2r 745 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
1814coef3 26196 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
1918ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
2019, 9ffvelcdmd 7092 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
2115coef3 26196 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
2221ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
2322, 12ffvelcdmd 7092 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) ∈ β„‚)
241, 14dgreq0 26230 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) = 0))
2524necon3bid 2975 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 β‰  0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) β‰  0))
2625biimpa 475 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) β‰  0)
2726adantr 479 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) β‰  0)
282, 15dgreq0 26230 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) = 0))
2928necon3bid 2975 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 β‰  0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0))
3029biimpa 475 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0)
3130adantl 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0)
3220, 23, 27, 31mulne0d 11896 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘)) β‰  0)
3317, 32eqnetrd 2998 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) β‰  0)
34 eqid 2725 . . . 4 (coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))
35 eqid 2725 . . . 4 (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))
3634, 35dgrub 26198 . . 3 (((𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0 ∧ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) β‰  0) β†’ (𝑀 + 𝑁) ≀ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
376, 13, 33, 36syl3anc 1368 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ≀ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
38 dgrcl 26197 . . . . 5 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ∈ β„•0)
396, 38syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ∈ β„•0)
4039nn0red 12563 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ∈ ℝ)
4113nn0red 12563 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4240, 41letri3d 11386 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁) ↔ ((degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ≀ (𝑀 + 𝑁) ∧ (𝑀 + 𝑁) ≀ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)))))
434, 37, 42mpbir2and 711 1 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   ∘f cof 7681  β„‚cc 11136  0cc0 11138   + caddc 11141   Β· cmul 11143   ≀ cle 11279  β„•0cn0 12502  0𝑝c0p 25628  Polycply 26148  coeffccoe 26150  degcdgr 26151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-0p 25629  df-ply 26152  df-coe 26154  df-dgr 26155
This theorem is referenced by:  dgrmulc  26236  dgrcolem1  26238  plydivlem4  26261  plydiveu  26263  fta1lem  26272  quotcan  26274  vieta1lem1  26275  vieta1lem2  26276
  Copyright terms: Public domain W3C validator