MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dgrmul 25784
Description: The degree of a product of nonzero polynomials is the sum of degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgradd.1 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
dgradd.2 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dgrmul (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))
Proof of Theorem dgrmul
StepHypRef Expression
1 dgradd.1 . . . 4 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
2 dgradd.2 . . . 4 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
31, 2dgrmul2 25783 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ≀ (𝑀 + 𝑁))
43ad2ant2r 746 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ≀ (𝑀 + 𝑁))
5 plymulcl 25735 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
65ad2ant2r 746 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
7 dgrcl 25747 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
81, 7eqeltrid 2838 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
98ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
10 dgrcl 25747 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
112, 10eqeltrid 2838 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1211ad2antrl 727 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
139, 12nn0addcld 12536 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
14 eqid 2733 . . . . . 6 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
15 eqid 2733 . . . . . 6 (coeffβ€˜πΊ) = (coeffβ€˜πΊ)
1614, 15, 1, 2coemulhi 25768 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
1716ad2ant2r 746 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
1814coef3 25746 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
1918ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
2019, 9ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
2115coef3 25746 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
2221ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
2322, 12ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) ∈ β„‚)
241, 14dgreq0 25779 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) = 0))
2524necon3bid 2986 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 β‰  0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) β‰  0))
2625biimpa 478 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) β‰  0)
2726adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) β‰  0)
282, 15dgreq0 25779 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) = 0))
2928necon3bid 2986 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 β‰  0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0))
3029biimpa 478 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0)
3130adantl 483 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0)
3220, 23, 27, 31mulne0d 11866 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘)) β‰  0)
3317, 32eqnetrd 3009 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) β‰  0)
34 eqid 2733 . . . 4 (coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))
35 eqid 2733 . . . 4 (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))
3634, 35dgrub 25748 . . 3 (((𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0 ∧ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) β‰  0) β†’ (𝑀 + 𝑁) ≀ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
376, 13, 33, 36syl3anc 1372 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ≀ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
38 dgrcl 25747 . . . . 5 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ∈ β„•0)
396, 38syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ∈ β„•0)
4039nn0red 12533 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ∈ ℝ)
4113nn0red 12533 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4240, 41letri3d 11356 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁) ↔ ((degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ≀ (𝑀 + 𝑁) ∧ (𝑀 + 𝑁) ≀ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)))))
434, 37, 42mpbir2and 712 1 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  β„•0cn0 12472  0𝑝c0p 25186  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  dgrmulc  25785  dgrcolem1  25787  plydivlem4  25809  plydiveu  25811  fta1lem  25820  quotcan  25822  vieta1lem1  25823  vieta1lem2  25824
  Copyright terms: Public domain W3C validator