MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dgrmul 26020
Description: The degree of a product of nonzero polynomials is the sum of degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgradd.1 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
dgradd.2 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dgrmul (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))
Proof of Theorem dgrmul
StepHypRef Expression
1 dgradd.1 . . . 4 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
2 dgradd.2 . . . 4 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
31, 2dgrmul2 26019 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ≀ (𝑀 + 𝑁))
43ad2ant2r 743 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ≀ (𝑀 + 𝑁))
5 plymulcl 25970 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
65ad2ant2r 743 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
7 dgrcl 25982 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
81, 7eqeltrid 2835 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
98ad2antrr 722 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
10 dgrcl 25982 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
112, 10eqeltrid 2835 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1211ad2antrl 724 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
139, 12nn0addcld 12540 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
14 eqid 2730 . . . . . 6 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
15 eqid 2730 . . . . . 6 (coeffβ€˜πΊ) = (coeffβ€˜πΊ)
1614, 15, 1, 2coemulhi 26003 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
1716ad2ant2r 743 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
1814coef3 25981 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
1918ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
2019, 9ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
2115coef3 25981 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
2221ad2antrl 724 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
2322, 12ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) ∈ β„‚)
241, 14dgreq0 26015 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) = 0))
2524necon3bid 2983 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 β‰  0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) β‰  0))
2625biimpa 475 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) β‰  0)
2726adantr 479 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) β‰  0)
282, 15dgreq0 26015 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) = 0))
2928necon3bid 2983 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 β‰  0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0))
3029biimpa 475 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0)
3130adantl 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0)
3220, 23, 27, 31mulne0d 11870 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘)) β‰  0)
3317, 32eqnetrd 3006 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) β‰  0)
34 eqid 2730 . . . 4 (coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))
35 eqid 2730 . . . 4 (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))
3634, 35dgrub 25983 . . 3 (((𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0 ∧ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) β‰  0) β†’ (𝑀 + 𝑁) ≀ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
376, 13, 33, 36syl3anc 1369 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ≀ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
38 dgrcl 25982 . . . . 5 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ∈ β„•0)
396, 38syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ∈ β„•0)
4039nn0red 12537 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ∈ ℝ)
4113nn0red 12537 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4240, 41letri3d 11360 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁) ↔ ((degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ≀ (𝑀 + 𝑁) ∧ (𝑀 + 𝑁) ≀ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)))))
434, 37, 42mpbir2and 709 1 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  0𝑝c0p 25418  Polycply 25933  coeffccoe 25935  degcdgr 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940
This theorem is referenced by:  dgrmulc  26021  dgrcolem1  26023  plydivlem4  26045  plydiveu  26047  fta1lem  26056  quotcan  26058  vieta1lem1  26059  vieta1lem2  26060
  Copyright terms: Public domain W3C validator