Theorem dgrmul 25431

Description: The degree of a product of nonzero polynomials is the sum of degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgradd.1	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgradd.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dgrmul	⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))

Proof of Theorem dgrmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgradd.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
2		dgradd.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
3	1, 2	dgrmul2 25430	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁))
4	3	ad2ant2r 744	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁))
5		plymulcl 25382	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
6	5	ad2ant2r 744	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
7		dgrcl 25394	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	1, 7	eqeltrid 2843	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	8	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10		dgrcl 25394	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
11	2, 10	eqeltrid 2843	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	ad2antrl 725	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0addcld 12297	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
14		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
15		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
16	14, 15, 1, 2	coemulhi 25415	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)))
17	16	ad2ant2r 744	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)))
18	14	coef3 25393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
19	18	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
20	19, 9	ffvelrnd 6962	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
21	15	coef3 25393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺):ℕ0⟶ℂ)
22	21	ad2antrl 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (coeff‘𝐺):ℕ0⟶ℂ)
23	22, 12	ffvelrnd 6962	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
24	1, 14	dgreq0 25426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = 0))
25	24	necon3bid 2988	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
26	25	biimpa 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
27	26	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
28	2, 15	dgreq0 25426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐺)‘𝑁) = 0))
29	28	necon3bid 2988	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
30	29	biimpa 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
31	30	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
32	20, 23, 27, 31	mulne0d 11627	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)) ≠ 0)
33	17, 32	eqnetrd 3011	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) ≠ 0)
34		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))
35		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺))
36	34, 35	dgrub 25395	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) ≠ 0) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)))
37	6, 13, 33, 36	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)))
38		dgrcl 25394	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ∈ ℕ0)
39	6, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ∈ ℕ0)
40	39	nn0red 12294	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ∈ ℝ)
41	13	nn0red 12294	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
42	40, 41	letri3d 11117	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁) ∧ (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)))))
43	4, 37, 42	mpbir2and 710	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531  ℂcc 10869  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876   ≤ cle 11010  ℕ₀cn0 12233  0_𝑝c0p 24833  Polycply 25345  coeffccoe 25347  degcdgr 25348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-0p 24834  df-ply 25349  df-coe 25351  df-dgr 25352

This theorem is referenced by:  dgrmulc  25432  dgrcolem1  25434  plydivlem4  25456  plydiveu  25458  fta1lem  25467  quotcan  25469  vieta1lem1  25470  vieta1lem2  25471