Theorem dgrmul 26442

Description: The degree of a product of nonzero polynomials is the sum of degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgradd.1	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgradd.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dgrmul	⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))

Proof of Theorem dgrmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgradd.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
2		dgradd.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
3	1, 2	dgrmul2 26441	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁))
4	3	ad2ant2r 760	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁))
5		plymulcl 26393	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
6	5	ad2ant2r 760	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
7		dgrcl 26405	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	1, 7	eqeltrid 2870	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10		dgrcl 26405	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
11	2, 10	eqeltrid 2870	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0addcld 12579	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
14		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
15		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
16	14, 15, 1, 2	coemulhi 26426	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)))
17	16	ad2ant2r 760	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)))
18	14	coef3 26404	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
20	19, 9	ffvelcdmd 7084	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
21	15	coef3 26404	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺):ℕ0⟶ℂ)
22	21	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (coeff‘𝐺):ℕ0⟶ℂ)
23	22, 12	ffvelcdmd 7084	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
24	1, 14	dgreq0 26437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = 0))
25	24	necon3bid 3005	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
26	25	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
27	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
28	2, 15	dgreq0 26437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐺)‘𝑁) = 0))
29	28	necon3bid 3005	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
30	29	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
31	30	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
32	20, 23, 27, 31	mulne0d 11876	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)) ≠ 0)
33	17, 32	eqnetrd 3028	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) ≠ 0)
34		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))
35		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺))
36	34, 35	dgrub 26406	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) ≠ 0) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)))
37	6, 13, 33, 36	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)))
38		dgrcl 26405	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ∈ ℕ0)
39	6, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ∈ ℕ0)
40	39	nn0red 12576	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ∈ ℝ)
41	13	nn0red 12576	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
42	40, 41	letri3d 11362	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁) ∧ (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)))))
43	4, 37, 42	mpbir2and 726	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5112  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7678  ℂcc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   · cmul 11115   ≤ cle 11254  ℕ₀cn0 12514  0_𝑝c0p 25843  Polycply 26356  coeffccoe 26358  degcdgr 26359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-rp 13027  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-fl 13836  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14378  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-clim 15550  df-rlim 15551  df-sum 15749  df-0p 25844  df-ply 26360  df-coe 26362  df-dgr 26363

This theorem is used by:  dgrmulc  26443  dgrcolem1  26445  plydivlem4  26472  plydiveu  26474  fta1lem  26483  quotcan  26485  vieta1lem1  26486  vieta1lem2  26487  cjnpoly  47658