Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrmul 24846
 Description: The degree of a product of nonzero polynomials is the sum of degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
dgrmul (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))

Proof of Theorem dgrmul
StepHypRef Expression
1 dgradd.1 . . . 4 𝑀 = (deg‘𝐹)
2 dgradd.2 . . . 4 𝑁 = (deg‘𝐺)
31, 2dgrmul2 24845 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁))
43ad2ant2r 745 . 2 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁))
5 plymulcl 24797 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
65ad2ant2r 745 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
7 dgrcl 24809 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
81, 7eqeltrid 2915 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑀 ∈ ℕ0)
98ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10 dgrcl 24809 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
112, 10eqeltrid 2915 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1211ad2antrl 726 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
139, 12nn0addcld 11938 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
14 eqid 2820 . . . . . 6 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
15 eqid 2820 . . . . . 6 (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
1614, 15, 1, 2coemulhi 24830 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐹f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)))
1716ad2ant2r 745 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘(𝐹f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)))
1814coef3 24808 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
1918ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
2019, 9ffvelrnd 6828 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
2115coef3 24808 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺):ℕ0⟶ℂ)
2221ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (coeff‘𝐺):ℕ0⟶ℂ)
2322, 12ffvelrnd 6828 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
241, 14dgreq0 24841 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = 0))
2524necon3bid 3050 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
2625biimpa 479 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
2726adantr 483 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
282, 15dgreq0 24841 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐺)‘𝑁) = 0))
2928necon3bid 3050 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
3029biimpa 479 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
3130adantl 484 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
3220, 23, 27, 31mulne0d 11270 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)) ≠ 0)
3317, 32eqnetrd 3073 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘(𝐹f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) ≠ 0)
34 eqid 2820 . . . 4 (coeff‘(𝐹f · 𝐺)) = (coeff‘(𝐹f · 𝐺))
35 eqid 2820 . . . 4 (deg‘(𝐹f · 𝐺)) = (deg‘(𝐹f · 𝐺))
3634, 35dgrub 24810 . . 3 (((𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘(𝐹f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) ≠ 0) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹f · 𝐺)))
376, 13, 33, 36syl3anc 1367 . 2 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹f · 𝐺)))
38 dgrcl 24809 . . . . 5 ((𝐹f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(𝐹f · 𝐺)) ∈ ℕ0)
396, 38syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹f · 𝐺)) ∈ ℕ0)
4039nn0red 11935 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹f · 𝐺)) ∈ ℝ)
4113nn0red 11935 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4240, 41letri3d 10760 . 2 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((deg‘(𝐹f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁) ∧ (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹f · 𝐺)))))
434, 37, 42mpbir2and 711 1 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006   class class class wbr 5042  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133   ∘f cof 7385  ℂcc 10513  0cc0 10515   + caddc 10518   · cmul 10520   ≤ cle 10654  ℕ0cn0 11876  0𝑝c0p 24252  Polycply 24760  coeffccoe 24762  degcdgr 24763 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-0p 24253  df-ply 24764  df-coe 24766  df-dgr 24767 This theorem is referenced by:  dgrmulc  24847  dgrcolem1  24849  plydivlem4  24871  plydiveu  24873  fta1lem  24882  quotcan  24884  vieta1lem1  24885  vieta1lem2  24886
 Copyright terms: Public domain W3C validator