MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dgrmul 26192
Description: The degree of a product of nonzero polynomials is the sum of degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgradd.1 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
dgradd.2 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dgrmul (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))
Proof of Theorem dgrmul
StepHypRef Expression
1 dgradd.1 . . . 4 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
2 dgradd.2 . . . 4 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
31, 2dgrmul2 26191 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ≀ (𝑀 + 𝑁))
43ad2ant2r 746 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ≀ (𝑀 + 𝑁))
5 plymulcl 26142 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
65ad2ant2r 746 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
7 dgrcl 26154 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
81, 7eqeltrid 2832 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
98ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
10 dgrcl 26154 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
112, 10eqeltrid 2832 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1211ad2antrl 727 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
139, 12nn0addcld 12558 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
14 eqid 2727 . . . . . 6 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
15 eqid 2727 . . . . . 6 (coeffβ€˜πΊ) = (coeffβ€˜πΊ)
1614, 15, 1, 2coemulhi 26175 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
1716ad2ant2r 746 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
1814coef3 26153 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
1918ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
2019, 9ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
2115coef3 26153 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
2221ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
2322, 12ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) ∈ β„‚)
241, 14dgreq0 26187 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) = 0))
2524necon3bid 2980 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 β‰  0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) β‰  0))
2625biimpa 476 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) β‰  0)
2726adantr 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) β‰  0)
282, 15dgreq0 26187 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) = 0))
2928necon3bid 2980 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 β‰  0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0))
3029biimpa 476 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0)
3130adantl 481 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0)
3220, 23, 27, 31mulne0d 11888 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘€) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜π‘)) β‰  0)
3317, 32eqnetrd 3003 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) β‰  0)
34 eqid 2727 . . . 4 (coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))
35 eqid 2727 . . . 4 (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))
3634, 35dgrub 26155 . . 3 (((𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0 ∧ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) β‰  0) β†’ (𝑀 + 𝑁) ≀ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
376, 13, 33, 36syl3anc 1369 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ≀ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
38 dgrcl 26154 . . . . 5 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ∈ β„•0)
396, 38syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ∈ β„•0)
4039nn0red 12555 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ∈ ℝ)
4113nn0red 12555 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4240, 41letri3d 11378 . 2 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁) ↔ ((degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) ≀ (𝑀 + 𝑁) ∧ (𝑀 + 𝑁) ≀ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)))))
434, 37, 42mpbir2and 712 1 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7677  β„‚cc 11128  0cc0 11130   + caddc 11133   Β· cmul 11135   ≀ cle 11271  β„•0cn0 12494  0𝑝c0p 25585  Polycply 26105  coeffccoe 26107  degcdgr 26108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-0p 25586  df-ply 26109  df-coe 26111  df-dgr 26112
This theorem is referenced by:  dgrmulc  26193  dgrcolem1  26195  plydivlem4  26218  plydiveu  26220  fta1lem  26229  quotcan  26231  vieta1lem1  26232  vieta1lem2  26233
  Copyright terms: Public domain W3C validator