Theorem dgrmul 26236

Description: The degree of a product of nonzero polynomials is the sum of degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgradd.1	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgradd.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dgrmul	⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))

Proof of Theorem dgrmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgradd.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
2		dgradd.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
3	1, 2	dgrmul2 26235	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁))
4	3	ad2ant2r 748	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁))
5		plymulcl 26186	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
6	5	ad2ant2r 748	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
7		dgrcl 26198	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	1, 7	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	8	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10		dgrcl 26198	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
11	2, 10	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	ad2antrl 729	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0addcld 12470	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
16	14, 15, 1, 2	coemulhi 26219	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)))
17	16	ad2ant2r 748	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)))
18	14	coef3 26197	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
20	19, 9	ffvelcdmd 7032	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
21	15	coef3 26197	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺):ℕ0⟶ℂ)
22	21	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (coeff‘𝐺):ℕ0⟶ℂ)
23	22, 12	ffvelcdmd 7032	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
24	1, 14	dgreq0 26231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = 0))
25	24	necon3bid 2977	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
26	25	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
28	2, 15	dgreq0 26231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐺)‘𝑁) = 0))
29	28	necon3bid 2977	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
30	29	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
32	20, 23, 27, 31	mulne0d 11793	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)) ≠ 0)
33	17, 32	eqnetrd 3000	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) ≠ 0)
34		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))
35		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺))
36	34, 35	dgrub 26199	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) ≠ 0) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)))
37	6, 13, 33, 36	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)))
38		dgrcl 26198	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ∈ ℕ0)
39	6, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ∈ ℕ0)
40	39	nn0red 12467	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ∈ ℝ)
41	13	nn0red 12467	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
42	40, 41	letri3d 11279	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁) ∧ (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)))))
43	4, 37, 42	mpbir2and 714	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  ℂcc 11028  0cc0 11030   + caddc 11033   · cmul 11035   ≤ cle 11171  ℕ₀cn0 12405  0_𝑝c0p 25630  Polycply 26149  coeffccoe 26151  degcdgr 26152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-0p 25631  df-ply 26153  df-coe 26155  df-dgr 26156

This theorem is referenced by:  dgrmulc  26237  dgrcolem1  26239  plydivlem4  26264  plydiveu  26266  fta1lem  26275  quotcan  26277  vieta1lem1  26278  vieta1lem2  26279  cjnpoly  47171