Theorem dgrmul 25336

Description: The degree of a product of nonzero polynomials is the sum of degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgradd.1	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgradd.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dgrmul	⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))

Proof of Theorem dgrmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgradd.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
2		dgradd.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
3	1, 2	dgrmul2 25335	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁))
4	3	ad2ant2r 743	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁))
5		plymulcl 25287	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
6	5	ad2ant2r 743	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
7		dgrcl 25299	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	1, 7	eqeltrid 2843	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	8	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10		dgrcl 25299	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
11	2, 10	eqeltrid 2843	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	ad2antrl 724	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0addcld 12227	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
14		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
15		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
16	14, 15, 1, 2	coemulhi 25320	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)))
17	16	ad2ant2r 743	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)))
18	14	coef3 25298	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
19	18	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
20	19, 9	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
21	15	coef3 25298	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺):ℕ0⟶ℂ)
22	21	ad2antrl 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (coeff‘𝐺):ℕ0⟶ℂ)
23	22, 12	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
24	1, 14	dgreq0 25331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = 0))
25	24	necon3bid 2987	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
26	25	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
28	2, 15	dgreq0 25331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐺)‘𝑁) = 0))
29	28	necon3bid 2987	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
30	29	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
32	20, 23, 27, 31	mulne0d 11557	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (((coeff‘𝐹)‘𝑀) · ((coeff‘𝐺)‘𝑁)) ≠ 0)
33	17, 32	eqnetrd 3010	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) ≠ 0)
34		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))
35		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺))
36	34, 35	dgrub 25300	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘(𝐹 ∘f · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) ≠ 0) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)))
37	6, 13, 33, 36	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)))
38		dgrcl 25299	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ∈ ℕ0)
39	6, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ∈ ℕ0)
40	39	nn0red 12224	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ∈ ℝ)
41	13	nn0red 12224	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
42	40, 41	letri3d 11047	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → ((deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) ≤ (𝑀 + 𝑁) ∧ (𝑀 + 𝑁) ≤ (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)))))
43	4, 37, 42	mpbir2and 709	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑀 + 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  0_𝑝c0p 24738  Polycply 25250  coeffccoe 25252  degcdgr 25253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-0p 24739  df-ply 25254  df-coe 25256  df-dgr 25257

This theorem is referenced by:  dgrmulc  25337  dgrcolem1  25339  plydivlem4  25361  plydiveu  25363  fta1lem  25372  quotcan  25374  vieta1lem1  25375  vieta1lem2  25376