Theorem dgreq 25405

Description: If the highest term in a polynomial expression is nonzero, then the polynomial's degree is completely determined. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgreq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgreq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dgreq.3	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dgreq.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
dgreq.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
dgreq.6	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dgreq	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dgreq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgreq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgreq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		dgreq.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4		elfznn0 13349	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5		ffvelrn 6959	. . . 4 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
7		dgreq.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
8	1, 2, 6, 7	dgrle 25404	. 2 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
9		dgreq.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
10	1, 2, 3, 9, 7	coeeq 25388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐴)
11	10	fveq1d 6776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐹)‘𝑁) = (𝐴‘𝑁))
12		dgreq.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ≠ 0)
13	11, 12	eqnetrd 3011	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
16	14, 15	dgrub 25395	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0) → 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))
17	1, 2, 13, 16	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))
18		dgrcl 25394	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 12294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
21	2	nn0red 12294	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	20, 21	letri3d 11117	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐹) = 𝑁 ↔ ((deg‘𝐹) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))))
23	8, 17, 22	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   ≤ cle 11010  ℕ₀cn0 12233  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ↑cexp 13782  Σcsu 15397  Polycply 25345  coeffccoe 25347  degcdgr 25348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-0p 24834  df-ply 25349  df-coe 25351  df-dgr 25352

This theorem is referenced by:  coe1termlem  25419  basellem2  26231