Theorem dgreq 25393

Description: If the highest term in a polynomial expression is nonzero, then the polynomial's degree is completely determined. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgreq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgreq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dgreq.3	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dgreq.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
dgreq.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
dgreq.6	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dgreq	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dgreq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgreq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgreq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		dgreq.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4		elfznn0 13337	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5		ffvelrn 6952	. . . 4 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
7		dgreq.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
8	1, 2, 6, 7	dgrle 25392	. 2 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
9		dgreq.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
10	1, 2, 3, 9, 7	coeeq 25376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐴)
11	10	fveq1d 6769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐹)‘𝑁) = (𝐴‘𝑁))
12		dgreq.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ≠ 0)
13	11, 12	eqnetrd 3011	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
16	14, 15	dgrub 25383	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0) → 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))
17	1, 2, 13, 16	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))
18		dgrcl 25382	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 12282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
21	2	nn0red 12282	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	20, 21	letri3d 11105	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐹) = 𝑁 ↔ ((deg‘𝐹) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))))
23	8, 17, 22	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {csn 4562   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   “ cima 5588  ⟶wf 6423  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  ℂcc 10857  0cc0 10859  1c1 10860   + caddc 10862   · cmul 10864   ≤ cle 10998  ℕ₀cn0 12221  ℤ_≥cuz 12570  ...cfz 13227  ↑cexp 13770  Σcsu 15385  Polycply 25333  coeffccoe 25335  degcdgr 25336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-map 8605  df-pm 8606  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-rp 12719  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-fl 13500  df-seq 13710  df-exp 13771  df-hash 14033  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-clim 15185  df-rlim 15186  df-sum 15386  df-0p 24822  df-ply 25337  df-coe 25339  df-dgr 25340

This theorem is referenced by:  coe1termlem  25407  basellem2  26219