Theorem dgreq 26179

Description: If the highest term in a polynomial expression is nonzero, then the polynomial's degree is completely determined. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgreq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgreq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dgreq.3	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dgreq.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
dgreq.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
dgreq.6	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dgreq	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dgreq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgreq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgreq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		dgreq.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4		elfznn0 13524	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5		ffvelcdm 7022	. . . 4 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
7		dgreq.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
8	1, 2, 6, 7	dgrle 26178	. 2 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
9		dgreq.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
10	1, 2, 3, 9, 7	coeeq 26162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐴)
11	10	fveq1d 6832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐹)‘𝑁) = (𝐴‘𝑁))
12		dgreq.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ≠ 0)
13	11, 12	eqnetrd 2996	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
14		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
15		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
16	14, 15	dgrub 26169	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0) → 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))
17	1, 2, 13, 16	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))
18		dgrcl 26168	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 12452	. . 3 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
21	2	nn0red 12452	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	20, 21	letri3d 11264	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐹) = 𝑁 ↔ ((deg‘𝐹) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))))
23	8, 17, 22	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  {csn 4577   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   “ cima 5624  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020   ≤ cle 11156  ℕ₀cn0 12390  ℤ_≥cuz 12740  ...cfz 13411  ↑cexp 13972  Σcsu 15597  Polycply 26119  coeffccoe 26121  degcdgr 26122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-clim 15399  df-rlim 15400  df-sum 15598  df-0p 25601  df-ply 26123  df-coe 26125  df-dgr 26126

This theorem is referenced by:  coe1termlem  26193  basellem2  27022