Theorem dgreq 26358

Description: If the highest term in a polynomial expression is nonzero, then the polynomial's degree is completely determined. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgreq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgreq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dgreq.3	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dgreq.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
dgreq.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
dgreq.6	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dgreq	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dgreq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgreq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgreq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		dgreq.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4		elfznn0 13636	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5		ffvelcdm 7066	. . . 4 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
7		dgreq.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
8	1, 2, 6, 7	dgrle 26357	. 2 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
9		dgreq.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
10	1, 2, 3, 9, 7	coeeq 26341	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐴)
11	10	fveq1d 6873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐹)‘𝑁) = (𝐴‘𝑁))
12		dgreq.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ≠ 0)
13	11, 12	eqnetrd 3027	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
14		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
15		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
16	14, 15	dgrub 26348	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0) → 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))
17	1, 2, 13, 16	syl3anc 1394	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))
18		dgrcl 26347	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
19	1, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 12554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
21	2	nn0red 12554	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	20, 21	letri3d 11340	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐹) = 𝑁 ↔ ((deg‘𝐹) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))))
23	8, 17, 22	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  {csn 4585   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   “ cima 5654  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   ≤ cle 11232  ℕ₀cn0 12492  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13523  ↑cexp 14085  Σcsu 15725  Polycply 26298  coeffccoe 26300  degcdgr 26301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-sum 15726  df-0p 25786  df-ply 26302  df-coe 26304  df-dgr 26305

This theorem is referenced by:  coe1termlem  26372  basellem2  27200