Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgreq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgreq 24839
 Description: If the highest term in a polynomial expression is nonzero, then the polynomial's degree is completely determined. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgreq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dgreq.3 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dgreq.4 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
dgreq.5 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
dgreq.6 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
dgreq (𝜑 → (deg‘𝐹) = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dgreq
StepHypRef Expression
1 dgreq.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 dgreq.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 dgreq.3 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4 elfznn0 12995 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5 ffvelrn 6831 . . . 4 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
63, 4, 5syl2an 598 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
7 dgreq.5 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
81, 2, 6, 7dgrle 24838 . 2 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
9 dgreq.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
101, 2, 3, 9, 7coeeq 24822 . . . . 5 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = 𝐴)
1110fveq1d 6654 . . . 4 (𝜑 → ((coeff‘𝐹)‘𝑁) = (𝐴𝑁))
12 dgreq.6 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
1311, 12eqnetrd 3078 . . 3 (𝜑 → ((coeff‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
14 eqid 2822 . . . 4 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
15 eqid 2822 . . . 4 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
1614, 15dgrub 24829 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0) → 𝑁 ≤ (deg‘𝐹))
171, 2, 13, 16syl3anc 1368 . 2 (𝜑𝑁 ≤ (deg‘𝐹))
18 dgrcl 24828 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
191, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
2019nn0red 11944 . . 3 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
212nn0red 11944 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2220, 21letri3d 10771 . 2 (𝜑 → ((deg‘𝐹) = 𝑁 ↔ ((deg‘𝐹) ≤ 𝑁𝑁 ≤ (deg‘𝐹))))
238, 17, 22mpbir2and 712 1 (𝜑 → (deg‘𝐹) = 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  {csn 4539   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122   “ cima 5535  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   ≤ cle 10665  ℕ0cn0 11885  ℤ≥cuz 12231  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  Σcsu 15033  Polycply 24779  coeffccoe 24781  degcdgr 24782 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-0p 24272  df-ply 24783  df-coe 24785  df-dgr 24786 This theorem is referenced by:  coe1termlem  24853  basellem2  25665
 Copyright terms: Public domain W3C validator