Theorem linecgrand 36042

Description: Deduction form of linecgr 36041. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
linecgrand.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
linecgrand.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
linecgrand.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
linecgrand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
linecgrand.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
linecgrand.6	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
linecgrand.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ≠ 𝐵)
linecgrand.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩)
linecgrand.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝑃⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)
linecgrand.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐵, 𝑃⟩Cgr⟨𝐵, 𝑄⟩)

Assertion

Ref	Expression
linecgrand	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑄⟩)

Proof of Theorem linecgrand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		linecgrand.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		linecgrand.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩))
4		linecgrand.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝑃⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)
5		linecgrand.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐵, 𝑃⟩Cgr⟨𝐵, 𝑄⟩)
6	4, 5	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (⟨𝐴, 𝑃⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑃⟩Cgr⟨𝐵, 𝑄⟩))
7		linecgrand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		linecgrand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		linecgrand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		linecgrand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		linecgrand.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		linecgrand.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		linecgr 36041	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝑃⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑃⟩Cgr⟨𝐵, 𝑄⟩)) → ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑄⟩))
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	syl132anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝑃⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑃⟩Cgr⟨𝐵, 𝑄⟩)) → ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑄⟩))
15	14	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝑃⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑃⟩Cgr⟨𝐵, 𝑄⟩)) → ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑄⟩))
16	3, 6, 15	mp2and 699	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑄⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ⟨cop 4612   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  ℕcn 12248  𝔼cee 28833  Cgrccgr 28835   Colinear ccolin 35997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14352  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-clim 15506  df-sum 15705  df-ee 28836  df-btwn 28837  df-cgr 28838  df-ofs 35943  df-colinear 35999  df-ifs 36000  df-cgr3 36001  df-fs 36002

This theorem is referenced by:  btwnconn1lem12  36058