Theorem linecgrand 34040

Description: Deduction form of linecgr 34039. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
linecgrand.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
linecgrand.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
linecgrand.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
linecgrand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
linecgrand.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
linecgrand.6	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
linecgrand.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ≠ 𝐵)
linecgrand.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩)
linecgrand.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝑃⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)
linecgrand.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐵, 𝑃⟩Cgr⟨𝐵, 𝑄⟩)

Assertion

Ref	Expression
linecgrand	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑄⟩)

Proof of Theorem linecgrand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		linecgrand.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		linecgrand.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3	1, 2	jca 515	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩))
4		linecgrand.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝑃⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩)
5		linecgrand.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐵, 𝑃⟩Cgr⟨𝐵, 𝑄⟩)
6	4, 5	jca 515	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (⟨𝐴, 𝑃⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑃⟩Cgr⟨𝐵, 𝑄⟩))
7		linecgrand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		linecgrand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		linecgrand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		linecgrand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		linecgrand.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		linecgrand.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		linecgr 34039	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝑃⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑃⟩Cgr⟨𝐵, 𝑄⟩)) → ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑄⟩))
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	syl132anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝑃⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑃⟩Cgr⟨𝐵, 𝑄⟩)) → ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑄⟩))
15	14	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝑃⟩Cgr⟨𝐴, 𝑄⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑃⟩Cgr⟨𝐵, 𝑄⟩)) → ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑄⟩))
16	3, 6, 15	mp2and 699	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐶, 𝑃⟩Cgr⟨𝐶, 𝑄⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  ⟨cop 4532   class class class wbr 5040  ‘cfv 6350  ℕcn 11729  𝔼cee 26847  Cgrccgr 26849   Colinear ccolin 33995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-sup 8992  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-rp 12486  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-exp 13535  df-hash 13796  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-clim 14948  df-sum 15149  df-ee 26850  df-btwn 26851  df-cgr 26852  df-ofs 33941  df-colinear 33997  df-ifs 33998  df-cgr3 33999  df-fs 34000

This theorem is referenced by:  btwnconn1lem12  34056