Theorem lvecpsslmod 48500

Description: The class of all (left) vector spaces is a proper subclass of the class of all (left) modules. Although it is obvious (and proven by lveclmod 21020) that every left vector space is a left module, there is (at least) one left module which is no left vector space, for example the zero module over the zero ring, see lmod1zrnlvec 48487. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lvecpsslmod	⊢ LVec ⊊ LMod

Proof of Theorem lvecpsslmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21020	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ LVec → 𝑣 ∈ LMod)
2	1	ssriv 3953	. 2 ⊢ LVec ⊆ LMod
3		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑖 ∈ V
4		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	3, 4	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V)
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩})
8	6, 7	lmod1zr 48486	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LMod)
9	6, 7	lmod1zrnlvec 48487	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∉ LVec)
10		df-nel 3031	. . . . 5 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∉ LVec ↔ ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec)
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec)
12	8, 11	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LMod ∧ ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec))
13		nelne1 3023	. . . 4 ⊢ ((({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LMod ∧ ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec) → LMod ≠ LVec)
14	13	necomd 2981	. . 3 ⊢ ((({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LMod ∧ ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec) → LVec ≠ LMod)
15	5, 12, 14	mp2b 10	. 2 ⊢ LVec ≠ LMod
16		df-pss 3937	. 2 ⊢ (LVec ⊊ LMod ↔ (LVec ⊆ LMod ∧ LVec ≠ LMod))
17	2, 15, 16	mpbir2an 711	1 ⊢ LVec ⊊ LMod

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∉ wnel 3030  Vcvv 3450   ∪ cun 3915   ⊆ wss 3917   ⊊ wpss 3918  {csn 4592  {ctp 4596  ⟨cop 4598  ‘cfv 6514  ndxcnx 17170  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  LModclmod 20773  LVecclvec 21016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-nzr 20429  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lvec 21017

This theorem is referenced by: (None)