Theorem lvecpsslmod 48518

Description: The class of all (left) vector spaces is a proper subclass of the class of all (left) modules. Although it is obvious (and proven by lveclmod 21033) that every left vector space is a left module, there is (at least) one left module which is no left vector space, for example the zero module over the zero ring, see lmod1zrnlvec 48505. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lvecpsslmod	⊢ LVec ⊊ LMod

Proof of Theorem lvecpsslmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21033	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ LVec → 𝑣 ∈ LMod)
2	1	ssriv 3936	. 2 ⊢ LVec ⊆ LMod
3		vex 3438	. . . 4 ⊢ 𝑖 ∈ V
4		vex 3438	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	3, 4	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V)
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩})
8	6, 7	lmod1zr 48504	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LMod)
9	6, 7	lmod1zrnlvec 48505	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∉ LVec)
10		df-nel 3031	. . . . 5 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∉ LVec ↔ ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec)
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec)
12	8, 11	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LMod ∧ ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec))
13		nelne1 3023	. . . 4 ⊢ ((({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LMod ∧ ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec) → LMod ≠ LVec)
14	13	necomd 2981	. . 3 ⊢ ((({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LMod ∧ ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec) → LVec ≠ LMod)
15	5, 12, 14	mp2b 10	. 2 ⊢ LVec ≠ LMod
16		df-pss 3920	. 2 ⊢ (LVec ⊊ LMod ↔ (LVec ⊆ LMod ∧ LVec ≠ LMod))
17	2, 15, 16	mpbir2an 711	1 ⊢ LVec ⊊ LMod

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   ∉ wnel 3030  Vcvv 3434   ∪ cun 3898   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 3901  {csn 4574  {ctp 4578  ⟨cop 4580  ‘cfv 6477  ndxcnx 17096  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  ._rcmulr 17154  Scalarcsca 17156   ·_𝑠 cvsca 17157  LModclmod 20786  LVecclvec 21029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9786  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-hash 14230  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-nzr 20421  df-drng 20639  df-lmod 20788  df-lvec 21030

This theorem is referenced by: (None)