Theorem lvecpsslmod 48480

Description: The class of all (left) vector spaces is a proper subclass of the class of all (left) modules. Although it is obvious (and proven by lveclmod 21028) that every left vector space is a left module, there is (at least) one left module which is no left vector space, for example the zero module over the zero ring, see lmod1zrnlvec 48467. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lvecpsslmod	⊢ LVec ⊊ LMod

Proof of Theorem lvecpsslmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21028	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ LVec → 𝑣 ∈ LMod)
2	1	ssriv 3941	. 2 ⊢ LVec ⊆ LMod
3		vex 3442	. . . 4 ⊢ 𝑖 ∈ V
4		vex 3442	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	3, 4	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩})
8	6, 7	lmod1zr 48466	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LMod)
9	6, 7	lmod1zrnlvec 48467	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∉ LVec)
10		df-nel 3030	. . . . 5 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∉ LVec ↔ ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec)
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec)
12	8, 11	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LMod ∧ ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec))
13		nelne1 3022	. . . 4 ⊢ ((({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LMod ∧ ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec) → LMod ≠ LVec)
14	13	necomd 2980	. . 3 ⊢ ((({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LMod ∧ ¬ ({⟨(Base‘ndx), {𝑖}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑖, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), {⟨(Base‘ndx), {𝑧}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑧⟩, 𝑧⟩}⟩}⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑧, 𝑖⟩, 𝑖⟩}⟩}) ∈ LVec) → LVec ≠ LMod)
15	5, 12, 14	mp2b 10	. 2 ⊢ LVec ≠ LMod
16		df-pss 3925	. 2 ⊢ (LVec ⊊ LMod ↔ (LVec ⊆ LMod ∧ LVec ≠ LMod))
17	2, 15, 16	mpbir2an 711	1 ⊢ LVec ⊊ LMod

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029  Vcvv 3438   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905   ⊊ wpss 3906  {csn 4579  {ctp 4583  ⟨cop 4585  ‘cfv 6486  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  LModclmod 20781  LVecclvec 21024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-nzr 20416  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lvec 21025

This theorem is referenced by: (None)