Theorem lshpat 37049

Description: Create an atom under a hyperplane. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (lhpat 38036 analog.) TODO: This changes 𝑈𝐶𝑉 in l1cvpat 37047 and l1cvat 37048 to 𝑈 ∈ 𝐻, which in turn change 𝑈 ∈ 𝐻 in islshpcv 37046 to 𝑈𝐶𝑉, with a couple of conversions of span to atom. Seems convoluted. Would a direct proof be better? (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
ishpat.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lshpat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lshpat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lshpat.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
lshpat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lshpat	⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lshpat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lshpat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lshpat.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
4		lshpat.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5		eqid 2739	. 2 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
6		lshpat.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lshpat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
8		ishpat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
9	1, 2, 8, 5, 6	islshpcv 37046	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(Base‘𝑊))))
10	7, 9	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(Base‘𝑊)))
11	10	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
12		lshpat.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
13		lshpat.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
14		lshpat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
15	10	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(Base‘𝑊))
16		lshpat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16	l1cvat 37048	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944   ∩ cin 3890   ⊆ wss 3891   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  LSSumclsm 19220  LSubSpclss 20174  LVecclvec 20345  LSAtomsclsa 36967  LSHypclsh 36968   ⋖_L clcv 37011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-tpos 8026  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-0g 17133  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-subg 18733  df-cntz 18904  df-oppg 18931  df-lsm 19222  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-unit 19865  df-invr 19895  df-drng 19974  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-lsp 20215  df-lvec 20346  df-lsatoms 36969  df-lshyp 36970  df-lcv 37012

This theorem is referenced by:  lclkrlem2a  39500  lcfrlem20  39555