Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpat 37404
Description: Create an atom under a hyperplane. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (lhpat 38392 analog.) TODO: This changes π‘ˆπΆπ‘‰ in l1cvpat 37402 and l1cvat 37403 to π‘ˆ ∈ 𝐻, which in turn change π‘ˆ ∈ 𝐻 in islshpcv 37401 to π‘ˆπΆπ‘‰, with a couple of conversions of span to atom. Seems convoluted. Would a direct proof be better? (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lshpat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
ishpat.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lshpat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpat.l (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lshpat.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lshpat.n (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
lshpat.m (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lshpat (πœ‘ β†’ ((𝑄 βŠ• 𝑅) ∩ π‘ˆ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lshpat
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . 2 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpat.s . 2 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lshpat.p . 2 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
4 lshpat.a . 2 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
5 eqid 2738 . 2 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
6 lshpat.w . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lshpat.l . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
8 ishpat.h . . . . 5 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
91, 2, 8, 5, 6islshpcv 37401 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(Baseβ€˜π‘Š))))
107, 9mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(Baseβ€˜π‘Š)))
1110simpld 496 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
12 lshpat.q . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
13 lshpat.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
14 lshpat.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
1510simprd 497 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(Baseβ€˜π‘Š))
16 lshpat.m . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16l1cvat 37403 1 (πœ‘ β†’ ((𝑄 βŠ• 𝑅) ∩ π‘ˆ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942   ∩ cin 3908   βŠ† wss 3909   class class class wbr 5104  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Basecbs 17018  LSSumclsm 19345  LSubSpclss 20315  LVecclvec 20486  LSAtomsclsa 37322  LSHypclsh 37323   β‹–L clcv 37366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-tpos 8125  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-0g 17258  df-mre 17401  df-mrc 17402  df-acs 17404  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-sbg 18688  df-subg 18858  df-cntz 19029  df-oppg 19056  df-lsm 19347  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-oppr 19972  df-dvdsr 19993  df-unit 19994  df-invr 20024  df-drng 20110  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-lsp 20356  df-lvec 20487  df-lsatoms 37324  df-lshyp 37325  df-lcv 37367
This theorem is referenced by:  lclkrlem2a  39856  lcfrlem20  39911
  Copyright terms: Public domain W3C validator