Theorem lshpat 36976

Description: Create an atom under a hyperplane. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (lhpat 37963 analog.) TODO: This changes 𝑈𝐶𝑉 in l1cvpat 36974 and l1cvat 36975 to 𝑈 ∈ 𝐻, which in turn change 𝑈 ∈ 𝐻 in islshpcv 36973 to 𝑈𝐶𝑉, with a couple of conversions of span to atom. Seems convoluted. Would a direct proof be better? (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
ishpat.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lshpat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lshpat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lshpat.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
lshpat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lshpat	⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lshpat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lshpat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lshpat.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
4		lshpat.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5		eqid 2739	. 2 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
6		lshpat.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lshpat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
8		ishpat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
9	1, 2, 8, 5, 6	islshpcv 36973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(Base‘𝑊))))
10	7, 9	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(Base‘𝑊)))
11	10	simpld 498	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
12		lshpat.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
13		lshpat.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
14		lshpat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
15	10	simprd 499	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(Base‘𝑊))
16		lshpat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16	l1cvat 36975	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5070  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252  Basecbs 16815  LSSumclsm 19129  LSubSpclss 20083  LVecclvec 20254  LSAtomsclsa 36894  LSHypclsh 36895   ⋖_L clcv 36938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-tpos 8010  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-1o 8244  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-fin 8672  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-base 16816  df-ress 16843  df-plusg 16876  df-mulr 16877  df-0g 17044  df-mre 17187  df-mrc 17188  df-acs 17190  df-mgm 18216  df-sgrp 18265  df-mnd 18276  df-submnd 18321  df-grp 18470  df-minusg 18471  df-sbg 18472  df-subg 18642  df-cntz 18813  df-oppg 18840  df-lsm 19131  df-cmn 19278  df-abl 19279  df-mgp 19611  df-ur 19628  df-ring 19675  df-oppr 19752  df-dvdsr 19773  df-unit 19774  df-invr 19804  df-drng 19883  df-lmod 20015  df-lss 20084  df-lsp 20124  df-lvec 20255  df-lsatoms 36896  df-lshyp 36897  df-lcv 36939

This theorem is referenced by:  lclkrlem2a  39427  lcfrlem20  39482