Theorem lshpat 39780

Description: Create an atom under a hyperplane. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (lhpat 40767 analog.) TODO: This changes 𝑈𝐶𝑉 in l1cvpat 39778 and l1cvat 39779 to 𝑈 ∈ 𝐻, which in turn change 𝑈 ∈ 𝐻 in islshpcv 39777 to 𝑈𝐶𝑉, with a couple of conversions of span to atom. Seems convoluted. Would a direct proof be better? (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
ishpat.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lshpat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lshpat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lshpat.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
lshpat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lshpat	⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lshpat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2770	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lshpat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lshpat.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
4		lshpat.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5		eqid 2770	. 2 ⊢ ( ⋖L ‘𝑊) = ( ⋖L ‘𝑊)
6		lshpat.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lshpat.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
8		ishpat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
9	1, 2, 8, 5, 6	islshpcv 39777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(Base‘𝑊))))
10	7, 9	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(Base‘𝑊)))
11	10	simpld 499	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
12		lshpat.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
13		lshpat.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
14		lshpat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
15	10	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈( ⋖L ‘𝑊)(Base‘𝑊))
16		lshpat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16	l1cvat 39779	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  LSSumclsm 19707  LSubSpclss 21035  LVecclvec 21206  LSAtomsclsa 39698  LSHypclsh 39699   ⋖_L clcv 39742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-0g 17497  df-mre 17641  df-mrc 17642  df-acs 17644  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-subg 19192  df-cntz 19390  df-oppg 19419  df-lsm 19709  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-oppr 20422  df-dvdsr 20442  df-unit 20443  df-invr 20473  df-drng 20818  df-lmod 20966  df-lss 21036  df-lsp 21076  df-lvec 21207  df-lsatoms 39700  df-lshyp 39701  df-lcv 39743

This theorem is referenced by:  lclkrlem2a  42231  lcfrlem20  42286