Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpat 37413
Description: Create an atom under a hyperplane. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (lhpat 38401 analog.) TODO: This changes π‘ˆπΆπ‘‰ in l1cvpat 37411 and l1cvat 37412 to π‘ˆ ∈ 𝐻, which in turn change π‘ˆ ∈ 𝐻 in islshpcv 37410 to π‘ˆπΆπ‘‰, with a couple of conversions of span to atom. Seems convoluted. Would a direct proof be better? (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lshpat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
ishpat.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lshpat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpat.l (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lshpat.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lshpat.n (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
lshpat.m (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lshpat (πœ‘ β†’ ((𝑄 βŠ• 𝑅) ∩ π‘ˆ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lshpat
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpat.s . 2 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lshpat.p . 2 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
4 lshpat.a . 2 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
5 eqid 2737 . 2 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
6 lshpat.w . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lshpat.l . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
8 ishpat.h . . . . 5 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
91, 2, 8, 5, 6islshpcv 37410 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(Baseβ€˜π‘Š))))
107, 9mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(Baseβ€˜π‘Š)))
1110simpld 495 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
12 lshpat.q . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
13 lshpat.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
14 lshpat.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
1510simprd 496 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(Baseβ€˜π‘Š))
16 lshpat.m . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16l1cvat 37412 1 (πœ‘ β†’ ((𝑄 βŠ• 𝑅) ∩ π‘ˆ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941   ∩ cin 3907   βŠ† wss 3908   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  Basecbs 17017  LSSumclsm 19345  LSubSpclss 20315  LVecclvec 20486  LSAtomsclsa 37331  LSHypclsh 37332   β‹–L clcv 37375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-tpos 8124  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-0g 17257  df-mre 17400  df-mrc 17401  df-acs 17403  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-submnd 18536  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-sbg 18687  df-subg 18857  df-cntz 19029  df-oppg 19056  df-lsm 19347  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-oppr 19972  df-dvdsr 19993  df-unit 19994  df-invr 20024  df-drng 20110  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-lsp 20356  df-lvec 20487  df-lsatoms 37333  df-lshyp 37334  df-lcv 37376
This theorem is referenced by:  lclkrlem2a  39865  lcfrlem20  39920
  Copyright terms: Public domain W3C validator