Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdheq4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdheq4 41335
Description: Lemma for ~? mapdh . Part (4) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe4.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh.eg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh.ee (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdheq4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑍⟩) = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝐺,𝑥   ,𝐸   ,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdheq4
StepHypRef Expression
1 mapdh.ee . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
2 mapdh.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝐶)
3 mapdh.i . . . . 5 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
4 mapdh.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 mapdh.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdh.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdh.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 mapdh.s . . . . 5 = (-g𝑈)
9 mapdhc.o . . . . 5 0 = (0g𝑈)
10 mapdh.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11 mapdh.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12 mapdh.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
13 mapdh.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
14 mapdh.j . . . . 5 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15 mapdh.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 mapdhc.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐷)
17 mapdh.mn . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
18 mapdhcl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdhe.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2019eldifad 3956 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
214, 6, 15dvhlvec 40712 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
22 mapdhe4.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2318eldifad 3956 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
24 mapdh.yz . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
25 mapdh.xn . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
267, 9, 10, 21, 22, 20, 23, 24, 25lspindp1 21033 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
2726simpld 493 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
282, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 27mapdhcl 41330 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
291, 28eqeltrrd 2826 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐷)
302, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 29, 27mapdheq 41331 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
311, 30mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
3231simpld 493 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
33 mapdh.eg . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
342, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 22, 19, 25, 24, 33, 1mapdheq4lem 41334 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
3522eldifad 3956 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
367, 9, 10, 21, 35, 19, 23, 24, 25lspindp2 21035 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
3736simpld 493 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
382, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 35, 37mapdhcl 41330 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
3933, 38eqeltrrd 2826 . . 3 (𝜑𝐺𝐷)
402, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 22, 39, 37mapdheq 41331 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
4133, 40mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
4241simpld 493 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
432, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 39, 42, 22, 19, 29, 24mapdheq 41331 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))))
4432, 34, 43mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑍⟩) = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461  cdif 3941  ifcif 4530  {csn 4630  {cpr 4632  cotp 4638  cmpt 5232  cfv 6549  crio 7374  (class class class)co 7419  1st c1st 7992  2nd c2nd 7993  Basecbs 17183  0gc0g 17424  -gcsg 18900  LSpanclspn 20867  HLchlt 38952  LHypclh 39587  DVecHcdvh 40681  LCDualclcd 41189  mapdcmpd 41227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-riotaBAD 38555
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-0g 17426  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-oppg 19309  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lvec 21000  df-lsatoms 38578  df-lshyp 38579  df-lcv 38621  df-lfl 38660  df-lkr 38688  df-ldual 38726  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-llines 39101  df-lplanes 39102  df-lvols 39103  df-lines 39104  df-psubsp 39106  df-pmap 39107  df-padd 39399  df-lhyp 39591  df-laut 39592  df-ldil 39707  df-ltrn 39708  df-trl 39762  df-tgrp 40346  df-tendo 40358  df-edring 40360  df-dveca 40606  df-disoa 40632  df-dvech 40682  df-dib 40742  df-dic 40776  df-dih 40832  df-doch 40951  df-djh 40998  df-lcdual 41190  df-mapd 41228
This theorem is referenced by:  mapdh7dN  41353  mapdh75d  41357  mapdh8a  41378  hdmap1eq4N  41409
  Copyright terms: Public domain W3C validator