Theorem mapdpglem15 42322

Description: Lemma for mapdpg 42342. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.g0	⊢ (𝜑 → 𝑧 = (0g‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem15	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		mapdpglem4.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
3		mapdpglem.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
4		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		mapdpglem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlvec 41745	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		mapdpglem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		mapdpglem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpglem.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
11		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12		mapdpglem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		mapdpglem1.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
14		mapdpglem2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15		mapdpglem3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
16		mapdpglem3.te	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
17		mapdpglem3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
18		mapdpglem3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
19		mapdpglem3.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
20		mapdpglem3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
21		mapdpglem3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
22		mapdpglem3.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
23		mapdpglem.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
24		mapdpglem4.jt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
25		mapdpglem4.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
26		mapdpglem4.g4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
27		mapdpglem4.z4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
28		mapdpglem4.t4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
29		mapdpglem4.xn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
30		mapdpglem12.yn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
31		mapdpglem12.g0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 = (0g‘𝐶))
32	4, 9, 5, 1, 10, 3, 11, 6, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	mapdpglem14 42321	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
33	1, 2, 3, 7, 8, 32, 30	lspsneleq 21208	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
34	33	eqcomd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  {csn 4585  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  0_gc0g 17482  -_gcsg 18992  LSSumclsm 19695  LSpanclspn 21061  HLchlt 39986  LHypclh 40620  DVecHcdvh 41714  LCDualclcd 42222  mapdcmpd 42260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-riotaBAD 39589

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-0g 17484  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18374  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-p0 18469  df-p1 18470  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-cntz 19378  df-oppg 19407  df-lsm 19697  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-dvr 20474  df-nzr 20587  df-rlreg 20770  df-domn 20771  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-lvec 21193  df-lsatoms 39612  df-lshyp 39613  df-lcv 39655  df-lfl 39694  df-lkr 39722  df-ldual 39760  df-oposet 39812  df-ol 39814  df-oml 39815  df-covers 39902  df-ats 39903  df-atl 39934  df-cvlat 39958  df-hlat 39987  df-llines 40134  df-lplanes 40135  df-lvols 40136  df-lines 40137  df-psubsp 40139  df-pmap 40140  df-padd 40432  df-lhyp 40624  df-laut 40625  df-ldil 40740  df-ltrn 40741  df-trl 40795  df-tgrp 41379  df-tendo 41391  df-edring 41393  df-dveca 41639  df-disoa 41665  df-dvech 41715  df-dib 41775  df-dic 41809  df-dih 41865  df-doch 41984  df-djh 42031  df-lcdual 42223  df-mapd 42261

This theorem is referenced by:  mapdpglem16  42323