Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem10 41209
Description: Lemma for mapdpg 41234. Baer p. 45, line 6: "Hence Fx=Fy, an impossibility." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpglem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdpglem3.te (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mapdpglem3.t Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdpglem3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdpglem4.jt (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))
mapdpglem4.z 0 = (0gβ€˜π΄)
mapdpglem4.g4 (πœ‘ β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
mapdpglem4.z4 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))
mapdpglem4.t4 (πœ‘ β†’ 𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  𝑄)
mapdpglem4.g0 (πœ‘ β†’ 𝑔 = 0 )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
Distinct variable groups:   𝑑, βˆ’   𝑑,𝐢   𝑑,𝐽   𝑑,𝑀   𝑑,𝑁   𝑑,𝑋   𝑑,π‘Œ   𝐡,𝑔   𝑧,𝑔,𝐢   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   Β· ,𝑔,𝑧   𝑔,π‘Œ,𝑧,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐡(𝑧,𝑑)   βŠ• (𝑧,𝑑,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑑,𝑔)   𝑅(𝑑)   Β· (𝑑)   π‘ˆ(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑑)   𝐺(𝑑)   𝐻(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑑,𝑔)   βˆ’ (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑑,𝑔)   π‘Š(𝑧,𝑑,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑑,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem10
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 mapdpglem4.q . 2 𝑄 = (0gβ€˜π‘ˆ)
3 mapdpglem.n . 2 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
4 mapdpglem.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 mapdpglem.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 mapdpglem.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
74, 5, 6dvhlvec 40637 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
8 mapdpglem.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
9 mapdpglem.m . . 3 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 mapdpglem.s . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
11 mapdpglem.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 mapdpglem.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
13 mapdpglem1.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
14 mapdpglem2.j . . 3 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
15 mapdpglem3.f . . 3 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
16 mapdpglem3.te . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
17 mapdpglem3.a . . 3 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
18 mapdpglem3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
19 mapdpglem3.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
20 mapdpglem3.r . . 3 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
21 mapdpglem3.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
22 mapdpglem3.e . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
23 mapdpglem.ne . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
24 mapdpglem4.jt . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))
25 mapdpglem4.z . . 3 0 = (0gβ€˜π΄)
26 mapdpglem4.g4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
27 mapdpglem4.z4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))
28 mapdpglem4.t4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
29 mapdpglem4.xn . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  𝑄)
30 mapdpglem4.g0 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑔 = 0 )
314, 9, 5, 1, 10, 3, 11, 6, 12, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30mapdpglem9 41208 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
321, 2, 3, 7, 8, 31, 29lspsneleq 21005 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  {csn 4624  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  0gc0g 17418  -gcsg 18894  LSSumclsm 19591  LSpanclspn 20857  HLchlt 38877  LHypclh 39512  DVecHcdvh 40606  LCDualclcd 41114  mapdcmpd 41152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-oppg 19299  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lsatoms 38503  df-lshyp 38504  df-lcv 38546  df-lfl 38585  df-lkr 38613  df-ldual 38651  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687  df-tgrp 40271  df-tendo 40283  df-edring 40285  df-dveca 40531  df-disoa 40557  df-dvech 40607  df-dib 40667  df-dic 40701  df-dih 40757  df-doch 40876  df-djh 40923  df-lcdual 41115  df-mapd 41153
This theorem is referenced by:  mapdpglem11  41210
  Copyright terms: Public domain W3C validator