Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem10 38977
 Description: Lemma for mapdpg 39002. Baer p. 45, line 6: "Hence Fx=Fy, an impossibility." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem4.g0 (𝜑𝑔 = 0 )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem10
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 mapdpglem4.q . 2 𝑄 = (0g𝑈)
3 mapdpglem.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
4 mapdpglem.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 mapdpglem.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdpglem.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6dvhlvec 38405 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
8 mapdpglem.y . 2 (𝜑𝑌𝑉)
9 mapdpglem.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10 mapdpglem.s . . 3 = (-g𝑈)
11 mapdpglem.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12 mapdpglem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
13 mapdpglem1.p . . 3 = (LSSum‘𝐶)
14 mapdpglem2.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15 mapdpglem3.f . . 3 𝐹 = (Base‘𝐶)
16 mapdpglem3.te . . 3 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
17 mapdpglem3.a . . 3 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
18 mapdpglem3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
19 mapdpglem3.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐶)
20 mapdpglem3.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
21 mapdpglem3.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
22 mapdpglem3.e . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
23 mapdpglem.ne . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
24 mapdpglem4.jt . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
25 mapdpglem4.z . . 3 0 = (0g𝐴)
26 mapdpglem4.g4 . . 3 (𝜑𝑔𝐵)
27 mapdpglem4.z4 . . 3 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
28 mapdpglem4.t4 . . 3 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
29 mapdpglem4.xn . . 3 (𝜑𝑋𝑄)
30 mapdpglem4.g0 . . 3 (𝜑𝑔 = 0 )
314, 9, 5, 1, 10, 3, 11, 6, 12, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30mapdpglem9 38976 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
321, 2, 3, 7, 8, 31, 29lspsneleq 19880 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705  -gcsg 18097  LSSumclsm 18751  LSpanclspn 19736  HLchlt 36646  LHypclh 37280  DVecHcdvh 38374  LCDualclcd 38882  mapdcmpd 38920 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36249 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lsatoms 36272  df-lshyp 36273  df-lcv 36315  df-lfl 36354  df-lkr 36382  df-ldual 36420  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795  df-lvols 36796  df-lines 36797  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-lhyp 37284  df-laut 37285  df-ldil 37400  df-ltrn 37401  df-trl 37455  df-tgrp 38039  df-tendo 38051  df-edring 38053  df-dveca 38299  df-disoa 38325  df-dvech 38375  df-dib 38435  df-dic 38469  df-dih 38525  df-doch 38644  df-djh 38691  df-lcdual 38883  df-mapd 38921 This theorem is referenced by:  mapdpglem11  38978
 Copyright terms: Public domain W3C validator