Theorem spansneleq 31647

Description: Membership relation that implies equality of spans. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spansneleq	⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵})))

Proof of Theorem spansneleq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elspansn 31643	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
3		sneq 4590	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → {𝐴} = {(𝑥 ·ℎ 𝐵)})
4	3	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{𝐴}) = (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}))
5	4	ad2antll 729	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))) → (span‘{𝐴}) = (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}))
6		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
7		ax-hvmul0 31087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
8	6, 7	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
9	8	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑥 = 0 → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
10		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 = 0ℎ ↔ (𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
11	10	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → ((𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → 𝐴 = 0ℎ))
12	9, 11	sylan9 507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
13	12	necon3d 2953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (𝐴 ≠ 0ℎ → 𝑥 ≠ 0))
14	13	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 ≠ 0ℎ → 𝑥 ≠ 0)))
15	14	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → 𝑥 ≠ 0)))
16	15	impd 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐴 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → 𝑥 ≠ 0))
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → 𝑥 ≠ 0))
18		spansncol 31645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵}))
19	18	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ≠ 0 → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))
20	17, 19	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))
21	20	exp4b 430	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))))
22	21	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝑥 ∈ ℂ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))))
23	22	imp43 427	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵}))
24	5, 23	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵}))
25	24	rexlimdvaa 3138	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵})))
26	2, 25	sylbid 240	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  0cc0 11028   ℋchba 30996   ·_ℎ csm 30998  0_ℎc0v 31001  spancspn 31009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cc 10347  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108  ax-hilex 31076  ax-hfvadd 31077  ax-hvcom 31078  ax-hvass 31079  ax-hv0cl 31080  ax-hvaddid 31081  ax-hfvmul 31082  ax-hvmulid 31083  ax-hvmulass 31084  ax-hvdistr1 31085  ax-hvdistr2 31086  ax-hvmul0 31087  ax-hfi 31156  ax-his1 31159  ax-his2 31160  ax-his3 31161  ax-his4 31162  ax-hcompl 31279

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-acn 9856  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-lm 23175  df-haus 23261  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cfil 25213  df-cau 25214  df-cmet 25215  df-grpo 30570  df-gid 30571  df-ginv 30572  df-gdiv 30573  df-ablo 30622  df-vc 30636  df-nv 30669  df-va 30672  df-ba 30673  df-sm 30674  df-0v 30675  df-vs 30676  df-nmcv 30677  df-ims 30678  df-dip 30778  df-ssp 30799  df-ph 30890  df-cbn 30940  df-hnorm 31045  df-hba 31046  df-hvsub 31048  df-hlim 31049  df-hcau 31050  df-sh 31284  df-ch 31298  df-oc 31329  df-ch0 31330  df-span 31386

This theorem is referenced by:  elspansn4  31650  spansncvi  31729  superpos  32431