Theorem spansneleq 29128

Description: Membership relation that implies equality of spans. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spansneleq	⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵})))

Proof of Theorem spansneleq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elspansn 29124	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
2	1	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
3		sneq 4451	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → {𝐴} = {(𝑥 ·ℎ 𝐵)})
4	3	fveq2d 6503	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{𝐴}) = (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}))
5	4	ad2antll 716	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))) → (span‘{𝐴}) = (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}))
6		oveq1 6983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
7		ax-hvmul0 28566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
8	6, 7	sylan9eqr 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
9	8	ex 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑥 = 0 → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
10		eqeq1 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 = 0ℎ ↔ (𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
11	10	biimprd 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → ((𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → 𝐴 = 0ℎ))
12	9, 11	sylan9 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
13	12	necon3d 2988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (𝐴 ≠ 0ℎ → 𝑥 ≠ 0))
14	13	ex 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 ≠ 0ℎ → 𝑥 ≠ 0)))
15	14	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → 𝑥 ≠ 0)))
16	15	impd 402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐴 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → 𝑥 ≠ 0))
17	16	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → 𝑥 ≠ 0))
18		spansncol 29126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵}))
19	18	3expia 1101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ≠ 0 → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))
20	17, 19	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))
21	20	exp4b 423	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))))
22	21	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝑥 ∈ ℂ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))))
23	22	imp43 420	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵}))
24	5, 23	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵}))
25	24	rexlimdvaa 3230	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵})))
26	2, 25	sylbid 232	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ∃wrex 3089  {csn 4441  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℂcc 10333  0cc0 10335   ℋchba 28475   ·_ℎ csm 28477  0_ℎc0v 28480  spancspn 28488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cc 9655  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415  ax-hilex 28555  ax-hfvadd 28556  ax-hvcom 28557  ax-hvass 28558  ax-hv0cl 28559  ax-hvaddid 28560  ax-hfvmul 28561  ax-hvmulid 28562  ax-hvmulass 28563  ax-hvdistr1 28564  ax-hvdistr2 28565  ax-hvmul0 28566  ax-hfi 28635  ax-his1 28638  ax-his2 28639  ax-his3 28640  ax-his4 28641  ax-hcompl 28758

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-omul 7910  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-acn 9165  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-lm 21541  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cfil 23561  df-cau 23562  df-cmet 23563  df-grpo 28047  df-gid 28048  df-ginv 28049  df-gdiv 28050  df-ablo 28099  df-vc 28113  df-nv 28146  df-va 28149  df-ba 28150  df-sm 28151  df-0v 28152  df-vs 28153  df-nmcv 28154  df-ims 28155  df-dip 28255  df-ssp 28276  df-ph 28367  df-cbn 28418  df-hnorm 28524  df-hba 28525  df-hvsub 28527  df-hlim 28528  df-hcau 28529  df-sh 28763  df-ch 28777  df-oc 28808  df-ch0 28809  df-span 28867

This theorem is referenced by:  elspansn4  29131  spansncvi  29210  superpos  29912