Theorem spansneleq 29911

Description: Membership relation that implies equality of spans. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spansneleq	⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵})))

Proof of Theorem spansneleq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elspansn 29907	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
3		sneq 4576	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → {𝐴} = {(𝑥 ·ℎ 𝐵)})
4	3	fveq2d 6772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{𝐴}) = (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}))
5	4	ad2antll 725	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))) → (span‘{𝐴}) = (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}))
6		oveq1 7275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
7		ax-hvmul0 29351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
8	6, 7	sylan9eqr 2801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
9	8	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑥 = 0 → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
10		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 = 0ℎ ↔ (𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
11	10	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → ((𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → 𝐴 = 0ℎ))
12	9, 11	sylan9 507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
13	12	necon3d 2965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (𝐴 ≠ 0ℎ → 𝑥 ≠ 0))
14	13	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 ≠ 0ℎ → 𝑥 ≠ 0)))
15	14	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → 𝑥 ≠ 0)))
16	15	impd 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐴 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → 𝑥 ≠ 0))
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → 𝑥 ≠ 0))
18		spansncol 29909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵}))
19	18	3expia 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ≠ 0 → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))
20	17, 19	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))
21	20	exp4b 430	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))))
22	21	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝑥 ∈ ℂ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))))
23	22	imp43 427	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵}))
24	5, 23	eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵}))
25	24	rexlimdvaa 3215	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵})))
26	2, 25	sylbid 239	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  ∃wrex 3066  {csn 4566  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855   ℋchba 29260   ·_ℎ csm 29262  0_ℎc0v 29265  spancspn 29273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cc 10175  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934  ax-mulf 10935  ax-hilex 29340  ax-hfvadd 29341  ax-hvcom 29342  ax-hvass 29343  ax-hv0cl 29344  ax-hvaddid 29345  ax-hfvmul 29346  ax-hvmulid 29347  ax-hvmulass 29348  ax-hvdistr1 29349  ax-hvdistr2 29350  ax-hvmul0 29351  ax-hfi 29420  ax-his1 29423  ax-his2 29424  ax-his3 29425  ax-his4 29426  ax-hcompl 29543

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-oadd 8285  df-omul 8286  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-acn 9684  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-ioo 13065  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-rest 17114  df-topn 17115  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-topgen 17135  df-pt 17136  df-prds 17139  df-xrs 17194  df-qtop 17199  df-imas 17200  df-xps 17202  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-mulg 18682  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-fbas 20575  df-fg 20576  df-cnfld 20579  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cld 22151  df-ntr 22152  df-cls 22153  df-nei 22230  df-cn 22359  df-cnp 22360  df-lm 22361  df-haus 22447  df-tx 22694  df-hmeo 22887  df-fil 22978  df-fm 23070  df-flim 23071  df-flf 23072  df-xms 23454  df-ms 23455  df-tms 23456  df-cfil 24400  df-cau 24401  df-cmet 24402  df-grpo 28834  df-gid 28835  df-ginv 28836  df-gdiv 28837  df-ablo 28886  df-vc 28900  df-nv 28933  df-va 28936  df-ba 28937  df-sm 28938  df-0v 28939  df-vs 28940  df-nmcv 28941  df-ims 28942  df-dip 29042  df-ssp 29063  df-ph 29154  df-cbn 29204  df-hnorm 29309  df-hba 29310  df-hvsub 29312  df-hlim 29313  df-hcau 29314  df-sh 29548  df-ch 29562  df-oc 29593  df-ch0 29594  df-span 29650

This theorem is referenced by:  elspansn4  29914  spansncvi  29993  superpos  30695