Theorem spansneleq 32187

Description: Membership relation that implies equality of spans. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spansneleq	⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵})))

Proof of Theorem spansneleq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elspansn 32183	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)))
3		sneq 4594	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → {𝐴} = {(𝑥 ·ℎ 𝐵)})
4	3	fveq2d 6900	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{𝐴}) = (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}))
5	4	ad2antll 742	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))) → (span‘{𝐴}) = (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}))
6		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = (0 ·ℎ 𝐵))
7		ax-hvmul0 31627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
8	6, 7	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ)
9	8	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑥 = 0 → (𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
10		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 = 0ℎ ↔ (𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ))
11	10	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → ((𝑥 ·ℎ 𝐵) = 0ℎ → 𝐴 = 0ℎ))
12	9, 11	sylan9 517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (𝑥 = 0 → 𝐴 = 0ℎ))
13	12	necon3d 2980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (𝐴 ≠ 0ℎ → 𝑥 ≠ 0))
14	13	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (𝐴 ≠ 0ℎ → 𝑥 ≠ 0)))
15	14	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → 𝑥 ≠ 0)))
16	15	impd 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐴 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → 𝑥 ≠ 0))
17	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → 𝑥 ≠ 0))
18		spansncol 32185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵}))
19	18	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ≠ 0 → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))
20	17, 19	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 ≠ 0ℎ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵)) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))
21	20	exp4b 436	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))))
22	21	com23 87	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (𝑥 ∈ ℂ → (𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵})))))
23	22	imp43 433	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))) → (span‘{(𝑥 ·ℎ 𝐵)}) = (span‘{𝐵}))
24	5, 23	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵))) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵}))
25	24	rexlimdvaa 3168	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝐴 = (𝑥 ·ℎ 𝐵) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵})))
26	2, 25	sylbid 243	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐵}) → (span‘{𝐴}) = (span‘{𝐵})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {csn 4588  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  0cc0 11213   ℋchba 31536   ·_ℎ csm 31538  0_ℎc0v 31541  spancspn 31549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cc 10526  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292  ax-mulf 11293  ax-hilex 31616  ax-hfvadd 31617  ax-hvcom 31618  ax-hvass 31619  ax-hv0cl 31620  ax-hvaddid 31621  ax-hfvmul 31622  ax-hvmulid 31623  ax-hvmulass 31624  ax-hvdistr1 31625  ax-hvdistr2 31626  ax-hvmul0 31627  ax-hfi 31696  ax-his1 31699  ax-his2 31700  ax-his3 31701  ax-his4 31702  ax-hcompl 31819

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-oadd 8494  df-omul 8495  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-fi 9416  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-acn 10036  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-rest 17608  df-topn 17609  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-topgen 17629  df-pt 17630  df-prds 17633  df-xrs 17689  df-qtop 17694  df-imas 17695  df-xps 17697  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-mulg 19293  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-fbas 21690  df-fg 21691  df-cnfld 21694  df-top 23227  df-topon 23244  df-topsp 23266  df-bases 23279  df-cld 23352  df-ntr 23353  df-cls 23354  df-nei 23431  df-cn 23560  df-cnp 23561  df-lm 23562  df-haus 23648  df-tx 23896  df-hmeo 24089  df-fil 24180  df-fm 24272  df-flim 24273  df-flf 24274  df-xms 24654  df-ms 24655  df-tms 24656  df-cfil 25591  df-cau 25592  df-cmet 25593  df-grpo 31110  df-gid 31111  df-ginv 31112  df-gdiv 31113  df-ablo 31162  df-vc 31176  df-nv 31209  df-va 31212  df-ba 31213  df-sm 31214  df-0v 31215  df-vs 31216  df-nmcv 31217  df-ims 31218  df-dip 31318  df-ssp 31339  df-ph 31430  df-cbn 31480  df-hnorm 31585  df-hba 31586  df-hvsub 31588  df-hlim 31589  df-hcau 31590  df-sh 31824  df-ch 31838  df-oc 31869  df-ch0 31870  df-span 31926

This theorem is used by:  elspansn4  32190  spansncvi  32269  superpos  32971