Theorem hdmap14lem9 39817

Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 49 line 38. (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem8.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem8.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem8.q	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmap14lem8.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem8.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap14lem8.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap14lem8.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem8.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem8.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.d	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmap14lem8.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem8.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem8.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem8.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem8.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
hdmap14lem8.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.xx	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑋)))
hdmap14lem8.yy	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 ∙ (𝑆‘𝑌)))
hdmap14lem8.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap14lem8.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.xy	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 ∙ (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem9	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐼)

Proof of Theorem hdmap14lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		hdmap14lem8.d	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
3		hdmap14lem8.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
4		hdmap14lem8.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
5		hdmap14lem8.e	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
8		hdmap14lem8.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		hdmap14lem8.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmap14lem8.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	lcdlvec 39532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
12		hdmap14lem8.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap14lem8.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		hdmap14lem8.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
15		hdmap14lem8.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap14lem8.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17	8, 12, 13, 14, 9, 6, 1, 15, 10, 16	hdmapnzcl 39786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g‘𝐶)}))
18		hdmap14lem8.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	8, 12, 13, 14, 9, 6, 1, 15, 10, 18	hdmapnzcl 39786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g‘𝐶)}))
20		hdmap14lem8.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)
21		hdmap14lem8.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
22		hdmap14lem8.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐴)
23		hdmap14lem8.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
24		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
25		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
26	8, 12, 10	dvhlmod 39051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
27	16	eldifad 3895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
28		hdmap14lem8.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
29	13, 24, 28	lspsncl 20154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	26, 27, 29	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	18	eldifad 3895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
32	13, 24, 28	lspsncl 20154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
33	26, 31, 32	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	8, 12, 24, 25, 10, 30, 33	mapd11 39580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑋})) = (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
35	34	necon3bid 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
36	23, 35	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})))
37	8, 12, 13, 28, 9, 7, 25, 15, 10, 27	hdmap10 39781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑋})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑋)}))
38	8, 12, 13, 28, 9, 7, 25, 15, 10, 31	hdmap10 39781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑌)}))
39	36, 37, 38	3netr3d 3019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑋)}) ≠ ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑌)}))
40		hdmap14lem8.q	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
41		hdmap14lem8.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
42		hdmap14lem8.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
43		hdmap14lem8.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
44		hdmap14lem8.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
45		hdmap14lem8.xx	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑋)))
46		hdmap14lem8.yy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 ∙ (𝑆‘𝑌)))
47		hdmap14lem8.xy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 ∙ (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
48	8, 12, 13, 40, 41, 14, 28, 42, 43, 9, 2, 5, 3, 4, 15, 10, 16, 18, 44, 21, 22, 45, 46, 23, 20, 47	hdmap14lem8 39816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∙ (𝑆‘𝑋)) ✚ (𝐽 ∙ (𝑆‘𝑌))) = ((𝐺 ∙ (𝑆‘𝑋)) ✚ (𝐼 ∙ (𝑆‘𝑌))))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 17, 19, 20, 20, 21, 22, 39, 48	lvecindp2 20316	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = 𝐺 ∧ 𝐽 = 𝐼))
50	49	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐺)
51	49	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐼)
52	50, 51	eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  LCDualclcd 39527  mapdcmpd 39565  HDMapchdma 39733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-ldual 37065  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-lcdual 39528  df-mapd 39566  df-hvmap 39698  df-hdmap1 39734  df-hdmap 39735

This theorem is referenced by:  hdmap14lem10  39818