Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem9 37889
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 49 line 38. (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem8.q + = (+g𝑈)
hdmap14lem8.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem8.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem8.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap14lem8.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem8.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem8.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.d = (+g𝐶)
hdmap14lem8.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem8.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem8.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem8.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem8.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.f (𝜑𝐹𝐵)
hdmap14lem8.g (𝜑𝐺𝐴)
hdmap14lem8.i (𝜑𝐼𝐴)
hdmap14lem8.xx (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
hdmap14lem8.yy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
hdmap14lem8.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap14lem8.j (𝜑𝐽𝐴)
hdmap14lem8.xy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem9 (𝜑𝐺 = 𝐼)

Proof of Theorem hdmap14lem9
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2 hdmap14lem8.d . . . 4 = (+g𝐶)
3 hdmap14lem8.p . . . 4 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
4 hdmap14lem8.a . . . 4 𝐴 = (Base‘𝑃)
5 hdmap14lem8.e . . . 4 = ( ·𝑠𝐶)
6 eqid 2797 . . . 4 (0g𝐶) = (0g𝐶)
7 eqid 2797 . . . 4 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
8 hdmap14lem8.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 hdmap14lem8.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmap14lem8.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
118, 9, 10lcdlvec 37604 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
12 hdmap14lem8.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap14lem8.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
14 hdmap14lem8.o . . . . 5 0 = (0g𝑈)
15 hdmap14lem8.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmap14lem8.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
178, 12, 13, 14, 9, 6, 1, 15, 10, 16hdmapnzcl 37858 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g𝐶)}))
18 hdmap14lem8.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
198, 12, 13, 14, 9, 6, 1, 15, 10, 18hdmapnzcl 37858 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g𝐶)}))
20 hdmap14lem8.j . . . 4 (𝜑𝐽𝐴)
21 hdmap14lem8.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐴)
22 hdmap14lem8.i . . . 4 (𝜑𝐼𝐴)
23 hdmap14lem8.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
24 eqid 2797 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
25 eqid 2797 . . . . . . . 8 ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
268, 12, 10dvhlmod 37123 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2716eldifad 3779 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
28 hdmap14lem8.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
2913, 24, 28lspsncl 19295 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3026, 27, 29syl2anc 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3118eldifad 3779 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
3213, 24, 28lspsncl 19295 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3326, 31, 32syl2anc 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
348, 12, 24, 25, 10, 30, 33mapd11 37652 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑋})) = (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
3534necon3bid 3013 . . . . . 6 (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
3623, 35mpbird 249 . . . . 5 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})))
378, 12, 13, 28, 9, 7, 25, 15, 10, 27hdmap10 37853 . . . . 5 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑋})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆𝑋)}))
388, 12, 13, 28, 9, 7, 25, 15, 10, 31hdmap10 37853 . . . . 5 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆𝑌)}))
3936, 37, 383netr3d 3045 . . . 4 (𝜑 → ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆𝑋)}) ≠ ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆𝑌)}))
40 hdmap14lem8.q . . . . 5 + = (+g𝑈)
41 hdmap14lem8.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
42 hdmap14lem8.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
43 hdmap14lem8.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
44 hdmap14lem8.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
45 hdmap14lem8.xx . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
46 hdmap14lem8.yy . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
47 hdmap14lem8.xy . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
488, 12, 13, 40, 41, 14, 28, 42, 43, 9, 2, 5, 3, 4, 15, 10, 16, 18, 44, 21, 22, 45, 46, 23, 20, 47hdmap14lem8 37888 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 17, 19, 20, 20, 21, 22, 39, 48lvecindp2 19458 . . 3 (𝜑 → (𝐽 = 𝐺𝐽 = 𝐼))
5049simpld 489 . 2 (𝜑𝐽 = 𝐺)
5149simprd 490 . 2 (𝜑𝐽 = 𝐼)
5250, 51eqtr3d 2833 1 (𝜑𝐺 = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  cdif 3764  {csn 4366  cfv 6099  (class class class)co 6876  Basecbs 16181  +gcplusg 16264  Scalarcsca 16267   ·𝑠 cvsca 16268  0gc0g 16412  LModclmod 19178  LSubSpclss 19247  LSpanclspn 19289  HLchlt 35363  LHypclh 35997  DVecHcdvh 37091  LCDualclcd 37599  mapdcmpd 37637  HDMapchdma 37805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-riotaBAD 34966
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-ot 4375  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-tpos 7588  df-undef 7635  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-0g 16414  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-proset 17240  df-poset 17258  df-plt 17270  df-lub 17286  df-glb 17287  df-join 17288  df-meet 17289  df-p0 17351  df-p1 17352  df-lat 17358  df-clat 17420  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-subg 17901  df-cntz 18059  df-oppg 18085  df-lsm 18361  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-invr 18985  df-dvr 18996  df-drng 19064  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-lsp 19290  df-lvec 19421  df-lsatoms 34989  df-lshyp 34990  df-lcv 35032  df-lfl 35071  df-lkr 35099  df-ldual 35137  df-oposet 35189  df-ol 35191  df-oml 35192  df-covers 35279  df-ats 35280  df-atl 35311  df-cvlat 35335  df-hlat 35364  df-llines 35511  df-lplanes 35512  df-lvols 35513  df-lines 35514  df-psubsp 35516  df-pmap 35517  df-padd 35809  df-lhyp 36001  df-laut 36002  df-ldil 36117  df-ltrn 36118  df-trl 36172  df-tgrp 36756  df-tendo 36768  df-edring 36770  df-dveca 37016  df-disoa 37042  df-dvech 37092  df-dib 37152  df-dic 37186  df-dih 37242  df-doch 37361  df-djh 37408  df-lcdual 37600  df-mapd 37638  df-hvmap 37770  df-hdmap1 37806  df-hdmap 37807
This theorem is referenced by:  hdmap14lem10  37890
  Copyright terms: Public domain W3C validator