Theorem hdmap14lem9 42461

Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 49 line 38. (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem8.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem8.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem8.q	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmap14lem8.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem8.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap14lem8.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap14lem8.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem8.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem8.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.d	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmap14lem8.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem8.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem8.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem8.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem8.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
hdmap14lem8.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.xx	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑋)))
hdmap14lem8.yy	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 ∙ (𝑆‘𝑌)))
hdmap14lem8.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap14lem8.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.xy	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 ∙ (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem9	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐼)

Proof of Theorem hdmap14lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		hdmap14lem8.d	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
3		hdmap14lem8.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
4		hdmap14lem8.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
5		hdmap14lem8.e	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
8		hdmap14lem8.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		hdmap14lem8.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmap14lem8.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	lcdlvec 42176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
12		hdmap14lem8.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap14lem8.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		hdmap14lem8.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
15		hdmap14lem8.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap14lem8.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17	8, 12, 13, 14, 9, 6, 1, 15, 10, 16	hdmapnzcl 42430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g‘𝐶)}))
18		hdmap14lem8.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	8, 12, 13, 14, 9, 6, 1, 15, 10, 18	hdmapnzcl 42430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g‘𝐶)}))
20		hdmap14lem8.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)
21		hdmap14lem8.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
22		hdmap14lem8.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐴)
23		hdmap14lem8.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
24		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
25		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
26	8, 12, 10	dvhlmod 41695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
27	16	eldifad 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
28		hdmap14lem8.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
29	13, 24, 28	lspsncl 21032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	26, 27, 29	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	18	eldifad 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
32	13, 24, 28	lspsncl 21032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
33	26, 31, 32	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	8, 12, 24, 25, 10, 30, 33	mapd11 42224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑋})) = (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
35	34	necon3bid 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
36	23, 35	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})))
37	8, 12, 13, 28, 9, 7, 25, 15, 10, 27	hdmap10 42425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑋})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑋)}))
38	8, 12, 13, 28, 9, 7, 25, 15, 10, 31	hdmap10 42425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑌)}))
39	36, 37, 38	3netr3d 3032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑋)}) ≠ ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑌)}))
40		hdmap14lem8.q	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
41		hdmap14lem8.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
42		hdmap14lem8.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
43		hdmap14lem8.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
44		hdmap14lem8.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
45		hdmap14lem8.xx	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑋)))
46		hdmap14lem8.yy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 ∙ (𝑆‘𝑌)))
47		hdmap14lem8.xy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 ∙ (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
48	8, 12, 13, 40, 41, 14, 28, 42, 43, 9, 2, 5, 3, 4, 15, 10, 16, 18, 44, 21, 22, 45, 46, 23, 20, 47	hdmap14lem8 42460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∙ (𝑆‘𝑋)) ✚ (𝐽 ∙ (𝑆‘𝑌))) = ((𝐺 ∙ (𝑆‘𝑋)) ✚ (𝐼 ∙ (𝑆‘𝑌))))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 17, 19, 20, 20, 21, 22, 39, 48	lvecindp2 21197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = 𝐺 ∧ 𝐽 = 𝐼))
50	49	simpld 498	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐺)
51	49	simprd 499	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 𝐼)
52	50, 51	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3899  {csn 4579  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  Scalarcsca 17280   ·_𝑠 cvsca 17281  0_gc0g 17459  LModclmod 20915  LSubSpclss 20986  LSpanclspn 21026  HLchlt 39935  LHypclh 40569  DVecHcdvh 41663  LCDualclcd 42171  mapdcmpd 42209  HDMapchdma 42377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-riotaBAD 39538

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-tpos 8200  df-undef 8247  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-0g 17461  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-proset 18317  df-poset 18336  df-plt 18351  df-lub 18367  df-glb 18368  df-join 18369  df-meet 18370  df-p0 18446  df-p1 18447  df-lat 18455  df-clat 18522  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-subg 19156  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19667  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-oppr 20373  df-dvdsr 20393  df-unit 20394  df-invr 20424  df-dvr 20437  df-nzr 20550  df-rlreg 20731  df-domn 20732  df-drng 20768  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027  df-lvec 21158  df-lsatoms 39561  df-lshyp 39562  df-lcv 39604  df-lfl 39643  df-lkr 39671  df-ldual 39709  df-oposet 39761  df-ol 39763  df-oml 39764  df-covers 39851  df-ats 39852  df-atl 39883  df-cvlat 39907  df-hlat 39936  df-llines 40083  df-lplanes 40084  df-lvols 40085  df-lines 40086  df-psubsp 40088  df-pmap 40089  df-padd 40381  df-lhyp 40573  df-laut 40574  df-ldil 40689  df-ltrn 40690  df-trl 40744  df-tgrp 41328  df-tendo 41340  df-edring 41342  df-dveca 41588  df-disoa 41614  df-dvech 41664  df-dib 41724  df-dic 41758  df-dih 41814  df-doch 41933  df-djh 41980  df-lcdual 42172  df-mapd 42210  df-hvmap 42342  df-hdmap1 42378  df-hdmap 42379

This theorem is referenced by:  hdmap14lem10  42462