MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulfv 21918
Description: A cell/element in the vector resulting from a multiplication of a vector with a square matrix. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mavmulval.m ร— = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
mavmulval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mavmulval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mavmulval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
mavmulval.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mavmulval.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
mavmulval.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
mavmulfv.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
Assertion
Ref Expression
mavmulfv (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘Œ)โ€˜๐ผ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘   ๐‘…,๐‘—   ๐‘—,๐‘‹   ๐‘—,๐‘Œ   ๐œ‘,๐‘—   ๐‘—,๐ผ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘—)   ๐ต(๐‘—)   ยท (๐‘—)   ร— (๐‘—)   ๐‘‰(๐‘—)

Proof of Theorem mavmulfv
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmulval.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 mavmulval.m . . 3 ร— = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
3 mavmulval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 mavmulval.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
5 mavmulval.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
6 mavmulval.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 mavmulval.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
8 mavmulval.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mavmulval 21917 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
10 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘– = ๐ผ โ†’ (๐‘–๐‘‹๐‘—) = (๐ผ๐‘‹๐‘—))
1110adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– = ๐ผ) โ†’ (๐‘–๐‘‹๐‘—) = (๐ผ๐‘‹๐‘—))
1211oveq1d 7376 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– = ๐ผ) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))
1312mpteq2dv 5211 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– = ๐ผ) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—))))
1413oveq2d 7377 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– = ๐ผ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
15 mavmulfv.i . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
16 ovexd 7396 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))) โˆˆ V)
179, 14, 15, 16fvmptd 6959 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ร— ๐‘Œ)โ€˜๐ผ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447  โŸจcop 4596   โ†ฆ cmpt 5192  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  Fincfn 8889  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ฮฃg cgsu 17330   Mat cmat 21777   maVecMul cmvmul 21912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mat 21778  df-mvmul 21913
This theorem is referenced by:  mavmulass  21921  mulmarep1gsum2  21946
  Copyright terms: Public domain W3C validator