MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulfv 21893
Description: A cell/element in the vector resulting from a multiplication of a vector with a square matrix. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmulval.m × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmulval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmulval.t · = (.r𝑅)
mavmulval.r (𝜑𝑅𝑉)
mavmulval.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mavmulval.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulval.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
mavmulfv.i (𝜑𝐼𝑁)
Assertion
Ref Expression
mavmulfv (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌)‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗   𝑗,𝑋   𝑗,𝑌   𝜑,𝑗   𝑗,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   · (𝑗)   × (𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem mavmulfv
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmulval.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mavmulval.m . . 3 × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 mavmulval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 mavmulval.t . . 3 · = (.r𝑅)
5 mavmulval.r . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
6 mavmulval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mavmulval.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
8 mavmulval.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m 𝑁))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mavmulval 21892 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))))
10 oveq1 7363 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑋𝑗) = (𝐼𝑋𝑗))
1110adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑖 = 𝐼) → (𝑖𝑋𝑗) = (𝐼𝑋𝑗))
1211oveq1d 7371 . . . 4 ((𝜑𝑖 = 𝐼) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) = ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))
1312mpteq2dv 5207 . . 3 ((𝜑𝑖 = 𝐼) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))
1413oveq2d 7372 . 2 ((𝜑𝑖 = 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))))
15 mavmulfv.i . 2 (𝜑𝐼𝑁)
16 ovexd 7391 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ V)
179, 14, 15, 16fvmptd 6955 1 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌)‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cop 4592  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7356  m cmap 8764  Fincfn 8882  Basecbs 17082  .rcmulr 17133   Σg cgsu 17321   Mat cmat 21752   maVecMul cmvmul 21887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-sup 9377  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-fz 13424  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-hom 17156  df-cco 17157  df-0g 17322  df-prds 17328  df-pws 17330  df-sra 20631  df-rgmod 20632  df-dsmm 21136  df-frlm 21151  df-mat 21753  df-mvmul 21888
This theorem is referenced by:  mavmulass  21896  mulmarep1gsum2  21921
  Copyright terms: Public domain W3C validator