Theorem mavmulfv 21695

Description: A cell/element in the vector resulting from a multiplication of a vector with a square matrix. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmulval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmulval.m	⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmulval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmulval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mavmulval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
mavmulval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mavmulval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
mavmulfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mavmulfv	⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌)‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗   𝑗,𝑋   𝑗,𝑌   𝜑,𝑗   𝑗,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   · (𝑗)   × (𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem mavmulfv

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mavmulval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mavmulval.m	. . 3 ⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		mavmulval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		mavmulval.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		mavmulval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		mavmulval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mavmulval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
8		mavmulval.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mavmulval 21694	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))))
10		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑋𝑗) = (𝐼𝑋𝑗))
11	10	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑖𝑋𝑗) = (𝐼𝑋𝑗))
12	11	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)) = ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))
13	12	mpteq2dv 5176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗))))
14	13	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))))
15		mavmulfv.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
16		ovexd 7310	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))) ∈ V)
17	9, 14, 15, 16	fvmptd 6882	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌)‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑌‘𝑗)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ⟨cop 4567   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963   Σ_g cgsu 17151   Mat cmat 21554   maVecMul cmvmul 21689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-mat 21555  df-mvmul 21690

This theorem is referenced by:  mavmulass  21698  mulmarep1gsum2  21723