Theorem mulmarep1gsum2 22075

Description: The sum of element by element multiplications of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
mulmarep1el.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mulmarep1el.e	⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
mulmarep1gsum2.x	⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mulmarep1gsum2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙   𝐾,𝑙   𝑁,𝑙   𝑅,𝑙   𝑉,𝑙   𝑋,𝑙   0 ,𝑙   𝐴,𝑙   𝑍,𝑙   × ,𝑙

Allowed substitution hints:   1 (𝑙)   𝐸(𝑙)

Proof of Theorem mulmarep1gsum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simpl2 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁))
4		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍) → 𝐼 ∈ 𝑁)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
7		simpl32 1255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
8		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
9	6, 7, 8	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁))
10	2, 3, 9	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)))
11	10	adantll 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)))
12		marepvcl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13		marepvcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14		marepvcl.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
15		ma1repvcl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		mulmarep1el.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17		mulmarep1el.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
18	12, 13, 14, 15, 16, 17	mulmarep1el 22073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
19	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
20		iftrue 4534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
21	20	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
22	21	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
23	19, 22	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
24	23	mpteq2dva 5248	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽))) = (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙))))
25	24	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))))
26		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 × 𝐶) = 𝑍 → ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼) = (𝑍‘𝐼))
27	26	eqcomd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 × 𝐶) = 𝑍 → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
28	27	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍) → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
29	28	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
30	29	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
31		mulmarep1gsum2.x	. . . . . 6 ⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
32		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑅 ∈ Ring)
35	12, 13	matrcl 21911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
36	35	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
37	36	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
38	37	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑁 ∈ Fin)
39	38	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑁 ∈ Fin)
40	13	eleq2i 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
41	40	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
42	41	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
43	42	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
44	43	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
45	14	eleq2i 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 ↔ 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
46	45	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
47	46	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
48	47	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
49	48	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
50	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝐼 ∈ 𝑁)
51	12, 31, 32, 33, 34, 39, 44, 49, 50	mavmulfv 22047	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))))
52	30, 51	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))))
53		iftrue 4534	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)) = (𝑍‘𝐼))
54	53	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → (𝑍‘𝐼) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
55	54	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍‘𝐼) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
56	25, 52, 55	3eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
57	56	ex 413	. 2 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽))))
58	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
59		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁))
60	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝐼 ∈ 𝑁)
61		simpl32 1255	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝐽 ∈ 𝑁)
62		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝐽 ≠ 𝐾)
63	12, 13, 14, 15, 16, 17	mulmarep1gsum1 22074	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ≠ 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
64	58, 59, 60, 61, 62, 63	syl113anc 1382	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
65		df-ne 2941	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝐽 = 𝐾)
66		iffalse 4537	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)) = (𝐼𝑋𝐽))
67	66	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐽 = 𝐾 → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
68	65, 67	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
69	68	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
70	64, 69	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
71	70	expcom 414	. 2 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽))))
72	57, 71	pm2.61ine 3025	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474  ifcif 4528  ⟨cop 4634   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17384   Σ_g cgsu 17385  1_rcur 20003  Ringcrg 20055   Mat cmat 21906   maVecMul cmvmul 22041   matRepV cmatrepV 22058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-mamu 21885  df-mat 21907  df-mvmul 22042  df-marepv 22060

This theorem is referenced by:  cramerimplem2  22185