Theorem mulmarep1gsum2 22529

Description: The sum of element by element multiplications of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
mulmarep1el.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mulmarep1el.e	⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
mulmarep1gsum2.x	⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mulmarep1gsum2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙   𝐾,𝑙   𝑁,𝑙   𝑅,𝑙   𝑉,𝑙   𝑋,𝑙   0 ,𝑙   𝐴,𝑙   𝑍,𝑙   × ,𝑙

Allowed substitution hints:   1 (𝑙)   𝐸(𝑙)

Proof of Theorem mulmarep1gsum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simpl2 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁))
4		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍) → 𝐼 ∈ 𝑁)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
7		simpl32 1255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
9	6, 7, 8	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁))
10	2, 3, 9	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)))
11	10	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)))
12		marepvcl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13		marepvcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14		marepvcl.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
15		ma1repvcl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		mulmarep1el.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17		mulmarep1el.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
18	12, 13, 14, 15, 16, 17	mulmarep1el 22527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
19	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
20		iftrue 4511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
23	19, 22	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
24	23	mpteq2dva 5222	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽))) = (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙))))
25	24	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))))
26		fveq1 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 × 𝐶) = 𝑍 → ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼) = (𝑍‘𝐼))
27	26	eqcomd 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 × 𝐶) = 𝑍 → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
28	27	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍) → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
29	28	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
31		mulmarep1gsum2.x	. . . . . 6 ⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
32		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑅 ∈ Ring)
35	12, 13	matrcl 22365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
36	35	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
37	36	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
38	37	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑁 ∈ Fin)
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑁 ∈ Fin)
40	13	eleq2i 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
41	40	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
42	41	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
43	42	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
44	43	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
45	14	eleq2i 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 ↔ 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
46	45	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
47	46	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
48	47	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
49	48	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
50	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝐼 ∈ 𝑁)
51	12, 31, 32, 33, 34, 39, 44, 49, 50	mavmulfv 22501	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))))
52	30, 51	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))))
53		iftrue 4511	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)) = (𝑍‘𝐼))
54	53	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → (𝑍‘𝐼) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍‘𝐼) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
56	25, 52, 55	3eqtr2d 2775	. . 3 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
57	56	ex 412	. 2 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽))))
58	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
59		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁))
60	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝐼 ∈ 𝑁)
61		simpl32 1255	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝐽 ∈ 𝑁)
62		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝐽 ≠ 𝐾)
63	12, 13, 14, 15, 16, 17	mulmarep1gsum1 22528	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ≠ 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
64	58, 59, 60, 61, 62, 63	syl113anc 1383	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
65		df-ne 2932	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝐽 = 𝐾)
66		iffalse 4514	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)) = (𝐼𝑋𝐽))
67	66	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐽 = 𝐾 → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
68	65, 67	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
69	68	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
70	64, 69	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
71	70	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽))))
72	57, 71	pm2.61ine 3014	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  Vcvv 3463  ifcif 4505  ⟨cop 4612   ↦ cmpt 5205  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8848  Fincfn 8967  Basecbs 17230  ._rcmulr 17275  0_gc0g 17456   Σ_g cgsu 17457  1_rcur 20147  Ringcrg 20199   Mat cmat 22360   maVecMul cmvmul 22495   matRepV cmatrepV 22512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14353  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-ip 17292  df-tset 17293  df-ple 17294  df-ds 17296  df-hom 17298  df-cco 17299  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-prds 17464  df-pws 17466  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19769  df-abl 19770  df-mgp 20107  df-rng 20119  df-ur 20148  df-ring 20201  df-subrg 20539  df-lmod 20829  df-lss 20899  df-sra 21141  df-rgmod 21142  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-mamu 22344  df-mat 22361  df-mvmul 22496  df-marepv 22514

This theorem is referenced by:  cramerimplem2  22639