MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulmarep1gsum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulmarep1gsum2 22396
Description: The sum of element by element multiplications of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1 1 = (1r𝐴)
mulmarep1el.0 0 = (0g𝑅)
mulmarep1el.e 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
mulmarep1gsum2.x × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
mulmarep1gsum2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙   𝐾,𝑙   𝑁,𝑙   𝑅,𝑙   𝑉,𝑙   𝑋,𝑙   0 ,𝑙   𝐴,𝑙   𝑍,𝑙   × ,𝑙
Allowed substitution hints:   1 (𝑙)   𝐸(𝑙)

Proof of Theorem mulmarep1gsum2
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
3 simpl2 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁))
4 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍) → 𝐼𝑁)
543ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝐼𝑁)
65adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝐼𝑁)
7 simpl32 1254 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝐽𝑁)
8 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑙𝑁)
96, 7, 83jca 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑙𝑁))
102, 3, 93jca 1127 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑙𝑁)))
1110adantll 711 . . . . . . . 8 (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑙𝑁)))
12 marepvcl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13 marepvcl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
14 marepvcl.v . . . . . . . . 9 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
15 ma1repvcl.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝐴)
16 mulmarep1el.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
17 mulmarep1el.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
1812, 13, 14, 15, 16, 17mulmarep1el 22394 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑙𝑁)) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
20 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))
2120adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))
2221adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙𝑁) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))
2319, 22eqtrd 2771 . . . . . 6 (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))
2423mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽))) = (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙))))
2524oveq2d 7428 . . . 4 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))))
26 fveq1 6890 . . . . . . . . 9 ((𝑋 × 𝐶) = 𝑍 → ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼) = (𝑍𝐼))
2726eqcomd 2737 . . . . . . . 8 ((𝑋 × 𝐶) = 𝑍 → (𝑍𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
28273ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍) → (𝑍𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
29283ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑍𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
3029adantl 481 . . . . 5 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
31 mulmarep1gsum2.x . . . . . 6 × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
32 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33 eqid 2731 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
341adantl 481 . . . . . 6 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑅 ∈ Ring)
3512, 13matrcl 22232 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
3635simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
37363ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
38373ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑁 ∈ Fin)
3938adantl 481 . . . . . 6 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑁 ∈ Fin)
4013eleq2i 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
4140biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
42413ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
43423ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
4443adantl 481 . . . . . 6 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
4514eleq2i 2824 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑉𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
4645biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑉𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
47463ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
48473ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
4948adantl 481 . . . . . 6 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
505adantl 481 . . . . . 6 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝐼𝑁)
5112, 31, 32, 33, 34, 39, 44, 49, 50mavmulfv 22368 . . . . 5 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))))
5230, 51eqtrd 2771 . . . 4 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍𝐼) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))))
53 iftrue 4534 . . . . . 6 (𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)) = (𝑍𝐼))
5453eqcomd 2737 . . . . 5 (𝐽 = 𝐾 → (𝑍𝐼) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
5554adantr 480 . . . 4 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍𝐼) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
5625, 52, 553eqtr2d 2777 . . 3 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
5756ex 412 . 2 (𝐽 = 𝐾 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽))))
581adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
59 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁))
605adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → 𝐼𝑁)
61 simpl32 1254 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → 𝐽𝑁)
62 simpr 484 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → 𝐽𝐾)
6312, 13, 14, 15, 16, 17mulmarep1gsum1 22395 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
6458, 59, 60, 61, 62, 63syl113anc 1381 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
65 df-ne 2940 . . . . . 6 (𝐽𝐾 ↔ ¬ 𝐽 = 𝐾)
66 iffalse 4537 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)) = (𝐼𝑋𝐽))
6766eqcomd 2737 . . . . . 6 𝐽 = 𝐾 → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
6865, 67sylbi 216 . . . . 5 (𝐽𝐾 → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
6968adantl 481 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
7064, 69eqtrd 2771 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
7170expcom 413 . 2 (𝐽𝐾 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽))))
7257, 71pm2.61ine 3024 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  Vcvv 3473  ifcif 4528  cop 4634  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8826  Fincfn 8945  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  0gc0g 17392   Σg cgsu 17393  1rcur 20082  Ringcrg 20134   Mat cmat 22227   maVecMul cmvmul 22362   matRepV cmatrepV 22379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21597  df-frlm 21612  df-mamu 22206  df-mat 22228  df-mvmul 22363  df-marepv 22381
This theorem is referenced by:  cramerimplem2  22506
  Copyright terms: Public domain W3C validator