Theorem mulmarep1gsum2 22396

Description: The sum of element by element multiplications of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
mulmarep1el.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mulmarep1el.e	⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
mulmarep1gsum2.x	⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mulmarep1gsum2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙   𝐾,𝑙   𝑁,𝑙   𝑅,𝑙   𝑉,𝑙   𝑋,𝑙   0 ,𝑙   𝐴,𝑙   𝑍,𝑙   × ,𝑙

Allowed substitution hints:   1 (𝑙)   𝐸(𝑙)

Proof of Theorem mulmarep1gsum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simpl2 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁))
4		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍) → 𝐼 ∈ 𝑁)
5	4	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
7		simpl32 1254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
9	6, 7, 8	3jca 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁))
10	2, 3, 9	3jca 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)))
11	10	adantll 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)))
12		marepvcl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13		marepvcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14		marepvcl.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
15		ma1repvcl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		mulmarep1el.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17		mulmarep1el.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
18	12, 13, 14, 15, 16, 17	mulmarep1el 22394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
19	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
20		iftrue 4534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
23	19, 22	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))
24	23	mpteq2dva 5248	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽))) = (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙))))
25	24	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))))
26		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 × 𝐶) = 𝑍 → ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼) = (𝑍‘𝐼))
27	26	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 × 𝐶) = 𝑍 → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
28	27	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍) → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
29	28	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍‘𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
31		mulmarep1gsum2.x	. . . . . 6 ⊢ × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
32		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑅 ∈ Ring)
35	12, 13	matrcl 22232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
36	35	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
37	36	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
38	37	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑁 ∈ Fin)
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑁 ∈ Fin)
40	13	eleq2i 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
41	40	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
42	41	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
43	42	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
44	43	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
45	14	eleq2i 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 ↔ 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
46	45	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
47	46	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
48	47	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
49	48	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
50	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝐼 ∈ 𝑁)
51	12, 31, 32, 33, 34, 39, 44, 49, 50	mavmulfv 22368	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))))
52	30, 51	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝑙)))))
53		iftrue 4534	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)) = (𝑍‘𝐼))
54	53	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → (𝑍‘𝐼) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍‘𝐼) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
56	25, 52, 55	3eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
57	56	ex 412	. 2 ⊢ (𝐽 = 𝐾 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽))))
58	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
59		simpl2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁))
60	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝐼 ∈ 𝑁)
61		simpl32 1254	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝐽 ∈ 𝑁)
62		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → 𝐽 ≠ 𝐾)
63	12, 13, 14, 15, 16, 17	mulmarep1gsum1 22395	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ≠ 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
64	58, 59, 60, 61, 62, 63	syl113anc 1381	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
65		df-ne 2940	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝐽 = 𝐾)
66		iffalse 4537	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)) = (𝐼𝑋𝐽))
67	66	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐽 = 𝐾 → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
68	65, 67	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
69	68	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
70	64, 69	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽 ≠ 𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
71	70	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽))))
72	57, 71	pm2.61ine 3024	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍‘𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  Vcvv 3473  ifcif 4528  ⟨cop 4634   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945  Basecbs 17151  ._rcmulr 17205  0_gc0g 17392   Σ_g cgsu 17393  1_rcur 20082  Ringcrg 20134   Mat cmat 22227   maVecMul cmvmul 22362   matRepV cmatrepV 22379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21597  df-frlm 21612  df-mamu 22206  df-mat 22228  df-mvmul 22363  df-marepv 22381

This theorem is referenced by:  cramerimplem2  22506