Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnringscadOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnringscadOLD 43724
Description: Obsolete version of mnringscad 43723 as of 1-Nov-2024. The scalar ring of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mnringscad.1 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringscad.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘ˆ)
mnringscad.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
mnringscadOLD (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜πΉ))

Proof of Theorem mnringscadOLD
StepHypRef Expression
1 mnringscad.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘ˆ)
2 fvex 6904 . . 3 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
3 eqid 2725 . . . 4 (𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€)) = (𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))
43frlmsca 21689 . . 3 ((𝑅 ∈ π‘ˆ ∧ (Baseβ€˜π‘€) ∈ V) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))))
51, 2, 4sylancl 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))))
6 mnringscad.1 . . 3 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
7 df-sca 17246 . . 3 Scalar = Slot 5
8 5nn 12326 . . 3 5 ∈ β„•
9 3re 12320 . . . . 5 3 ∈ ℝ
10 3lt5 12418 . . . . 5 3 < 5
119, 10gtneii 11354 . . . 4 5 β‰  3
12 mulrndx 17271 . . . 4 (.rβ€˜ndx) = 3
1311, 12neeqtrri 3004 . . 3 5 β‰  (.rβ€˜ndx)
14 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
15 mnringscad.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
166, 7, 8, 13, 14, 3, 1, 15mnringnmulrdOLD 43711 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (Baseβ€˜π‘€))) = (Scalarβ€˜πΉ))
175, 16eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  3c3 12296  5c5 12298  ndxcnx 17159  Basecbs 17177  .rcmulr 17231  Scalarcsca 17233   freeLMod cfrlm 21682   MndRing cmnring 43707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-prds 17426  df-pws 17428  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-dsmm 21668  df-frlm 21683  df-mnring 43708
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator